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南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案

南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试数学试题及答案


南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试


注意事项:



1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空 ... 格内.考试结束后,交回答题卡. 参考公式: 1 方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平均数. n 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 1 锥体的体积公式:V= Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高. 3 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上. ....... 1.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,4},B={3,4},则?U (A∪B)= ▲ .

2.甲盒子中有编号分别为 1,2 的 2 个乒乓球,乙盒子中有编号分别为 3,4,5,6 的 4 个乒乓球.现分 别从两个盒子中随机地各取出 1 个乒乓球,则取出的乒乓球的编号之和大于 6 的概率为 3.若复数 z 满足 z+2 z =3+2i,其中 i 为虚数单位, z 为复数 z 的共轭复数,则复数 z 的模为 4.执行如图所示的伪代码,若输出 y 的值为 1,则输入 x 的值为 Read x If x≥0 Then y←2x+1 Else y←2-x2 End If Print y
(第 4 题图)
- -

▲ ▲

. .





甲 7 7 4 9 0 8 1

乙 8 9 5 0 3

(第 5 题图)

5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定(方 差较小)的那名运动员的得分的方差为 ▲ .

π 1 6.在同一直角坐标系中,函数 y=sin(x+ )(x∈[0,2π ])的图-象和直线 y= 的交点的个数是 ▲ . 3 2 x2 y2 7.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2- =1 的焦距为 6,则所有满足条件的实数 m 构成的集合是 2m 3m ▲ .
南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 1 页 共 16 页

3 1 8.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数.当 x∈[2,4]时,f(x)=log4(x- ),则 f( )的值为 2 2 9.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a3-a1=2,则 a5 的最小值为 10.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,BB1=3, ∠ABC=90° ,点 D 为侧棱 BB1 上的动点.当 AD+DC1 最小时, 三棱锥 D-ABC1 的体积为 ▲ .
D A B (第 10 题图)


C1







A1 B1

11.若函数 f(x)=ex(-x2+2x+a)在区间[a,a+1]上单调递增, 则实数 a 的最大值为 ▲ .

C

→ → → → → → 12.在凸四边形 ABCD 中,BD=2,且 AC · BD =0,( AB + DC )?( BC + AD )=5,则四边形 ABCD 的面积 为 ▲ .

13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O:x2+y2=1,圆 M:(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a 为实数).若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P,Q,使得∠OQP=30?,则 a 的取值范围为 ▲ . ▲ .

3a+8b 2 3 2 14.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b≤8c, + ≤ ,则 的取值范围为 a b c c

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出文字说明、证明 ........ 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 A-BCD 中,E,F 分别为棱 BC,CD 上的点,且 BD∥平面 AEF. (1)求证:EF∥平面 ABD; (2)若 BD⊥CD,AE⊥平面 BCD,求证:平面 AEF⊥平面 ACD.
A

D F B E (第 15 题图) C

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 2 页 共 16 页

16. (本小题满分 14 分) π 已知向量 a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),α∈(0, ). 2 2 (1)若 a-b=( ,0),求 t 的值; 5 π (2)若 t=1,且 a ?b=1,求 tan(2α+ )的值. 4

17. (本小题满分 14 分) 在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域 ABC 及矩形表演台 BCDE 四 个部分构成(如图) .看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以 AB,AC 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积 是看台Ⅱ的面积的 3 倍; 矩形表演台 BCDE 中, CD=10 米; 三角形水域 ABC 的面积为 400 3平方米. 设 ∠BAC=θ. (1)求 BC 的长(用含 θ 的式子表示) ; (2)若表演台每平方米的造价为 0.3 万元,求表演台的最低造价.
E 表演台 B 水域 看台Ⅰ A (第 17 题图) D C 看台 Ⅱ

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 3 页 共 16 页

18. (本小题满分 16 分) x2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为 A,B,M 为线段 a b 3 → → AB 的中点,且OM· AB =- b2. 2 (1)求椭圆的离心率; (2)已知 a=2,四边形 ABCD 内接于椭圆,AB∥DC.记直线 AD,BC 的斜率分别为 k1,k2,求证: k1·k2 为定值. C O M A x D (第 18 题图) 19. (本小题满分 16 分) 已知常数 p>0,数列{an}满足 an+1=|p-an|+2 an+p,n∈N*. (1)若 a1=-1,p=1, ①求 a4 的值; ②求数列{an}的前 n 项和 Sn. a1 (2)若数列{an}中存在三项 ar,as,at (r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,求 的取值范围. p y B

20. (本小题满分 16 分) 已知 λ∈R,函数 f (x)=ex-ex-λ(xlnx-x+1)的导函数为 g(x). (1)求曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程; (2)若函数 g(x)存在极值,求 λ 的取值范围; (3)若 x≥1 时,f (x)≥0 恒成立,求 λ 的最大值.

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 4 页 共 16 页

南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试

数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3. 答题前, 请务必将自己的姓名、 学校写在答题卡上. 试题的答案写在答题卡 上对应题目的答案空格内. 考 ... 试结束后,交回答题卡. 21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域 . ...... 内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,AD 是△ABC 的高,AE 是△ABC 的外接圆的直径,点 B 和点 C 在直线 AE 的两侧. 求证:AB·AC=AD·AE.
A

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A=?

B

D E (第 21(A)图)

C

? 2 x ?,X=?-1?,且 AX=?1?,其中 x,y∈R. ? ?2? ? 1 ? ? y 2 ?

(1)求 x,y 的值; (2)若 B=?

?1 -1? ?,求(AB)-1. ?0 2?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 已知曲线 C 的极坐标方程是?2-8?cosθ+15=0,直线 l 的极坐标方程是 θ= (?∈R) .若 P,Q 分别 4 为曲线 C 与直线 l 上的动点,求 PQ 的最小值.

D.选修 4—5:不等式选讲 已知 x>0,求证:x3+y2+3≥3x+2y.

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 5 页 共 16 页

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说 . ....... 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) → → 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l: x=-1, 点 T(3, 0). 动点 P 满足 PS⊥l, 垂足为 S, 且OP·ST=0. 设 动点 P 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)设 Q 是曲线 C 上异于点 P 的另一点,且直线 PQ 过点(1,0),线段 PQ 的中点为 M,直线 l 与 x → → 轴的交点为 N.求证:向量SM与NQ共线.

23. (本小题满分 10 分) 已知数列{an}共有 3n(n∈N*)项,记 f (n)=a1+a2+?+a3n.对任意的 k∈N*,1≤k≤3n,都有 ak ∈{0,1},且对于给定的正整数 p (p≥2),f(n)是 p 的整数倍.把满足上述条件的数列{an}的个数记为 Tn. (1)当 p=2 时,求 T2 的值; 1 (2)当 p=3 时,求证:Tn= [8n+2(-1)n]. 3

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南京市 2017 届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分) 1.{2} 1 10. 3 3 2. 8 3. 5 4. ?1 5.6.8 6.2 3 7.{ } 2 1 8. 2 9.8: a1 ?

2 ?0 q ?1
2

-1+ 5 6 11. :求导 12.3 13.[- ,0] 14.[27,30] 2 5 ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ???? ? ? 12.解:设 AC ? BD ? O , OA ? a , OB ? b , OC ? c , OD ? d . 依题意得 (b ? a ? c ? d )? (c ? b ? d ? a) ? 5 , (c ? a)2 ? (b ? d )2 ? 5 , (c ? a)2 ? 4 ? 5 ? 9 . 13.解:当 P 为切点时, ?OQP ? 30? ,则 OQ ? 2 ,圆 M 上点到点 O 的最小距离 OM ? 1 ? 2 , 所以 (a ? 3)2 ? (2a)2 ? 9 ,化简得 5a 2 ? 6a ? 0 ,解得 ?

?

?

? ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

6 ?a ?0. 5

14.解 1:令

? x ? 2 y ? 8, 2 3 a b ? , ,则 直线 x ? 2 y ? 8 与曲线 ? ? 2 相交于 A(2, 3) , B(4, 2) 两 ?x ?y ?2 3 ? ? 2. x y c c ?x y ?
2 3 ? ?2相 x y

点. 由平面区域可得, 当直线 z ? 3x ? 8 y 过点 A(2, 3) 时,z ? 30 ; 当直线 z ? 3x ? 8 y 与曲线

切(切点为 (3, ) )时, z ? 27 .

9 4

? x ? 2 y ? 8, 3a ? 8b a b ? 解 2:令 ? x , ? y ,则 ? 2 3 且 ? 3x ? 8 y . ? ? 2, c c c ?x y ?
3x ? 8 y ? 1 2 3 9 (3x ? 8 y )( ? ) ? 27 ,当 x ? 3 , y ? 时等号成立. 2 x y 4 2 x 2 3 3x ? ? 2 ,又由 ? ? 2 得 2 ? ? 2 x ,有 x ? 2 . 3 y x y y

将不等式组中两式相乘得

所以 3x ? 8 y ? 4( x ? 2 y) ? x ? 4 ? 8 ? x ? 30 ,当 x ? 2 , y ? 3 时等号成立. (自解) 二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 BD∥平面 AEF,BD?平面 BCD, 平面 AEF∩平面 BCD=EF,所以 BD∥EF. ??????? 3 分

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 7 页 共 16 页

因为 BD?平面 ABD,EF?平面 ABD,所以 EF∥平面 ABD.??????? 6 分 (2)因为 AE⊥平面 BCD,CD?平面 BCD,所以 AE⊥CD. ??????? 8 分 因为 BD⊥CD,BD∥EF,所以 CD⊥EF. 又 AE∩EF=E,AE?平面 AEF,EF?平面 AEF, 所以 CD⊥平面 AEF. 又 CD?平面 ACD,所以平面 AEF⊥平面 ACD. ??????? 12 分 ??????? 14 分 ??????? 10 分

16. (本小题满分 14 分) 解:(1)因为向量 a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t), 2 1 且 a-b=( ,0),所以 cosα-sinα= ,t=sin2α. 5 5 1 1 由 cosα-sinα= 得 (cosα-sinα)2= , 5 25 1 24 即 1-2sinαcosα= ,从而 2sinαcosα= . 25 25 49 所以(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα= . 25 π 7 因为 α∈(0, ),所以 cosα+sinα= . 2 5 (cosα+sinα)-(cosα-sinα) 3 所以 sinα= = , 2 5 9 从而 t=sin2α= . 25 (2)因为 t=1,且 a ?b=1, 所以 4sinαcosα+sin2α=1,即 4sinαcosα=cos2α. π 1 因为 α∈(0, ),所以 cosα≠0,从而 tanα= . 2 4 2tanα 8 所以 tan2α= = . 1-tan2α 15 π 8 tan2α+tan +1 4 15 π 23 从而 tan(2α+ )= = = . 4 π 8 7 1-tan2α·tan 1- 4 15 ???????? 9 分 ???????? 11 分 ???????? 7 分 ???????? 5 分 ???????? 2 分

???????? 14 分

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的 3 倍,所以 AB= 3AC. 1 800 在△ABC 中,S△ABC= AB?AC?sinθ=400 3,所以 AC2= .????? 3 分 2 sinθ 由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosθ
南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 8 页 共 16 页

=4AC2-2 3AC2 cosθ =(4-2 3cosθ) 即 BC= 800 (4-2 3cosθ)? =40 sinθ 800 , sinθ 2- 3cosθ . sinθ ???????? 7 分

所以 BC=40

2- 3cosθ ,θ∈(0,π). sinθ

(2)设表演台的总造价为 W 万元. 因为 CD=10m,表演台每平方米的造价为 0.3 万元, 所以 W=3BC=120 2- 3cosθ ,θ∈(0,π). sinθ ???????? 9 分

2- 3cosθ 记 f(θ)= ,θ∈(0,π). sinθ 则 f ′(θ)= 3-2cosθ . sin2θ ???????? 11 分

π 由 f ′(θ)=0,解得 θ= . 6 π π 当 θ∈(0, )时,f ′(θ)<0;当 θ∈( ,π)时,f ′(θ)>0. 6 6 π π 故 f(θ)在(0, )上单调递减,在( ,π)上单调递增, 6 6 π π 从而当 θ= 时,f(θ)取得最小值,最小值为 f( )=1. 6 6 所以 Wmin=120(万元). 答:表演台的最低造价为 120 万元. ???????? 14 分

18. (本小题满分 16 分) a b 解: (1)A(a,0),B(0,b),由 M 为线段 AB 的中点得 M( , ). 2 2 → a b → 所以OM=( , ), AB =(-a,b). 2 2 3 a b a2 b2 3 → → 因为OM· AB =- b2,所以( , )·(-a,b)=- + =- b2, 2 2 2 2 2 2 整理得 a2=4b2,即 a=2b. 因为 a2=b2+c2,所以 3a2=4c2,即 3a=2c. c 3 所以椭圆的离心率 e= = . a 2 x2 (2)方法一:由 a=2 得 b=1,故椭圆方程为 +y2=1. 4 1 从而 A(2,0),B(0,1),直线 AB 的斜率为- . 2 ???????? 7 分 ???????? 5 分 ???????? 3 分

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 9 页 共 16 页

1 因为 AB∥DC,故可设 DC 的方程为 y=- x+m.设 D(x1,y1),C(x2,y2). 2

?y=-2x+m, 联立?x 消去 y,得 x -2mx+2m -2=0, ? 4 +y =1,
2 2 2 2

1

所以 x1+x2=2m,从而 x1=2m-x2.

???????? 9 分

1 1 - x1+m - x2+m-1 2 2 y - 1 y1 2 直线 AD 斜率 k1= = ,直线 BC 斜率 k2= = ,??? 11 分 x2 x2 x1-2 x1-2 1 1 - x1+m - x2+m-1 2 2 所以 k1·k2= · x2 x1-2 1 1 1 x x - (m-1)x1- mx2+m(m-1) 4 1 2 2 2 = (x1-2)x2 1 1 1 x x - m(x1+x2)+ x1+m(m-1) 4 1 2 2 2 = x1x2-2x2 1 1 1 x x - m·2m+ (2m-x2)+m(m-1) 4 1 2 2 2 = x1x2-2x2 1 1 xx- x 4 1 2 2 2 1 = = , x1x2-2x2 4 1 即 k1·k2 为定值 . 4 x2 方法二:由 a=2 得 b=1,故椭圆方程为 +y2=1. 4 1 从而 A(2,0),B(0,1),直线 AB 的斜率为- . 2 x02 设 C(x0,y0),则 +y02=1. 4 1 因为 AB∥CD,故 CD 的方程为 y=- (x-x0)+y0. 2 ???????? 7 分 ????????16 分

?y=-2(x-x )+y , 联立?x 消去 y,得 x -(x +2y )x+2x y =0, + y = 1 , ?4
0 0 2 2 2 0 0 0 0

1

1 解得 x=x0(舍去)或 x=2y0.所以点 D 的坐标为(2y0, x0).??????? 13 分 2 1 x 2 0 y0-1 1 1 所以 k1·k2= · = ,即 k1·k2 为定值 . x 4 4 2y0-2 0

????????? 16 分

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 10 页 共 16 页

19. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 p=1,所以 an+1=|1-an|+2 an+1. ① 因为 a1=-1,所以 a2=|1-a1|+2 a1+1=1, a3=|1-a2|+2 a2+1=3, a4=|1-a3|+2 a3+1=9. ② 因为 a2=1,an+1=|1-an|+2 an+1, 所以当 n≥2 时,an≥1, 从而 an+1=|1-an|+2 an+1=an-1+2 an+1=3an, 于是有 an=3n 2(n≥2).


?????????? 3 分

?????????? 5 分

当 n=1 时,S1=-1; 1-3n 1 3n 1-3 当 n≥2 时,Sn=-1+a2+a3+?+an=-1+ = . 2 1-3
- -

n ? 1, ? ?1, ? 所以 S n ? ? 3n ?1 ? 3 , n ? 2, ? ? 2
3n 1-3 即 Sn= ,n∈N*. 2


?????????? 8 分

(2)因为 an+1-an=|p-an|+an+p≥p-an+an+p=2 p>0, 所以 an+1>an,即{an}单调递增. a1 (i)当 ≥1 时,有 a1≥p,于是 an≥a1≥p, p 所以 an+1=|p-an|+2 an+p=an-p+2 an+p=3an,所以 an=3n 1a1.


?????????? 10 分

若{an}中存在三项 ar,as,at (r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,则有 2 as=ar+at, 即 2×3s 1=3r 1+3t 1. (*)
- - -

2 - - - - 因为 s≤t-1,所以 2×3s 1= ×3s<3t 1<3r 1+3t 1,即(*)不成立. 3 故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列. (ii)当-1< a1 <1 时,有-p<a1<p. p ????????? 12 分

此时 a2=|p-a1|+2 a1+p=p-a1+2 a1+p=a1+2 p>p, 于是当 n≥2 时,an≥a2>p, 从而 an+1=|p-an|+2 an+p=an-p+2 an+p=3an. 所以 an=3n 2a2=3n 2(a1+2p) (n≥2).
- -

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 11 页 共 16 页

若{an}中存在三项 ar,as,at (r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列, 因 a2 ? p ,由(i)可知,r=1, 于是有 2×3s 2(a1+2 p)=a1+3t 2(a1+2p).
- -

因为 2≤s≤t-1, 所以 a1 2 1 - - - =2×3s 2-3t 2= ×3s- ×3t 1<0. 9 3 a1+2 p
- -2

因为 2×3s 2-3t

是整数,所以

a1 ≤-1, a1+2 p

于是 a1≤-a1-2p,即 a1≤-p,与-p<a1<p 相矛盾. 故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列. a1 (iii)当 ≤-1 时,则有 a1≤-p<p,a1+p≤0, p 于是 a2=| p-a1|+2a1+p=p-a1+2 a1+p=a1+2p, a3=|p-a2|+2a2+p=|p+a1|+2a1+5p=-p-a1+2a1+5p=a1+4p, 此时有 a1,a2,a3 成等差数列. a1 综上可知: ≤-1. p ???????? 16 分 ???????? 14 分

20. (本小题满分 16 分) 解: (1)因为 f′(x)=ex-e-λlnx, 所以曲线 y=f (x)在 x=1 处的切线的斜率为 f′(1)=0. 又切点为(1,f (1)),即(1,0), 所以切线方程为 y=0. λ (2)g (x)=ex-e-λlnx,g′(x)=ex- . x 当 λ≤0 时,g′(x)>0 恒成立,从而 g (x)在(0,+∞)上单调递增, 故此时 g (x)无极值. ???????? 4 分 ???????? 2 分

λ λ 当 λ>0 时,设 h(x)=ex- ,则 h′(x)=ex+ 2>0 恒成立, x x 所以 h(x)在(0,+∞)上单调递增. ①当 0<λ<e 时,
λ λ h(1)=e-λ>0,h( )=ee-e<0,且 h(x)是(0,+∞)上的连续函数, e

???????? 6 分

λ 因此存在唯一的 x0∈( ,1),使得 h(x0)=0. e
南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 12 页 共 16 页

②当 λ≥e 时, h(1)=e-λ≤0,h(λ)=eλ-1>0,且 h(x)是(0,+∞)上的连续函数, 因此存在唯一的 x0∈[1,λ),使得 h(x0)=0. 故当 λ>0 时,存在唯一的 x0>0,使得 h(x0)=0. ???????? 8 分

且当 0<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0;当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0. 所以 g (x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 因此 g (x)在 x=x0 处有极小值. 所以当函数 g (x)存在极值时,λ 的取值范围是(0,+∞).???????? 10 分 λ (3)g (x)=f′(x)=ex-e-λlnx,g′(x)=ex- . x 若 g′(x)≥0 恒成立,则有 λ≤xex 恒成立. 设 φ(x)=xex(x≥1),则 φ′(x)=(x+1) ex>0 恒成立, 所以 φ(x)单调递增,从而 φ(x)≥φ(1)=e,即 λ≤e. 于是当 λ≤e 时,g (x)在[1,+∞)上单调递增, 此时 g (x)≥g (1)=0,即 f′(x)≥0,从而 f (x)在[1,+∞)上单调递增. 所以 f (x)≥f (1)=0 恒成立. ???????? 13 分

当 λ>e 时,由(2)知,存在 x0∈(1,λ),使得 g (x)在(0,x0)上单调递减, 即 f′(x)在(0,x0)上单调递减. 所以当 1<x<x0 时,f′(x)<f′(1)=0, 于是 f (x)在[1,x0)上单调递减,所以 f (x0)<f (1)=0. 这与 x≥1 时,f (x)≥0 恒成立矛盾. 因此 λ≤e,即 λ 的最大值为 e. ???????? 16 分

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南京市 2017 届高三第三次模拟考试

数学附加参考答案及评分标准
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指定区域 内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连结 BE.因为 AD 是边 BC 上的高,
A

AE 是△ABC 的外接圆的直径, 所以∠ABE=∠ADC=90°. 又∠AEB=∠ACD, 所以△ABE∽△ADC, ????? 4 分 ????? 6 分 ????? 8 分
B D E (第 21(A)图) C

AB AE 所以 = ,即 AB·AC=AD·AE. ????? 10 分 AD AC B.选修 4—2:矩阵与变换 解: (1)AX=?

? 2 x ? ?-1? = ?x-2? . ? ? ? ? y 2 ? ? 1 ? ?2-y?

????? 2 分 ????? 4 分

?x-2=1, 1 因为 AX=? ?,所以? 解得 x=3,y=0. ?2? ?2-y=2, ?2 3? ,又 B=?1 -1?, (2)由(1)知 A=? ? ? ? ?0 2? ?0 2? ?2 3? ?1 -1? = ?2 4?. 所以 AB=? ? ? ? ? ? ?0 2? ?0 ?0 4? 2? ?a b?,则 ?2 4? ?a b? = ?1 0?, - 设(AB) 1 =? ? ? ? ? ? ? ? ?c d ? ?0 4? ?c d ? ?0 1? ?2a+4c 2b+4d? ?1 0? . 即 ? ? = ? ? ?0 1? ? 4c 4d ?

????? 6 分

????? 8 分

a+4c=1, ?2 4c=0, 1 1 1 所以 ? 解得 a= ,b=- ,c=0,d= , 2 2 4 2b+4d=0, ?4d=1,

即(AB)

-1

?2 = ? ?0

1

1 - 2

? . 1? 4?

????? 10 分

(说明:逆矩阵也可以直接使用公式求解,但要求呈现公式的结构) C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:由于?2=x2+y2,?cosθ=x, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-8x+15=0,

南京市 2017 届高三三模考试数学试卷 第 14 页 共 16 页

即(x-4)2+y2=1,所以曲线 C 是以(4,0)为圆心,1 为半径的圆. 直线 l 的直角坐标方程为 y=x,即 x-y=0. |4-0| 因为圆心(4,0)到直线 l 的距离 d= =2 2>1. 2 所以直线 l 与圆相离,从而 PQ 的最小值为 d-1=2 2-1. D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为 x>0,所以 x3+2=x3+1+1≥3 x3×1×1=3x, 当且仅当 x3=1,即 x=1 时取“=” . 因为 y2+1-2y=(y-1)2≥0,所以 y2+1≥2y, 当且仅当 y=1 时取“=” . 所以(x3+2)+(y2+1)≥3x+2y, 即 x3+y2+3≥3x+2y,当且仅当 x=y=1 时,取“=” .
3

????? 3 分 ????? 6 分 ????? 8 分 ????? 10 分

????? 4 分

????? 8 分

????? 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说 . ....... 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)设 P(x,y)为曲线 C 上任意一点. 因为 PS⊥l,垂足为 S,又直线 l:x=-1,所以 S(-1,y). → 因为 T(3,0),所以ST=(4,-y). → → → 因为OP=(x,y),OP·ST=0,所以 4x-y2=0,即 y2=4x. 所以曲线 C 的方程为 y2=4x. (2)因为直线 PQ 过点(1,0), 故可设直线 PQ 的方程为 x=my+1.P(x1,y1),Q(x2,y2).
?y2=4x, 联立? 消去 x,得 y2―4my―4=0. ?x=my+1,

????? 3 分

所以 y1+y2=4m,y1y2=―4.

????? 5 分

x1+x2 y1+y2 因为 M 为线段 PQ 的中点,所以 M 的坐标为( , ),即 M (2m2+1,2m). 2 2 又因为 S(-1,y1),N(-1,0), → → 所以SM=(2m2+2,2m-y1),NQ=(x2+1,y2)=(my2+2,y2). ????? 7 分 因为(2m2+2) y2-(2m-y1)(my2+2)=(2m2+2) y2-2m2y2+my1y2-4m+2y1

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=2(y1+y2)+my1y2-4m=8m-4m-4m=0. → → 所以向量SM与NQ共线. 23. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意,当 n=2 时,数列{an}共有 6 项. 要使得 f(2)是 2 的整数倍,则这 6 项中,只能有 0 项、2 项、4 项、6 项取 1,
0 2 4 6 故 T2=C6 +C6 +C6 +C6 =25=32. 3n (2)Tn=C30n+C33n+C36n+?+C3 n.

?????? 10 分

??????? 3 分 ??????? 4 分

当 1≤k≤n,k∈N*时,
k 3k 3k-1 3k - 1 3k 3k-1 3k-2 3k-1 3k 3k-2 C3n3+ 3=C3n+2+C3n+2=C3n+1+C3n+1+C3n+1+C3n+1=2C3n+1+C3n+1+C3n+1 1 3k-2 3k-1 3k 3k-3 3k-2 =2 (C3k3- n +C 3n )+C 3n +C3n+C 3n +C 3n 1 3k-2 3k 3k-3 =3 (C3k3- n +C 3n )+C3n+C 3n , 3 6 3n+3 于是 Tn+1=C3n0 +3+C3n+3+C3n+3+?+C3n+3 3n+3 1 2 4 5 3n-2 3n-1 0 3n =C3n0 +3+C3n+3 +3(C3n+C3n+C3n+C3n+?+C 3n +C 3n )+Tn-C3n+Tn-C3n

??????? 6 分

=2Tn+3(23n-Tn) =3×8n-Tn. 1 下面用数学归纳法证明 Tn= [8n+2(-1)n]. 3 1 0 3 当 n=1 时,T1=C3 +C3 =2= [81+2(-1)1],即 n=1 时,命题成立. 3 1 假设 n=k (k≥1,k∈N*)时,命题成立,即 Tk= [8k+2(-1)k]. 3 则当 n=k+1 时, 1 1 1 + + Tk+1=3×8k-Tk=3×8k- [8k+2(-1)k]= [9×8k-8k-2(-1)k]= [8k 1+2(-1)k 1], 3 3 3 即 n=k+1 时,命题也成立. 1 于是当 n∈N*,有 Tn= [8n+2(-1)n]. 3 ??????? 10 分 ??????? 8 分

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