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河北省邯郸市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版

河北省邯郸市2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


2013-2014 学年度第一学期期末高一数学试题
注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟。 2、全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 3.每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 第I卷 一 、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? {2,3, 4} ,若集合 A ? {2,3} ,则 CU A ?
A .1 B .2

A . 80

B . 64 ?

16 13 3

3 4 4
主视图

3 4 4
侧视图

C . 104

D . 80 ? 8 13

4 4
俯视图

6.已知直线 l 上两点 A, B 的坐标分别为 (3,5),(a, 2) ,且直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 垂直,
D .4

C .3

则 a 的值为
A .?

2.过点 A(

3,1) 且倾斜角为 60 的直线方程为
B . y ? 3x ? 2

3 4

B.

3 4

C .?

4 3

D.

4 3

A . y ? 3x ? 2

C. y?

3 x?2 3

D.y?

3 x?2 3

7.函数 f ( x) ? 1 ? e x 的图象大致是
y
O
O x

3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之
y
y

y x

后增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关 系,可选用
A .一次函数 B .二次函数

O x

O

x

C .指数型函数

D .对数型函数

4.点 M (3, ?4) 和点 N (m, n) 关于直线 y ? x 对称,则
A . m ? ?4, n ? ?3 B . m ? 4, n ? ?3 D . m ? 4, n ? 3

A 8.函数 f ( x) ? ln x ?
A . (e?4 , e?2 )

B
1 的零点所在的区间是 2
B . (e?2 ,1)

C

D

C . m ? ?4, n ? 3

C . (1, e2 )

D . (e 2 , e 4 )

5.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的体积是

9.下列函数中既是奇函数又是 (1, ??) 上的增函数的是

-1-

A . f ( x) ? 2x ? 2? x

B . f ( x) ? 2? x ? 2x

C . f ( x) ? x ? ln x

D . f ( x) ? x ln | x |

? ,则 m ∥ l .
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题 10 分)

10.已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等,底面边长为 2 ,则该三棱锥的外接 球的表面积是
A . 6? B . 12?

C . 18?
0.3

D . 24?
2

已知函数 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? loga (2 ? x), a ? 0 且 a ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的定义域;

11.已知函数 f ( x) ? log2 x , a ? 2 , b ? log2 5, c ? 0.3 ,则下列选项正确的是
A . f (a ) > f (b) > f (c) B . f (b) > f (a ) > f (c) D . f (c) > f (a ) > f (b)

C . f (c) > f (b) > f (a )

? 4 ?1 ? ( x ? 4) 12.已知函数 f ? x ? ? ? x , 若关于 x 的方程 f ? x ? ? k 有两个不同的根, 则实数 k ? ?log 2 x( x ? 4)
的取值范围是
A . (??,1) B . (??, 2)

(Ⅱ)判断 f ( x) 的奇偶性并予以证明.

C . (1, 2)

D . [1, 2)

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.函数 f ( x) ? a x (a ? 1) 在 [1, 2] 上的最大值比最小值大
a ,则 a ? 2

14.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 BD 与 AD1 所成角度为 15.已知两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 , l2 : 3x ? 4 y ? m ? 0 之间的距离为 2 ,则 m ? 16.设 l 、 m 、 n 表示不同的直线, ? , ? , ? 表示不同的平面,则下列四个命题正确 的是 ①若 m ∥ l ,且 m ?? ,则 l ?? ;②若 m ∥ l ,且 m ∥ ? ,则 l ∥ ? ;③若

18. (本小题 12 分) 如图,已知在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面四边形 ABCD 是直 角梯形, ?ABC ? 90 ,
SA ? 平面ABCD , SA ? AB ? BC ? 2 .

?

? ? l , ? ? ? m, ?

? ? n ,则 m ∥ l ∥ n ;④若 ?

? ? m, ? ? ? l , ?

? ? n ,且 n ∥

(Ⅰ)求证: 平面SAB ? 平面SBC ;

-2-

(Ⅱ)求直线 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

21. (本小题 12 分) 某家具厂生产一种儿童用组合床柜的固定成本为 20000 元,每生产一组该组合床柜需 ì 1 ? ? - x 2 + 400 x(0 #x 400) 要增加投入 100 元,已知总收益满足函数: R( x) = ? ,其中 x í 2 ? ? ( x > 400) ? 80000 ? 是组合床柜的月产量. (Ⅰ)将利润 y 元表示为月产量 x 组的函数;

19. (本小题 12 分) 已知直线 l1 过点 A(2,1), B(0,3) ,直线 l2 的斜率为 ?3 且过点 C (4, 2) . (Ⅰ)求 l1 、 l2 的交点 D 的坐标;

(Ⅱ)当月产量为何值时,该厂所获得利润最大?最大利润是多少? (总收益=总成本+利润)
15 7 (Ⅱ) 已知点 M (?2, 2), N ( , ) ,若直线 l3 过点 D 且与线段 MN 相交, 求直线 l3 的斜率 k 2 2

22. (本小题 12 分)

的取值范围.

已知函数 f ( x) ? x ? 20. (本小题 12 分) 已知在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 为 CC1 的中点. (Ⅰ)求证: AC1 ∥ 面DBE ;

a ( a ? 0 ). x

(Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a , ??) 上是增函数,并写 出当 x ? 0 时 f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)求三棱锥 B1 ? DBE 的体积.

(Ⅱ)已知函数 h ? x ? ? x ?

4 ? 8, x ? ?1,3? ,函数 g ? x ? ? ?x ? 2b ,若对任意 x1 ??1,3? ,总存 x

在 x2 ??1,3? ,使得 g ? x2 ? ? h ? x1 ? 成立,求实数 b 的取值范围.

-3-

2013-2014 学年度第一学期期末教学质量检测高一数学试卷答案及评分标准 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1-5 DADCA 6-10BABDA 11-12BC

又∵ ?ABC ? 90 即 AB ? BC ∵ AB、SA ? 面SAB ∴ BC ? 面SAB ………………………………………………………4 分 又∵ BC ? 面SBC S

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.
3 2

14. 60 o

15. ?8或12

16. ①④

∴ 平面SAB ? 平面SBC ………………………………………………6 分 (Ⅱ)解:连接 AC ∵ SA ? 平面ABCD ∴ AC 是 SC 在底面 ABCD 内的射影 ∴ ?SCA 为直线 SC 与底面 ABCD 所成角………………9 分 ∵ AB ? BC ? 2 , ?ABC ? 90 ∴ AC ? 2 2 又∵ SA ? 2 ∴ tan ?SCA ? A D B C

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分)

?x ? 2 ? 0 解: (Ⅰ)由题得 ? ,…………………………………………3 分 ?2 ? x ? 0
所以函数 f ( x) 的定义域为 {x | ?2 ? x ? 2}…………………………………………………5 分 (Ⅱ)函数 f ( x) 为奇函数…………………………………………6 分 证明:由(Ⅰ)知函数 f ( x) 的定义域关于原点对称………………7 分 且 f (? x) ? loga (? x ? 2) ? loga (2 ? x) ? ? loga (2 ? x) ? loga (2 ? x)

2 2 2

?

2 2 ,即直线 SC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 …12 分 2 2

? ?[loga (2 ? x) ? loga (2 ? x)] ? ? f ( x)
所以函数 f ( x) 为奇函数…………………………………………………10 分 18. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:∵ SA ? 平面ABCD , BC ? 平面ABCD ∴ SA ? BC …………………………………………………………2 分

19. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)∵直线 l1 过点 A(2,1), B(0,3) , ∴直线 l1 的方程为
y ?1 3 ?1 ? ,即 y ? ? x ? 3 ………………………2 分 x?2 0?2

又∵直线 l2 的斜率为 ?3 且过点 C (4, 2) ∴直线 l2 的方程为 y ? 2 ? (?3)( x ? 4) ,即 y ? ?3x ? 14 ………………4 分

-4-

11 ? x? ? ? y ? ?3x ? 14 11 5 ? 2 ∴? ,解得 ? 即 l1 、 l2 的交点 D 坐标为 ( , ? ) ………6 分 2 2 ? y ? ?x ? 3 ?y ? - 5 ? ? 2

3 k ? ? 或k ? 3 .…………………………………12 分 5

20. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:如图,连接 AC 交 BD 于点 F ,连接 EF , 则由题在 ?ACC1 中, EF 是两边 CC1 、 AC 上的中位线, ∴ EF ∥ AC1 ……………………………………4 分 又∵ EF ? 面DBE ∴ AC1 ∥ 面DBE ………………………………6 分 (Ⅱ)解:由题 VB1 ?DBE ? VD?B1BE …………………………8 分 A
1 而在三棱锥 D ? B1BE 中, S?B1BE ? ? 2 ? 2 ? 2 ,高为正方体的棱长, 2 1 1 4 4 ∴ VD ? B1BE ? S B1BE ? h ? ? 2 ? 2 ? ? VB1 ? DBE ,即 VB1 ? DBE ? .……………12 分 3 3 3 3
D F B C D1 C1

说明:在求直线 l1 的方程的方程时还可以利用点斜式方程或一般式方程形式求解.
5 11 ? k ( x ? ) ………………7 分 2 2 15 又由已知可得线段 MN 的方程为 3 x ? 19 y ? 44 ? 0(?2 ? x ? ) …………8 分 2

(Ⅱ)法一:由题设直线 l3 的方程为 y ?

A1

B1

E

∵直线 l3 且与线段 MN 相交
5 11 ? y ? ? k(x ? ) ? ? 2 2 ∴? ?3 x ? 19 y ? 44 ? 0(?2 ? x ? 15 ) ? ? 2

解得 ?2 ?

209k ? 183 15 ? ………………………………………………10 分 38k ? 6 2

3 得 k ? ? 或k ? 3 5 3 ∴直线 l3 的斜率 k 的取值范围为 k ? ? 或k ? 3 .…………………………12 分 5

21. (本小题 12 分) 解: (Ⅰ)由题设,总成本为 20000 ? 100 x ,………………………………2 分 ? 1 2 ?? x ? 300 x ? 20000, 0 ? x ? 400 则y?? 2 ………………………………6 分 ? x ? 400 ?60000 ? 100 x, 1 (Ⅱ)当 0 ? x ? 400 时, y ? ? ( x ? 300) 2 ? 25000 , 2 当 x ? 300 时, ymax ? 25000 ;…………………………………………9 分 当 x ? 400 时, y ? 60000 ? 100 x 是减函数, 则 y ? 60000 ? 100 ? 400 ? 20000 ? 25000 .………………………………11 分 ∴当 x ? 300 时,有最大利润 25000 元.………………………………12 分 22. (本小题 12 分) (Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, ① 设 x1 , x2 是区间 (0, a ] 上的任意两个实数,且 x1 ? x2 ,则

法二:由题得右图,……………………7 分

5 ? ?2 3 ∵ kMD ? 2 ? ? ……8 分 11 5 ? (?2) 2 5 7 ? ? k ND ? 2 2 ? 3 ……………………9 分 11 15 ? 2 2
∴直线 l3 的斜率 k 的取值范围为

y

M EM ?2 BE 去 D Equ EM ati BE on. D DS Equ MT ati 4 on. | } DS
?2

去 去 O E EM 5 ?M BE2 BE D D Equ Eq ati ua on. ti DS on MT .D 4 S |} M
?2

2

7 2

N N Ex 11 15 2 2M D去BE D E Eq Mua ti BE D on Eq.D uaS ti M

-5-

MT

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

a a ) ? ( x2 ? ) x1 x2 a a ? ) x1 x2 x2 ? x1 ) x1 x2

??3 ? 2b ? ?4 1 于是有: ? ,解得 ? b ? 1 .………………………………12 分 2 ??1 ? 2b ? ?3

? ( x1 ? x2 ) ? (

? ( x1 ? x2 ) ? a( ? ( x1 ? x2 )(1 ?

a ) ……………2 分 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? a ,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? a ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x) 在 (0, a ] 是减函数……………4 分 ②同理可证 f ( x) 在 [ a , ??) 是增函数………………………………………5 分 综上所述得: 当 x ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ] 是减函数,在 [ a , ??) 是增函数. …………… 6分
a ∵函数 f ( x) ? x ? (a ? 0) 是奇函数,根据奇函数图像的性质可得 x

当 x ? 0 时, f ( x) 在 [? a ,0) 是减函数,在 (??, ? a ] 是增函数……………8 分 (Ⅱ)解:∵ h( x) ? x ?
4 ? 8 ( x ??1,3? )………8 分 x

由(Ⅰ)知: h ? x ? 在 ?1,2? 单调递减, ?2,3? 单调递增 ∴ h ? x ?min ? h ? 2? ? ?4 ,

h ? x ?max ? max ?h ?3? , h ?1?? ? ?3 , h ? x ? ???4, ?3? ………………………10 分
又∵ g ?x ? 在 ?1,3? 单调递减, ∴由题意知: ??4, ?3? ? ??3 ? 2b, ?1 ? 2b?

-6-


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