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2.2.2--向量减法运算及其几何意义

2.2.2--向量减法运算及其几何意义

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

教学目标:

1、 了解相反向量的概念;

2、掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义;

3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间 可以相互转化的辩证思想.

教学重点:向量减法的概念和向量减法的作图法.

教学难点:减法运算时方向的确定.

学 法:减法运算是加法运算的逆运算,学生在理解相反向量的基础上结合向 量的加法运算掌握向量的减法运算;并利用三角形做出减向量.

教 具:多媒体或实物投影仪,尺规

授课类型:新授课

教学思路:

一、 复习:向量加法的法则:三角形法则与平行四边形法则

向量加法的运算定律: 例:在四边形中,CB+BA+BC= . 解:CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD .

D

C

二、 提出课题:向量的减法 1.用“相反向量”定义向量的减法

A

B

(1) “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a

(2) 规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a.

任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0

如果 a、b 互为相反向量,则 a = -b, b =-a, a + b = 0

(3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差.

即:a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2.用加法的逆运算定义向量的减法:

向量的减法是向量加法的逆运算:

若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a - b

3.求作差向量:已知向量 a、b,求作向量

∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a a

O

a

作法:在平面内取一点 O,作 OA = a, AB = bb

b a-b

则 BA = a - b

B

即 a - b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量.

注意:1. AB 表示 a - b.强调:差向量“箭头”指向被减数

2.用“相反向量”定义法作差向量,a - b = a + (-b)

显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.
B’

a

?b

a+ (-b)

O

a

bB

b

b

A

B
探究:
(1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 b - a.

a

a-b

a-b

OBA

B’ O

BA

b

a

a-b

a-b

b

O

A -b B B O

A

(2)若 a∥b, 如何作出 a - b ? 三、 例题: 例 1、已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.

解:在平面上取一点 O,作 OA = a, OB = b, OC = c, OD = d,

作 BA , DC , 则 BA = a-b, DC = c-d

b

d

a

c

A

B

D

C O

例 2、平行四边形 ABCD中, AB ? a, AD ? b,
用 a、b 表示向量 AC 、 DB .
A
解:由平行四边形法则得:

D

C

B

AC = a + b, DB = AB ? AD = a-b

变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直?(|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a-b|?(a, b 互相垂直) 变式三:a+b 与 a-b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 对角线方向不同)

例 3、 判断题:

(1)若非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,则 a+b 的方向必与 a、b 之一的方向相

同.

(2)△ABC 中,必有 AB + BC + CA =0.

(3)若 AB + BC + CA =0,则 A、B、C 三点是一个三角形的三顶点.

(4)|a+b|≥|a-b|.

设计意图:根据向量的加、减法及其几何意义解决相关问题.

解:(1)a 与 b 方向相同,则 a+b 的方向与 a 和 b 方向都相同;

若 a 与 b 方向相反,则有可能 a 与 b 互为相反向量,

此时 a+b=0 的方向不确定,说与 a、b 之一方向相同不妥.

(2)由向量加法法则 AB + BC = AC , AC 与 CA 是互为相反向量,所以有上述结论.

(3)因为当 A、B、C 三点共线时也有 AB + BC + AC =0,而此时构不成三角形.

(4)当 a 与 b 不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以 a 和 b 为邻边的平行四边形的两

条对角线的长,其大小不定.

当 a、b 为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;

当 a、b 中有零向量时,|a+b|=|a-b|.

综上所述,只有(2)正确.

例 4、 若| AB |=8,| AC |=5,则| BC |的取值范围是( )

A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)

设计意图:重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的运用.

解析: BC = AC - AB .

(1)当 AB 、 AC 同向时,| BC |=8-5=3;(2)当 AB 、 AC 反向时,| BC |=8+5=13;

(3)当 AB 、 AC 不共线时,3<| BC |<13.综上,可知 3≤| BC |≤13.答案:C 练习:

1.若 AC =a+b, DB =a-b. ①当 a、b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直?

②当 a、b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? ③当 a、b 满足什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹的角 ? ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗?

解析:如图 6,用向量构建平行四边形,其中向量 AC 、 DB 恰为平行四边形的对角 线. 由平行四边形法则,得 AC =a+b, DB = AB - AD =a-b. 由此问题就可转换为: ①当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线互相垂直?(|a|=|b|) ②当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线相等?(a、b 互相垂直) ③当边 AB、AD 满足什么条件时,对角线平分内角?(a、b 相等) ④a+b 与 a-b 可能是相等向量吗?(不可能,因为对角线方向不同

2.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( )

A.a+b

B.-a+(-b)

C.a-b

D.b-a

3.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则

A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

4.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:

a+b= ,b+c=

,c-d=

,a+b+c-d= .

5、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、 四、课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识: 相反向量,向量减法的定义,向量减法 的几何意义,向量差的作图. 2.教师与学生一起总结本节学习的数 学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论. 五、作业布置
课本习题 2.2 A 组 5、(4)~(7)6、7、8. 六、 板书设计(略)


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