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河北省唐山市2018届高三年级第一次模拟考试(理科)数学(解析版)

河北省唐山市2018届高三年级第一次模拟考试(理科)数学(解析版)


唐山市 2017-2018 学年度高三年级第一次模拟考试 理科数学试卷
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1. A. C. 【答案】A 【解析】 故答案为:A. 2. 设集合 A. 【答案】C 【解析】集合 故两个集合相等. 故答案为:C. 3. 已知 A. B. ,且 C. D. ,则 ( ) , , B. , C. D. ,则( ) , ( ) B. D.

【答案】B 【解析】已知 故答案为:B. 4. 两个单位向量 , 的夹角为 A. B. C. D. ,则 ( ) , ,将 代入得到 .

【答案】D 【解析】两个单位向量 , 的夹角为 , 则

代入得到 . 故答案为: . 5. 用两个 ,一个 ,一个 ,可组成不同四位数的个数是( A. B. C. D. )

【答案】D 【解析】根据题意得到有两个 1 是相同的,故可以组成不同的四个数字为 故答案为:D. 6. 已知 A. 【答案】D 【解析】根据题意得到 故答案为:D. 7. 如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图,该程序所能实现的功能是( ) , ,故 , ,故得到 . , B. , ,则( C. ) D.

A. 求 B. 求 C. 求 D. 求 【答案】C 【解析】根据题意得到:a=0,s=0,i=1, A=1,s=1,i=2, A=4,s=1+4,i=3,

A=9,s=1+4+9,i=4, A=16,s=1+4+9+16,i=5, 依次写出 s 的表达式,发现规律,满足 C. 故答案为:C. 8. 为了得到函数 A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度 【答案】A 【解析】函数 将函数 故答案为:A. 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( ) 的图象向做平移 个单位长度即可. , 的图象,可以将函数 的图象( )

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】根据题意得到该几何体是一个三棱柱切下了一个三棱锥,剩下的部分的表面积由一个等腰三角形, 两个直角梯形,一个等腰直角三角形,一个长方形构成.面积和为 故答案为:A.

10. 已知 为双曲线 : 渐近线于点 .若 A. B. C.

的右焦点,过点 向 的一条渐近线引垂线,垂足为 ,交另一条 ,则 的离心率是( D. )

【答案】B 【解析】根据题意画出图像,得到 由结论焦点到对应渐近线的距离为 b 得到:AF=b,故

OA=a,OF=c,而角 AOF 等于角 FOB ,又因为三角形 AOB 为直角三角形,由二倍角公式得到

化简得到 c=2b,故得到离心率为

.

故答案为:B. 11. 已知函数 A. C. 的图象关于 轴对称 有 个零点 D. ,则下列关于 B. , 的表述正确的是( 的最小值为 )

有无数个极值点

【答案】D 【解析】A 因为函数 B. 假设 得到 误的; C ,其中一个零点为 0,另外的零点就是 两个图像的交点,两者的图像只 ,使得 的最小值为 ,即 ,故函数不是偶函数,图像也不关于 y 轴对称;A 不正确; 有解, 在同一坐标系中画出图像,

的最大值为 2,

最小值为 2,且不是在同一个 x 处取得的,故得到两个图像无交点,故 B 是错

有一个交点,故选项不正确; D 化一得到 可得到 D.故答案为:D. 12. 已知 , , , 是半径为 的球面上的点, 三棱锥 体积的最大值是( ) , ,点 在 上的射影为 ,则 , , ,此时满足 的 x 值有无数个;或者根据排除法也

A. C.

B. D.

【答案】B 【解析】如图,

由题意,PA=PB=PC=2,∠ABC=90° , 可知 P 在平面 ABC 上的射影 G 为△ ABC 的外心,即 AC 中点, 则球的球心在 PG 的延长线上,设 PG=h,则 OG=2﹣h, ∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2,即 4﹣(2﹣h)2=4﹣h2,解得 h=1. 则 AG=CG= , 过 B 作 BD⊥AC 于 D,设 AD=x,则 CD= 再设 BD=y,由△ BDC∽△ADB,可得 ∴y= 令 f(x)= , ,则 f′(x)= , , , 故答案为:B. , , ,

由 f′(x)=0,可得 x= ∴当 x=

时,f(x)max=

∴△ABD 面积的最大值为 则三棱锥 P﹣ABD 体积的最大值是

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 设 , 满足约束条件 【答案】-5 ,则 的最小值是__________.

【解析】根据条件得到可行域是一个封闭的三角形区域,目标函数化为 (-1.-1)时有最小值,代入得到值为-5. 故答案为:-5. 14.

,得到当目标函数过点 A

的展开式中,二项式系数最大的项的系数是__________. (用数字作答)

【答案】-160 【解析】 故答案为:-160. 15. 已知 为抛物线 ,直线 【答案】 【解析】如图 上异于原点 的点, __________. 轴,垂足为 ,过 的中点作 轴的平行线交抛物线于点 的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数为

交 轴于点 ,则



2 2 2 设 P(t ,t) ,则 Q(t ,0) ,PQ 中点 H(t , ) .M



∴直线 MQ 的方程为:

令 x=0,可得 yN=

∴则

故答案为: . 16. 在 中, 角 , , 的对边分别为 , ,, 边上的高为 , 若 , 则 的取值范围是__________.

【答案】[2,2 ] 【解析】根据题意得到



范围为[2,2 ].

故答案为:[2,2 ].

三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第(22) 、 (23)题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分.
17. 已知数列 (1)求 (2)若 为单调递增数列, 为其前 项和, .

的通项公式; , 为数列 的前 项和,证明: .

【答案】(1) an=n (2)见解析 【解析】试题分析: (1)根据题干中所得给的式子 求出通项; (2)根据题意得到 的通项,进行裂项求和. 解析:
2 (Ⅰ)当 n=1 时,2S1=2a1=a +1,所以(a1-1) =0,即 a1=1,

,再写一项两式做差得到 an+1-an=1,进而

又{an}为单调递增数列,所以 an≥1. 由 2Sn=a +n 得 2Sn+1=a 整理得 2an+1=a +n+1,所以 2Sn+1-2Sn=a -a +1,

-a +1,所以 a =(an+1-1)2.

所以 an=an+1-1,即 an+1-an=1, 所以{an}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,所以 an=n. (Ⅱ)bn= 所以 Tn=( - = )+( - = )+…+[ - - ]









18. 某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每公斤 元,成本为每公斤 元.销售宗旨是当天进货当天销售. 如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每公斤损失 元.根据以往的销售情况,按 , , , 进行分组,得到如图所示的频率分布直方图. ,

(1)求未来连续三天内,该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于 公斤的概率;

公斤,而另一天日销售量低于

(2)在频率分布直方图的需求量分组中,以各组区间的中点值代表该组的各个值. (i)求日需求量 的分布列; (ii)该经销商计划每日进货 进货 公斤还是 公斤? 公斤或 公斤,以每日利润 的数学期望值为决策依据,他应该选择每日

【答案】(1)0.192(2) (ⅰ)见解析(ⅱ)该经销商应该选择每日进货 400 公斤 【解析】试题分析: (1)根据频率分布直方图得到不低于 350 公斤的概率为 0.4,有连续两天该种鲜鱼的日 销售量不低于 公斤, 而另一天日销售量低于 公斤的概率即分两种情况按照概率相乘计算即可; (2) (i)

X 可取 100,200,300,400,500,根据图得到对应的长方形的概率值, (ii)根据题意求出进货量为 300, 400 时的利润均值,选择较高的即可. 解析;’ (Ⅰ)由频率分布直方图可知, 100=0.4, 日销售量不低于 350 公斤的概率为(0.0025+0.0015)× 则未来连续三天内,有连续两天的日销售量不低于 350 公斤,而另一天日销售量低于 350 公斤的概率 P=0.4× 0.4× (1-0.4)+(1-0.4)× 0.4× 0.4=0.192. (Ⅱ)(ⅰ)X 可取 100,200,300,400,500, P(X=100)=0.0010× 10=0.1; P(X=200)=0.0020× 10=0.2; P(X=300)=0.0030× 10=0.3; P(X=400)=0.0025× 10=0.25;

P(X=500)=0.0015× 10=0.15; 所以 X 的分布列为:

(ⅱ)当每日进货 300 公斤时,利润 Y1 可取-100,700,1500, 此时 Y1 的分布列为:

0.1+700× 0.2+1500× 0.7=1180; 此时利润的期望值 E(Y1)=-100× 当每日进货 400 公斤时,利润 Y2 可取-400,400,1200,2000, 此时 Y2 的分布列为:

0.1+400× 0.2+1200× 0.3+2000× 0.4=1200; 此时利润的期望值 E(Y2)=-400× 因为 E(Y1)<E(Y2), 所以该经销商应该选择每日进货 400 公斤. 19. 如图,在三棱柱 中,平面 平面 , .

(1)证明: (2)若

; 是正三角形, ,求二面角 的大小.

【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析: (1)要证线线垂直,可以从线面垂直入手,证得 AC⊥平面 A1B1C,进而得到 AC⊥



(2)利用空间坐标系的方法,求得两个面的法向量,通过向量的夹角的计算得到二面角的大小.
解析: (Ⅰ)过点 B1 作 A1C 的垂线,垂足为 O,

由平面 A1B1C⊥平面 AA1C1C,平面 A1B1C∩平面 AA1C1C=A1C, 得 B1O⊥平面 AA1C1C, 又 AC 平面 AA1C1C,得 B1O⊥AC. ,AB∥A1B1,得 A1B1⊥AC. 由∠BAC=90° 又 B1O∩A1B1=B1,得 AC⊥平面 A1B1C. 又 CA1 平面 A1B1C,得 AC⊥CA1. (Ⅱ)以 C 为坐标原点, 的方向为 x 轴正方向,| |为单位长,建立空间直角坐标系 C-xyz. ). =(0,-1, ).

由已知可得 A(1,0,0),A1(0,2,0),B1(0,1, 所以 =(1,0,0), =(-1,2,0), =

设 n=(x,y,z)是平面 A1AB 的法向量,则

即 可取 n=(2 , ,1).

设 m=(x,y,z)是平面 ABC 的法向量,则 即 可取 m=(0, 则 cos?n,m?= ,1). = .

又因为二面角 A1-AB-C 为锐二面角, 所以二面角 A1-AB-C 的大小为 .

20. 已知椭圆 : , .当

的左焦点为 ,上顶点为 ,长轴长为 时, 与 重合.

, 为直线 :

上的动点,

(1)若椭圆 的方程; (2)若直线 【答案】(1) 交椭圆 于 , 两点,若 1 (2) m=± ,求 的值.

kBF=-1,进而求出椭圆方程; 【解析】试题分析: (1)根据题意得到由 AF⊥BF 得 kAF· (2)由 AP⊥AQ 得, |AM|2=|PM|· |QM|,联立直线 BM 和椭圆得到二次方程,由韦达定理得到|PM|· |QM|的表达式,|AM|2=2+ 两式相等即可. 解析: (Ⅰ)依题意得 A(0,b),F(-c,0),当 AB⊥l 时,B(-3,b), kBF= 由 AF⊥BF 得 kAF· 解得 c=2,b= . · =-1,又 b2+c2=6. ,

所以,椭圆 Γ 的方程为 + =1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 A(0, 又 AM⊥BM,所以 kBM= 设 P(x1,y1),Q(x2,y2). y= (x-m)与 + =1 联立得(2+3m2)x2-6m3x+3m4-12=0, ,x1x2= . ),依题意,显然 m≠0,所以 kAM=- ,所以直线 BM 的方程为 y= ,

(x-m),

x1+x2=

|PM|· |QM|=(1+ )|(x1-m)(x2-m)| =(1+ )|x1x2-m(x1+x2)+m2| =(1+ )· = |AM|2=2+m2,
2 |QM|, 由 AP⊥AQ 得,|AM| =|PM|·



所以

1. =1,解得 m=±

学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网...学,科,网... 21. 已知函数 , .

(1)设 (2)证明:当

,求

的最小值; 与 都相切.

时,总存在两条直线与曲线

【答案】(1) x=-1 时,F(x)取得最小值 F(-1)=-

(2) 见解析

【解析】试题分析: (1)对函数求导,研究函数的单调性,得到最小值; (2)根据公切线的定义得到 (t-1)e 解析: (Ⅰ)F?(x)=(x+1)ex-1, 当 x<-1 时,F?(x)<0,F(x)单调递减; 当 x>-1 时,F?(x)>0,F(x)单调递增, 故 x=-1 时,F(x)取得最小值 F(-1)=- . (Ⅱ)因为 f?(x)=ex-1, 所以 f(x)=e
x-1 t-1

-t+a=0 有两个根即可,研究这个函数的单调性和图像,得到这个图像和 x 轴有两个交点.

在点(t,e ,

t-1

)处的切线为 y=et-1x+(1-t)et-1;

因为 g?(x)=

所以 g(x)=lnx+a 在点(m,lnm+a)处的切线为 y=

x+lnm+a-1,

由题意可得 令 h(t)=(t-1)e
t-1

t-1 则(t-1)e -t+a=0.

-t+a,则 h?(t)=tet-1-1

由(Ⅰ)得 t<-1 时,h?(t)单调递减,且 h?(t)<0; 当 t>-1 时,h?(t)单调递增,又 h?(1)=0,t<1 时,h?(t)<0, 所以,当 t<1 时,h?(t)<0,h(t)单调递减; 当 t>1 时,h?(t)>0,h(t)单调递增. 由(Ⅰ)得 h(a-1)=(a-2)e 又 h(3-a)=(2-a)e
2-a a-2

+1≥-

+1>0,

+2a-3>(2-a)(3-a)+2a-3=(a- )2+ >0,

h(1)=a-1<0,所以函数 y=h(t)在(a-1,1)和(1,3-a)内各有一个零点, 故当 a<1 时,存在两条直线与曲线 f(x)与 g(x)都相切. 点睛:本题考查了导数的综合应用问题,解题时应根据函数的导数判定函数的增减性以及求函数的极值和 最值,应用分类讨论法,构造函数等方法来解答问题.对于函数恒成立或者有解求参的问题,常用方法有:

变量分离,参变分离,转化为函数最值问题;或者直接求函数最值,使得函数最值大于或者小于 0;或者分 离成两个函数,使得一个函数恒大于或小于另一个函数.

(二)选考题:共 10 分.请考生在(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题记分.
22. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 建立极坐标系. (1)求 , 的极坐标方程; (2)设曲线 : ( 为参数且 ) , 与圆 , 分别交于 , ,求 的最大值. 中,圆 : ,圆 : .以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴

【答案】(1) ρ=2cosθ;ρ=6cosθ(2) 当 α=± 时,S△ ABC2 取得最大值 3 S△ABC2= × d× |AB|, 【解析】 试题分析: (1) 根据极坐标和直角坐标的转化公式得到两个曲线的极坐标方程; (2) 根据极径的概念得到|AB|=4cosα,进而求得最值. 解析: (Ⅰ)由 x=ρcosθ,y=ρsinθ 可得, C1:ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρcosθ+1=1,所以 ρ=2cosθ; C2:ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-6ρcosθ+9=9,所以 ρ=6cosθ. (Ⅱ)依题意得|AB|=6cosα-2cosα=4cosα,- C2(3,0)到直线 AB 的距离 d=3|sinα|, 所以 S△ ABC2= × d× |AB|=3|sin2α|, <α< ,

故当 α=± 时,S△ ABC2 取得最大值 3. 23. 选修 4-5:不等式选讲 设函数 (1)求 的值; (2)若正实数 , 满足 【答案】(1) m=1 (2) 【解析】试题分析: (1)零点分区间去掉绝对值,得到分段函数的表达式,根据图像即可得到函数最值; (2) ,求 的最小值. 的最大值为 .

将要求的式子两边乘以(b+1)+(a+1),再利用均值不等式求解即可. 解析: (Ⅰ)f(x)=|x+1|-|x|= 由 f(x)的单调性可知,当 x≥1 时,f(x)有最大值 1. 所以 m=1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,a+b=1, + = ≥ = = 即 = ( + + )[(b+1)+(a+1)] ] )

[a2+b2+ (a2+b2+2 (a+b)2

.当且仅当 a=b= + 的最小值为

时取等号. .


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