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2017高中数学人教A版必修二全程复习课件:4.2.3 直线与圆的方程的应用_图文

2017高中数学人教A版必修二全程复习课件:4.2.3 直线与圆的方程的应用_图文

4.2.3 直线与圆的方程的应用 类型 一 直线与圆的方程的实际应用 尝试解答下列直线与圆的方程的应用问题,试总结解直线 与圆的方程的实际应用问题的一般步骤. 1.(2013·成都高一检测)如图所示, 一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱 顶离水面2m,水面宽12m,当水面下 降1m后,水面宽为 m. 2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的 圆形区域.(假设台风中心不动)已知港口位于台风中心正北 40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的 影响? 【解题指南】1.解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥 所在圆的标准方程,然后结合图形求出水面下降1m后的水面宽 度. 2.建立适当的坐标系,求出受台风影响的圆形区域所对应的圆 的方程及轮船航线所在直线l的方程,然后借助直线与圆的位 置关系判断轮船是否会受到台风的影响. 【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐 标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建 立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦 的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2). 设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标(6,-2)代入方程①,解得r=10. 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.② 当水面下降1m后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0>0),将A′的 坐标(x0,-3)代入方程②,求得x0= 51 .所以,水面下降1m后, 水面宽为2x0=2 51 (m). 答案:2 51 2.如图所示,以台风中心为原点O, 东西方向为x轴,建立如图所示的 坐标系,其中,取10 km为1个长度 单位,这样,受台风影响的圆形区 域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮 船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0,问题转化为圆O与直 线l有无公共点问题,由于d ? | 0 ? 0 ? 28 | 所以这艘轮船 ? 3.5>3, 65 不改变航线时,不会受到台风的影响. 【互动探究】题1中,条件不变,试求水面上升1m后,水面的宽. 【解析】如图所示,以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系, 设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2), B(-6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r). 即圆的方程为x2+(y+r)2=r2①, 将点A的坐标(6,-2)代入方程①得r=10, 所以圆的方程为x2+(y+10)2=100② 当水面上升1m后,可设A′的坐标为(x0,-1)(x0>0), 将A′的坐标代入方程②得x0= 19 , 故水面上升1m后,水面宽为2x0=2 19(m). 【技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解 题步骤 (1)认真审题,明确题意. (2)建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际问 题中建立直线与圆的方程. (3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题. (4)把代数结果还原为实际问题的解. 提醒:直线与圆的方程应用的关注点 ①建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响. ②建系时一般将圆心放在坐标原点或坐标轴上 ,方程较简单. 【变式训练】一辆卡车宽2.7米,要经过一个半径为4.5米的 半圆形隧道(双车道,不得违章),则这辆卡车的平顶车厢厢 顶距离地面的高度不得超过( ) A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米 【解析】选C.如图所示,当OC=2.7米时, CD ? OD2 ? OC2 ? 4.52 ? 2.72 =3.6(米). 即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的 最高高度,即不得超过3.6米. 类型 二 坐标法在平面几何中的应用 试着解答下列题目,体会用坐标法解决平面几何问题的基 本思想及首要任务. 1.如图所示,在圆O上任取C点为圆心, 作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C 与圆O交于点E,F,求证:EF平分CD. 2.已知Rt△ABC的斜边BC为定长2m,以斜边的中点O为圆心作直 径为定长2n(n>m)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证: |AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值. 【解题指南】1.由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题 转化为解析几何知识求解. 2.以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立坐标系,由题意求出 有关点的坐标并借助两点间距离公式,证明其为定值. 【证明】1.取圆O的直径AB所在直线 为x轴,圆心O为坐标原点,建立平面 直角坐标系,如图所示,设圆O的方程 为x2+y2=1①, EF与CD相交于H,令C(x1,y1),则可得圆C的方程 2 2 (x-x1)2+(y-y1)2= y1 ,即 x 2 ? y2 ? 2x1x ? 2y1y ? x1 =0②, 2 ①-②得 2x1x ? 2y1y ?1 ? x1 ? 0 ③, ③式就是直线EF的方程,设CD的中点为H′,其坐标为 (x1, y1 ),将H′代入③式,得 2 y 2 2 2 2 2 2 2 2x1 ? 2y1 ? 1 ? 1 ? x1 ? 2x1 ? y1 ? 1 ? x1 ? x1 ? y1 ? 1 ? 0, 2 即H′在直线EF上,所以EF平分CD. 2.如图,以O为原点,以直线BC为x轴,线段BC的垂直平分线 为y轴建立直角坐标系,则B(-m,0), C(m,0),P(-n,0),Q(n,0). 设A(x,y),因为|OA|= |BC|=|m|=m, 所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上, 所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值). 1 2 【技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要 任务 (1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用

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