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高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2-2

高中数学第一章导数及其应用1.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修2-2

1.4 导数在实际生活中的应用 学习目标 1.学会解决利润最大,用料最省, 效率最高等优化问题. 2.学会利用导数解决生活中简单实 际问题, 并体会导数在解决实际问题 中的作用. 3.提高将实际问题转化为数学问题 的能力. 重点难点 重点: 用导数解决实际生活中的最优 化问题. 难点:将实际问题转化为数学问题. 导数在实际生活中的应用 导数在实际生活中有着广泛的应用.例如,用料最省、利润最大、效率最高等问题,常常可以归结为 函数的______问题,从而可用________来解决. 预习交流 1 2 做一做:有一长为 16 m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为______ m . 预习交流 2 做一做:做一个无盖的圆柱形水桶,若需使其体积是 27π ,且用料最省,则圆柱的底面半径为______. 预习交流 3 用导数求解生活中的优化问题时应注意哪些问题? 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注?请在下列表格中做 个备忘吧! 我的学困点 我的学疑点 答案: 预习导引 最值 导数 预习交流 1:提示:设矩形长为 x m,则宽为(8-x) m,矩形面积 S=x(8-x)(8>x>0),令 S′=8- 2x=0,得 x=4. 2 2 此时 S 最大=4 =16(m ). 27 预习交流 2:提示:设半径为 r,则高 h= , r2 27 54π 2 2 2 ∴S=2π r·h+π r =2π r· +π r = +π r , r2 r 54π 令 S′=2π r- 2 =0,得 r=3, r ∴当 r=3 时,用料最省. 预习交流 3:提示:(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义 的值应舍去. (2)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关 系式中自变量的定义区间. (3)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大 (小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 一、面积、体积最大问题 如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形 状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD=2x,梯形面积为 S. (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 思路分析:表示面积时,首先要建立适当的平面直角坐标系,借助椭圆的方程,可表示出等腰梯形的 高. 用总长为 14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 1.求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题,解决这类问题的关键是根 据题设确定出自变量及其取值范围,利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数,然后利用导数的方 法来解. 2.必要时,可选择建立适当的坐标系,利用点的坐标建立函数关系或曲线方程,有利于解决问题. 二、费用最省问题 如图所示,设铁路 AB=50,B,C 之间距离为 10,现将货物从 A 运往 C,已知单位距离铁路费用为 2,公 路费用为 4,问在 AB 上何处修筑公路至 C,可使运费由 A 至 C 最省? 思路分析:可从 AB 上任取一点 M,设 MB=x,将总费用表示为变量 x 的函数,转化为函数的最值求解. 某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经 测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平 方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? 购地总费用? ?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平 均购地费用= ? 建筑总面积? ? 1.求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不符合实际意义的 理论值应舍去; 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大 (小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值; 3.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应确定函 数关系式中自变量的取值范围,即函数的定义域. 三、利润最大问题 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例为 0.7x,年销售量也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每 辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 5? ? 2 (2)若年销售量关于 x 的函数为 y=3 240?-x +2x+ ?,则当 x 为何值时,本年度的年利润最大?最大 3? ? 利润是多少? 思路分析:根据题意建立目标函数关系式,利用导数求解. 某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P=24 200 1 2 - x ,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+200x 元.问该产品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最 5 大利润是多少?(利润=收入-成本) 利用导数解决生活中的最优化问题的一般步骤: 第一步,分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的 函数关系 y=f(x). 第二步,求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0. 第三步,比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值

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