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8-6偏导数的几何应用_图文

8-6偏导数的几何应用_图文

§6 偏导数的几何应用
◇ 空间曲线的切线与法平面 ◇ 曲面的切平面与法线

复习: 平面曲线的切线与法线

已知平面光滑曲线

在点 (x0, y0 )有

切线方程 y ? y0 ? f ?(x0 )(x ? x0 )

法线方程

y

?

y0

?

?

f

1 (x ?(x0 )

?

x0 )

若平面光滑曲线方程为

故在点



因 dy ? ? Fx (x, y) dx Fy (x, y)

切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x ? x0 ) ? Fy (x0 , y0 )( y ? y0 ) ? 0

法线方程 Fy (x0 , y0 )(x ? x0 )? Fx (x0 , y0 ) ( y ? y0 ) ? 0

一、空间曲线的切线与法平面

空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限

位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法

平面.

?

T ?

M

1. 曲线方程为参数方程的情况

T

?

M

设 t ? t0 对应M (x0 , y0 , z0 )

t ? t0 ? ?t 对应 M ?(x0 ? ?x, y0 ? ?y, z0 ? ?z)

割线 MM ? 的方程 :

切线方程

x ? x0
? ?(t0 )

?

y ? y0
? ?(t0 )

? z ? z0
??(t0 )

此处要求??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 )不全为0,
如个别为0, 则理解为分子为 0 .
切线的方向向量:

?T
M?

T ? (??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 ))
称为曲线的切向量 .

也是法平面的法向量, 因此得法平面方程

??(t0 )(x ? x0 ) ?? ?(t0 ) ( y ? y0 )? ??(t0 )(z ? z0 ) ? 0

例1 求圆柱螺旋线



对应点处的切线方程和法平面方程.

解: 由于

对应的切向量为T ? (?R , 0, k), 故

切线方程

x

?

y?R

?

z

?

?
2

k

?R 0

k

M

0

(0

,

R

,

?
2

k

)

z



? ? ?

k y

x ? Rz ? ?R?0

?
2

Rk

?

0

法平面方程

?

R

x

?

k

(

z

?

?
2

k

)

?

0

o



R

x

?

k

z

?

?
2

k

2?

0

x

y

例2

求曲线?

:

x

?

t
?0

eu

cos

udu,

y

?

2sin

t

? cos t ,z ? 1 ? e3t 在t ? 0处的切线和法平面方程.

解 当t ? 0时, x ? 0, y ? 1, z ? 2,

x? ? et cos t, y? ? 2cos t ? sin t, z? ? 3e3t ,

? x?(0) ? 1, y?(0) ? 2, z?(0) ? 3,

切线方程 x ? 0 ? y ? 1 ? z ? 2 ,

1

2

3

法平面方程 x ? 2( y ? 1) ? 3(z ? 2) ? 0,

即 x ? 2 y ? 3z ? 8 ? 0.

2. 曲线为一般式的情况

光滑曲线

? : ???

F(x, y, z) G(x, y, z)

?0 ?0

当J ? ? (F,G) ? 0时, ? 可表示为 ? (y, z)

dy ? 1 ?(F,G) , dz ? 1 ?(F,G) , dx J ?(z, x) dx J ?(x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 )处的切向量为
T ? ?1, ??( x0 ),? ?( x0 )?

? 1 ? (F,G) 1 ? (F,G) ?

?

?1 ?

,

J

?

(

z

,

x

)

,
M

J ?(x, y)

? M?

, 且有



T

?

? ? ?

? (F,G) ? ( y, z)

, ? (F,G) M ? (z , x)

M

, ? (F,G) ? (x, y)

? ? M?

i

j

k

? Fx (M ) Fy (M ) Fz (M )

Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )

则在点 M (x0, y0, z0 )有 切线方程 x ? x0 ?
?(F , G)
?( y, z) M

y ? y0 ? z ? z0

?(F , G)

?(F , G)

?(z , x) M ?(x , y) M

法平面方程

?(F , G) ?( y, z)

M

(

x

?

x0

)

?

?(F ?(z

, ,

G) x)

M ( y ? y0 )

也可表为

? ?(F,G) ?(x , y)

M (z ? z0) ? 0

x ? x0 y ? y0 z ? z0 Fx (M ) Fy (M ) Fz (M ) ? 0 Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )

例3 求曲线 x2 ? y2 ? z2 ? 6, x ? y ? z ? 0 在点

M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.

解法1 令



? (F ,G)

2y 2z

?

? (y, z) M 1 1

? 2(y ? z)
M

? ?6;
M

x

切向量 T ? ( ? 6, 0, 6)
切线方程

yz



???x

? y

z ?

? 2

2 ?

? 0

0

法平面方程 ? 6 ? (x ?1) ? 0 ? ( y ? 2) ? 6 ? (z ?1) ? 0



x?z ?0

解法2. 方程组两边对 x 求导, 得

解得 ? x z dy ? ?1 1 ? z ? x , dz ? dx y z y ? z dx 11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:

y ?x 1 ?1 yz 11

? x?y y?z

切向量

T ? ?? 1 , ?

dy dx

,
M

dz dx

M

?? ? (1, 0, ?1) ?

点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T ? (1, 0, ?1)
切线方程



法平面方程 1? (x ?1) ? 0 ? ( y ? 2) ? (?1) ? (z ?1) ? 0



x?z ?0

二、曲面的切平面与法线

设 有光滑曲面 通过其上定点

任意引一条光滑曲线

点 M 的切向量为

设 t ? t0 对应点 M,且
不全为0 .则 ? 在
T
?

T ? (??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 ))

M

切线方程为 x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0
??(t0 ) ? ?(t0 ) ??(t0 )

下面证明: ? 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都

在同一平面上. 此平面称为 ? 在该点的切平面.

证:

在 ? 上,

? F(? (t),? (t), ? (t) ) ? 0

T
?

两边在 t ? t0 处求导,注意 t ? t0 对应点M ,

M

得 Fx (x0, y0, z0 ) ??(t0 ) ? Fy (x0 , y0 , z0 )? ?(t0 )

? Fz (x0, y0, z0 )??(t0 ) ? 0

令 T ? (??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 ))

n ? (Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ))

切向量 T ? n

由于曲线 ? 的任意性 ,表明这些切线都在以n为法向量

的平面上 , 从而切平面存在 .

曲面 ? 在点 M 的法向量

n ? ( Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ))

切平面方程

Fx (x0, y0, z0 ) (x ? x0 ) ? Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y ? y0 )

法线方程

? Fz (x0, y0, z0 )(z ? z0 ) ? 0

x ? x0 Fx (x0 , y0 , z0 )

?

y ? y0 Fy (x0 , y0 , z0 )

?

z ? z0 Fz (x0 , y0 , z0 )

T
? M

特别, 当光滑曲面? 的方程为显式
F(x, y, z) ? f (x, y) ? z

时, 令

则在点 (x, y, z),

故当函数

在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面

? 在点 ( x0 , y0 , z0 ) 有

切平面方程

z ? z0 ? f x (x0 , y0 ) (x ? x0 )? f y (x0, y0 ) ( y ? y0 )

法线方程

法向量 n ? ( fx ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ), ? 1)



表示法向量的方向角, 并假定法向量与z轴

的正向夹角为锐角,

将 f x (x0 , y0 ), f y (x0 , y0 )分别记为 f x , f y , 则

法向量的方向余弦:

例4 求球面 x2 ? 2 y2 ? 3z2 ? 36在点(1 , 2 , 3) 处的切
平面及法线方程.

解: 令

法向量

n ? (2 x, 4 y, 6 z)

n (1, 2,3) ? (2, 8, 18)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:

切平面方程 2(x ?1) ? 8( y ? 2)?18(z ? 3) ? 0

即 法线方程

x ?1 1

?

y? 4

2

?

z

?3
9

例5 确定正数? 使曲面 x y z ? ? 与球面
在点 M (x0, y0, z0 )相切.
解: 二曲面在 M 点的法向量分别为

n2 ? (x0 , y0 , z0 )

二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有

x0 y0 z0 x02

?

x0

y0 z0 y02

?

x0 y0 z0 z02

又点 M 在球面上,

于是有

?

?

x0

y0

z0

?

a3 33

例 6 求 曲面 x2 ? 2 y2 ? 3z2 ? 21平行于平面 x ? 4 y ? 6z ? 0的各切平面方程. 解: 设 ( x0 , y0 , z0 ) 为曲面上的切点,
切平面方程为
2x0( x ? x0 ) ? 4 y0( y ? y0 ) ? 6z0(z ? z0 ) ? 0
依题意,切平面方程平行于已知平面,得

2x0 ? 4 y0 ? 6z0 1 46

? 2 x0 ? y0 ? z0

因为 ( x0 , y0 , z0 )是曲面上的切点,满足方程
? x0 ? ?1,
所求切点为 (1,2,2), (?1,?2,?2), 切平面方程(1)
2( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 12(z ? 2) ? 0 ? x ? 4 y ? 6z ? 21
切平面方程(2)
? 2( x ? 1) ? 8( y ? 2) ? 12(z ? 2) ? 0 ? x ? 4 y ? 6z ? ?21

内容小结

1.

空间曲线的切线与法平面 1) 参数式情况. 空间光滑曲线

?

:

?? ?

x y

? ? (t) ?? (t)

?? z ? ? (t)

切向量 T ? (??(t0 ),? ?(t0 ), ??(t0 ))

切线方程 x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0
??(t0 ) ? ?(t0 ) ??(t0 )
法平面方程

??(t0 )(x ? x0 )?? ?(t0 ) ( y ? y0 ) ? ??(t0 )(z ? z0 ) ? 0

2)

一般式情况.

空间光滑曲线

?

:

?F ( x, ??G ( x,

y, z) y, z)

?0 ?0

切向量

T

?

?? ?

?(F,G) ?(y, z)

,
M

?(F,G) ?(z, x)

,
M

?(F,G) ?(x, y)

? ? M?

切线方程 x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0

?(F , G)

?(F , G)

?(F , G)

?( y, z) M ?(z , x) M ?(x , y) M

法平面方程

?(F , G) ?( y, z)

M

(

x

?

x0

)

?

?(F ?(z

, ,

G) x)

( y ? y0 )
M

? ?(F,G) ?(x , y)

(z ? z0) ? 0
M

2. 曲面的切平面与法线

1) 隐式情况 . 空间光滑曲面

曲面 ? 在点

的法向量

n ? (Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy (x0 , y0 , z0 ), Fz (x0 , y0 , z0 ))
切平面方程

Fx (x0 , y0 , z0 ) (x ? x0 ) ? Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y ? y0 )

法线方程

? Fz (x0, y0, z0 )(z ? z0 ) ? 0

x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0 Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )

2) 显式情况. 空间光滑曲面

法向量

n ? (? f x , ? f y ,1)

法线的方向余弦

cos? ?

? fx

, cos ? ?

1? fx2 ? fy2

cos? ?

1

1? fx2 ? fy2

切平面方程

? fy

,

1? fx2 ? fy2

z ? z0 ? f x (x0 , y0 ) (x ? x0 ) ? f y (x0 , y0 ) ( y ? y0 ) 法线方程 x ? x0 ? y ? y0 ? z ? z0
f x (x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) ?1

思考与练习 1. 如果平面
相切, 提示: 设切点为
6x0 ? 2 y0 ? 2z0 ?3
? ? ?2

与椭球面
则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上)

2. 设 f ( u ) 可微, 证明 曲面

上任一点处的

切平面都通过原点.

提示: 在曲面上任意取一点

则通过此

点的切平面为

z ? z0

?

?z ?x

(x ? x0 )
M

? ?z ?y

(y ?
M

y0 )

证明原点坐标满足上述方程 .

3. 证明曲面 F(x ? m y , z ? n y) ? 0 的所有切平面恒 与定直线平行,其中F (u, v)可微 .
证: 曲面上任一点的法向量 n ? (F1 , F1 ? (?m) ? F2 ? (?n) , F2 )
取定直线的方向向量为 l ? ( m , 1 , n) (定向量) 则 l ? n ? 0, 故结论成立 .

4.

求曲线

???2x2x

? ?

y2 3y

? ?

z2 5z

? ?

3x ? 4?0

0

在点(1,1,1) 的切线

与法平面.

解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为

n1 ? (2x ? 3, 2 y , 2z ) (1,1,1) ? (?1, 2, 2)

n2 ? (2,? 3,5)

因此切线的方向向量为 l ? n1 ? n2 ? (16,9, ?1)

由此得切线:

x ?1 16

?

y

?1 9

?

z ?1 ?1

法平面: 16(x ?1) ? 9( y ?1) ? (z ?1) ? 0



16x ? 9 y ? z ? 24 ? 0


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