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2014-2015学年高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)_图文

2014-2015学年高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.2.3 绝对值不等式的解法(二)_图文

第一讲 1.2 不等式和绝对值不等式 绝对值不等式 1.2.3 绝对值不等式的解法(二) 栏 目 链 接 会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 1.求解不等式|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x- b|≤c的第一种方法:_______________ 去绝对值. 分类讨论 思考1 不等式|x-2|+|x-1|≥5的解集是 栏 目 链 接 ________ . {x|x≥4或x ≤-1} 2.求解不等式|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x- b|≤c的第二种方法:用几何意义 __________直接求边界值,再利用 几何意义写出解集. 思考2 不等式|x|+|x+1|<2的解集是________. ? ? ? 3 1 ?x?- <x< 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 栏 目 链 接 题型一 |x-a|+|x-b|≥c(或|x-a|+|x-b|≤c)型不 等式的解法 例1 解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 分析:本题可以用分段讨论法或数形结合法求解.对 于形如|x+a|+|x+b|的代数式,可以认为是分段函数. 解析:方法一 如下图,设数轴上与-1,1对应的点分 栏 目 链 接 别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1] 上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两 点的距离和为3,A1对应数轴上的x. 3 ∴-1-x+1-x=3,得 x=- , 2 同理设 B 点右侧有一点 B1 到 A,B 两点距离和为 3,B1 对应数轴上的 x, 3 ∴x-1+x-(-1)=3.∴x= . 2 从数轴上可看到,点 A1,B1 之间的点到 A,B 的距离之 和都小于 3;点 A1 的左边或点 B1 的右边的任何点到 A,B 的 距离之和都大于 3. 3 3 ∴原不等式的解集是-∞,- ∪ ,+∞. 2 2 栏 目 链 接 方法二 -1)≥3, 当 x≤-1 时,原不等式可以化为-(x+1)-(x 3 解得 x≤- . 2 当-1<x<1 时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即 2≥3.不成立,无解. 当 x≥1 时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3. 3 所以 x≥ . 2 3 3 综上,可知原不等式的解集为 xx≤- 或 x≥ . 2 2 方法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 栏 目 链 接 -2x-3,x≤-1, ? ? 构造函数 y=|x+1|+|x-1|-3,即 y=?-1,-1<x<1, ? ?2x-3,x≥1. 作出函数的图象(如下图). 栏 目 链 接 3 3 函数的零点是- , . 2 2 3 3 从图象可知,当 x≤- 或 x≥ 时,y≥0,即|x+1|+|x-1|-3≥0. 2 2 ? ? 3? ?3 所以原不等式的解集为?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2 ? ?2 ? ? 点评:这三种解法以第二种解法最重要,但是其中的 分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”;第一种解 法中,关键是找到一些特殊的点如A1,B1;第三种解法中, 准确画出图象,是y=|x+1|+|x-1|-3的图象,而不是y =|x+1|+|x-1|的,其次函数的零点要找准.这些都是 栏 目 链 接 求解集的关键. 变 式 训 练 1.解不等式|x-1|+|x-2|>5. 解析:方法一 分类讨论|x-1|=0.|x-2|=0的根1,2 栏 目 链 接 把数轴分成三个区间.在这三个区间上,根据绝对值的定 义.代数式|x-1|+|x-2|有不同的解析表达式,因而原不 等式的解集为以下三个不等式组解集的并集. (1)因为在x≤1的限制条件之下: |x-1|+|x-2|=1-x+2-x=3-2x,所以当x≤1时, |x-1|+|x-2|>5?3-2x>5?2x<-2?x<-1. 变 式 训 练 ? ?x≤1, 因此不等式组? 的解集为(-∞,-1). ? ?|x-1|+|x-2|>5 (2)因为在 1<x<2 的限制条件之下: |x-1|+|x-2|=x-1+2-x=1. 所以当 1<x<2 时.不等式|x-1|+|x-2|>5 无解. ? ?1<x<2, 因此不等式组? 的解集为?. ? ?|x-1|+|x-2|>5 (3)由于在 x≥2 的限制条件之下: |x-1|+|x-2|=x-1+x-2=2x-3, 所以当 x≥2 时,|x-1|+|x-2|>5?2x-3>5?2x>8?x>4. 栏 目 链 接 变 式 训 练 ? ?x≥2, 所以不等式组? 的解集为(4,+∞). ? ?|x-1|+|x-2|>5 于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集, 即(-∞, -1)∪?∪(4,+∞)=(-∞,-1)∪(4,+∞). 栏 目 方法二 |x-1|+|x-2|>5?|x-1|+|x-2|-5>0. 链 构造函数 f(x) = |x - 1| + |x - 2| - 5 ,于是原不等式的解集为 接 {x|f(x)>0}. 写出 f(x)的分段解析表达式: -2x-2,x≤1, ? ? f(x)=?-4,1<x<2, ? ?2x-8,x≥2. 作出函数 f(x)的图象如下图所示. 变 式 训 练 f(x)为分段函数,其零点为-1,4,于是 f(x)>0?x<-1 或 x>4. 所以原不等式的解集为(-∞,-1)∪(4,+∞). 方法三 x 为不等式|x-1|+|x-2|>5 的解集?x 是与数轴的点 A(1)及 B(2)两点距离之和大于 5 的点. 栏 目 链 接 变 式 训 练 由于A、B两点的距离1,线段AB上的点不符合要求, 利用图形(如上图),可知符合条件的点应该是在A点的左侧 离A最近距离是2,在B点的右侧离B最近距离为2的点处,即 x>4

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