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高二数学阶段性测验201610

高二数学阶段性测验201610


高二数学阶段性测验 2016、10、9
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 上) 1.过点(2,﹣2),(﹣2,6)的直线方程是 .

1.直线 x﹣y+3=0 的倾斜角为 . 2.过点(﹣1,2)且倾斜角为 45°的直线方程是 . 3.已知直线 y=2x+b 过点(1,2) b= ,则 . 4.若直线经过点 A(2,﹣3) 、B(1,4) ,则直线的斜截式方程为



1.直线 l 经过点 (0,1) 且倾斜角的余弦值为 ,则直线 l 的斜截式方程 为 ▲ . ▲ .

3 5

6. 圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是

5.已知直线 l 过点 P(3,2)与点 Q(1,4) ,则直线 l 的直线方程是 . 6.过点 A(2,1) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是 . 7.点 M(2,1)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标是 . 8.直线 l 过点(1,1) ,且与圆(x﹣2)2+(y﹣2)2=8 相交于 A,B 两点,则弦 AB 最短 时直线 l 的方程为 . 9.若直线 l 过点(1,1) ,且与直线 l′:x+2y﹣3=0 垂直,则直线 l 的方程为 . 10.已知△ ABC 的三个顶点分别为 A(1,2) ,B(4,1) ,C(3,6) ,则 AC 边上的中线 BM 所在直线的方程为 . 11.直线 l 与直线 3x﹣y+2=0 关于 y 轴对称,则直线 l 的方程为 . 12.已知直线 y=kx(k>0)与圆 C: (x﹣2)2+y2=1 相交于 A,B 两点,若 AB= 则

k= . 13.若直线 l1:y=x+a 和直线 l2:y=x+b 将圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=8 分成长度相等的四段 弧,则 a2+b2= . 2 14.如果圆(x﹣a) +(y﹣a)2=8 上总存在两个点到原点的距离为 ,则实数 a 的取值范 围是 . 8.在平面直角坐标系 xOy 中, A(1,3) , B(4, 2) ,若直线 ax ? y ? 2a ? 0 与线段 AB 有公共点, 则实数 a 的取值范围是 .

8 .直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的直线方程为 ______ __.
已知直线 l1: (m﹣2)x+3y+2m=0,l2:x+my+6=0 若直线 l1 与 l2 平行,则实数 m 的值为 .

6. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 2 x ? ay ? 1 ? 0 和直线 (2a ? 1) x ? y ? 1 ? 0 互相垂直,则实数 a 的值是 .

9.已知点 P1(2,3) 、P2(﹣4,5)和 A(﹣1,2) ,则过点 A 且与 点 P1、P2 距离相等的直线方程为 9.已知圆 x2 ? y2 ? 4 上有且只有四个点到直线 12 x ? 5 y ? m ? 0 的距离为
1 ,则实数 m 的取值范围是


1 2

2 11.若圆:( x ? 1)2 ? ? y ? 2 ? ? r 2 (r ? 0) 与线段: y ? ? x ? 1(0 ? x ? 2) 有且只

有一个交点,则 r 的取值范围_________. 13.己知点 A(?2,1) 和圆 C :( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,一条光线从 A 点出发射 到 x 轴上后沿圆的切线方向反射,则这条光线从 A 点到切点所经过的 路程是 .

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 ,若过点
M (0,3)

的 直 线 与 圆 C 交 于 P, Q 两 点 ( 其 中 点 P 在 第 二 象 限 ) ,且 .
有两个不相等的实数解,则实数 k 的取值范

?PMO ? 2?PQO ,则点 Q 的横坐标为

12.若关于 x 的方程: 围: .

已知直线 l1 : y = 2 x + 3 , l2 : y ? x ? 2 相交于点 C . (1)求点 C 的坐标; (2)求以点 C 为圆心,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切的圆的方程; (3)若直线 x +
y + t = 0 与(2)中的圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |?

2,

求 D ABC 面积及实数 t 的值.
17.已知圆 C: (x﹣1)2+y2=9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. (1)当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程;

(2)当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3)当直线 l 的倾斜角为 45°时,求弦 AB 的长.

15. (本题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? by ? 3b ? 0 . (1)若直线 l 与直线 x ? y ? 2 ? 0 平行,求实数 b 的值; (2)若 b ? 1 , A(0,1) ,点 B 在直线 l 上,已知 求点 B 的坐标.

AB 的中点在 x 轴上,

19.在直角坐标系中,已知射线 OA:x﹣y=0(x≥0) ,OB:2x+y=0(x≥0) .过点 P(1,0) 作直线分别交射线 OA,OB 于点 A,B. (1)当 AB 的中点在直线 x﹣2y=0 上时,求直线 AB 的方程; (2)当△AOB 的面积取最小值时,求直线 AB 的方程. (3)当 PA?PB 取最小值时,求直线 AB 的方程.

16 . ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 定 圆 C : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 , 定 直 线
m : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,过 A(?1,0) 的一条动直线 l 与直线 m 相交于 N ,与圆 C 相

交于 P, Q 两点, (1)当 l 与 m 垂直时,求出 N 点的坐标,并证明: l 过圆心 C ; (2)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; 19. (本题满分 16 分) 已知平面直角坐标系上一动点 P( x, y ) 到点 A(?2, 0) 的距离是点 P 到点 B(1, 0) 的距离的 2 倍. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)已知点 Q(2, 0) ,过点 A 的直线 l 与点 P 的轨迹 C 相交于 E , F 两点, 当⊿ QEF 的面积最大时,求直线 l 的方程; (3)过直线 l ' : 3x ? 4 y ? 14 ? 0 上一点 R 引点 P 的轨迹 C 的两条切线,切 点分别为 M , N ,当线段 MN 的长度最小时,求 MN 所在直线的方程.

18. (I)求两条平行直线 3x+4y﹣12=0 与 mx+8y+6=0 之间的距离; (Ⅱ)求两条垂直直线 2x+y+2=0 与 nx+4y﹣2=0 的交点坐标. 19.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为圆心的圆与直线 x﹣ y﹣4=0 相切. (Ⅰ)求圆 O 的方程; (Ⅱ)若已知点 P(3,2) ,过点 P 作圆 O 的切线,求切线的方程. 20.已知点 P 为圆 C1: (x﹣3)2+(y﹣4)2=4 上的动点 (1)若点 Q 为直线 l:x+y﹣1=0 上动点,求|PQ|的最小值与最大值; (2)若 M 为圆 C2: (x+1)2+(y﹣1)2=4 上动点,求|PM|的最大值和最小值.

19. (本小题满分 16 分)
已知点 P (2, 0) ,圆 C 的圆心在直线 x ? y ? 5 ? 0 上且与 y 轴切于点 M (0, ?2) , (1)求圆 C 的方程; (2)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 2 ,求直线 l 的方程;

(3)设直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 交于 A , B 两点,过点 P(2, 0) 的直线 l2 垂直平分弦 AB ,这样的实数 a 是否存在,若存在,求出实数 a 的值; 若不存在,请说明理由.
19.已知圆 O 的方程为 x2+y2=1,直线 l1 过点 A(3,0) ,且与圆 O 相切. (1)求直线 l1 的方程; (2)设圆 O 与 x 轴相交于 P,Q 两点,M 是圆 O 上异于 P,Q 的任意一点,过点 A 且与 x 轴垂直的直线为 l2,直线 PM 交直线 l2 于点 P′,直线 QM 交直线 l2 于点 Q′.求证:以 P′Q′ 为直径的圆 C 总经过定点,并求出定点坐标.

19.已知圆 M:x2+(y﹣2)2=1,直线 l:y=﹣1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 切, 设动圆圆心 P 的轨迹为 E. (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且 过定点. ? =﹣16,求证:直线 AB 恒

19. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 ,且圆 C 与 x 轴交于 M , N 两点,设直线 l 的方程为 y ? kx (k ? 0) .

(1)当直线 l 与圆 C 相切时,求直线 l 的方程; (2)已知直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点. (ⅰ)若 AB ? 2
17 17

,求实数 k 的取值范围;

(ⅱ)直线 AM 与直线 BN 相交于点 P ,直线 AM , 直线 BN ,直线 OP 的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 , 是否存在常数 a ,使得 k1 ? k2 ? ak3 恒成立?若存 在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

19. (1)解:由题意, k ? 0 , ∴圆心 C 到直线 l 的距离 d ? ∵直线 l 与圆 C 相切,∴ d ? ∴直线 l : y ?
15 x. 15

4k 1? k2 4k 1? k
2



??????2 分
15 15

? 1 ,∴ k ?



??????4 分
1? d2 ? 2 17 17

(2)解:由题意得: 0 ? AB ? 2 ∴4
17 ? d ?1, 17



??????6分
4k 1? k2

由(1)可知: d ? ∴4

, . ??????9分
: ( x ? 4)2 ? y 2 ? 1 联立,

1 15 17 4k ? ? 1 ,∴ ? k ? 2 4 15 17 1? k

(3)证明: lAM : y ? k1 ( x ? 3) ,与圆 C 得: ( x ? 3)[(1 ? k12 ) x ? (3k12 ? 5)] ? 0 ,∴ xM

? 3 , xA ?

3k12 ? 5 1 ? k12

,∴ A(

3k12 ? 5 2k1 , ), 1 ? k12 1 ? k12

同理可得: B(

5k2 2 ? 3 ?2k2 , ), 1 ? k2 2 1 ? k2 2

??????12 分

∵ kOA

2k1 ?2k2 2 1? k 1 ? k2 2 ? kOB ,∴ 2 1 ? 3k1 ? 5 5k2 2 ? 3 1 ? k12 1 ? k2 2

,即 (1 ? k1k2 )(3k1 ? 5k2 ) ? 0 , ??????14 分
3k1 ? 5k2 ? ? x0 ? k ? k 1 2 ∴? ? ? 2 k k 1 2 ? y ? 0 ? k ? k2 1 ?

∵ k1k2 ? ?1 ,∴ k2 ? ? 3 k1 ,
5
? y0 ? k1 ( x0 ? 3) , ? y0 ? k2 ( x0 ? 5)

设 P( x0 , y0 ) ,∴ ?



∴ P(

3k1 ? 5k2 ?2k1k2 15 3k , ) ,即 P( , 1 ) , k1 ? k2 k1 ? k2 4 4

3k1 ∴ k3 ? 4 ? 1 k1 , 15 5 4

∴ k1 ? k2 ? 2 k1 ? 2k3 ,
5

∴存在常数 a ? 2 ,使得 k1 ? k2 ? 2k3 恒成立. ??????16 分 18. 解: (方法一) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴, 建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程 是 y=-2x. 设点 P(x0,y0) . 因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, 得 ∣2x0+y0∣ = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5

所以点 P(1,3).

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1), k∈(-2,0). 3 令 y=0 得 xB=1-k.
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . k+ 2 ?y=-2x

-k2+6k-9 1 设△ ABC 的面积为 S ,则 S = 2 ?xB?yC = =- 1 + k2+2k 8k-9 . k2+2k 由 S?= -2(4k+3)(k-3) 3 =0 得 k=-4或 k=3. (k2+2k)2

3 3 当-2<k<-4时,S?<0,S 单调递减;当-4<k<0 时,S?>0, S 单调递增.13 分 3 所以当 k=-4时,即 AB=5 时,S 取极小值,也为最小值 15. 答: 当 AB=5km 时, 该工业园区的面积最小, 最小面积为 15km2. (方法二) 如图 1,以 A 为原点,AB 为 x 轴,建立平面直角坐标系. 因为 tanα=-2,故直线 AN 的方程是 y=-2x. 设点 P(x0,y0).因为点 P 到 AM 的距离为 3,故 y0=3. 由 P 到直线 AN 的距离为 5, 得 ∣2x0+y0∣ = 5,解得 x0=1 或 x0=-4(舍去), 5

所以点 P(1,3).

显然直线 BC 的斜率存在.设直线 BC 的方程为 y-3=k(x-1), 3 k∈(-2,0).令 y=0 得 xB=1-k.
?y-3=k(x-1), 6-2k 由? 解得 yC= . k+ 2 ?y=-2x

-k2+6k-9 1 设△ ABC 的面积为 S ,则 S = 2 ?xB?yC = =- 1 + k2+2k 8k-9 . k2+2k t+9 令 8k-9=t,则 t∈(-25,-9),从而 k= 8 . 因此 S

t 64t 64 =-1+ =-1+ =-1+ 225. t+9 t+9 t2+34t+225 34+t+ t ( 8 )2+2× 8 225 因为当 t∈(-25,-9)时,t+ t ∈(-34,-30], 225 当且仅当 t=-15 时,此时 AB=5,34+t+ t 的最大值为 4.从而 S 有最小值为 15. 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2. (方法三) 如图 2,过点 P 作 PE⊥AM,PF⊥AN,垂足为 E、F,连接 PA.设 AB=x,AC=y. 因为 P 到 AM,AN 的距离分别为 3, 5, 即 PE=3,PF= 5. 由 S△ABC=S△ABP+S△APC 1 1 1 =2?x?3+2?y? 5 =2(3x+ 5y). ①
F A E
(第 17 题图 2)

N C P

·

M B

因为 tan?=-2,所以 sin?=

2 1 2 . 所以 S△ABC=2?x?y? . ② 5 5

1 2 1 由①②可得2?x?y? = (3x+ 5y).即 3 5x+5y=2xy. ③ 5 2 因为 3 5x+5y≥2 15 5xy,所以 2xy≥2 15 5xy . 解得 xy≥15 5. 当且仅当 3 5x=5y 取“=” ,结合③解得 x=5,y=3 5. 1 2 所以 S△ABC=2?x?y? 有最小值 15. 5 答:当 AB=5km 时,该工业园区的面积最小,最小面积为 15km2.


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