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优选教育版高中全程复习方略配套课件:直线的交点坐标与距离公式(数学文人教版湖南专用)(共张).ppt_图文

优选教育版高中全程复习方略配套课件:直线的交点坐标与距离公式(数学文人教版湖南专用)(共张).ppt_图文

第二节 直线的交点坐标与距离公式

三年3考 高考指数:★★ 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平 行直线间的距离.

1.两点间距离公式、点到直线的距离公式,两平行线间的距离 公式是高考的重点; 2.常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇命题; 3.多以选择题和填空题为主,有时与其他知识点交汇,在解答 题中考查.

1.两条直线的交点

直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方

程组

??A1x ?

?

B1y

?

C1

?

0

的解一一对应.

??A2x ? B2y ? C2 ? 0

相交?方程组有_唯__一__解___,交点坐标就是方程组的解;

平行?方程组_无__解___;重合?方程组有_无__数__组__解___.

【即时应用】 (1)思考:如何用两直线的交点判断两直线的位置关系? 提示:当两直线有一个交点时,两直线相交;没有交点时,两 直线平行;有无数个交点时,两直线重合.

(2)直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐标是 __________.

【解析】由直线l1与l2所组成的方程组

??5x ?

?

2y

?

6

?

0

得:

??3x ? 5y ?16 ? 0

??x ? 2 ?



∴直线l1:5x+2y-6=0与l2:3x-5y-16=0的交点P的坐

??y ? ?2

标是(2,-2).

答案:(2,-2)

(3)直线l1:5x+2y-6=0与l2:5x+2y-16=0的位置关系是_______. 【解析】∵由直线l1与l2所组成的方程组

??5x ? 2y ? 6 ? 0 ?

无解,∴直线l1与l2平行.

??5x ? 2y ?16 ? 0

答案:平行

2.距离 点P1(x1,y1), P2(x2,y2)之间的距


P1P2 ? (x2 -x1)2 ? (y2 -y1)2

点P0(x0,y0)到直线

l:Ax +By +C =0的 d ? Ax0 ? By0 ? C

距离

A2 ? B2

两条平行线

Ax+By+C1=0与Ax
+By+C2 =0间的距 d ?


C1 -C2 A2 ? B2

【即时应用】 (1)原点到直线x+2y-5=0的距离是_________; (2)已知A(a,-5),B(0,10),|AB|=17,则a=_____; (3)两平行线y=2x与2x-y=-5间的距离为__________.

【解析】(1)因为 d ? | 0 ? 2? 0 ? 5 | ? 5.
12 ? 22
(2)依题设及两点间的距离公式得:
(a ? 0)2 ? (?5 ?10)2 ? 17, 解得:a=±8; (3)因为两平行线方程可化为:2x-y=0与2x-y+5=0.
因此,两平行线间的距离为:d ? | 5 ? 0 | ? 5.
22 ?12
答案:(1) 5 (2)±8 (3) 5

两直线的交点问题 【方法点睛】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以 方程组的解为坐标的点即为交点. 2.过直线A1x+B1y+C1=0与A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0.(不包括直线A2x+B2y+C2=0)

【例1】(1)求经过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点,且也经 过点A(8,-4)的直线方程为_________________; (2)已知两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0,若l1与l2相交, 求实数m、n满足的条件. 【解题指南】(1)可求出两直线的交点坐标,用两点式解决; 也可用过两直线交点的直线系解决;(2)两直线相交可考虑直 线斜率之间的关系,从而得到m、n满足的条件.

【规范解答】(1)方法一:因为直线x+y+1=0与直线x-y+3=0
的交点坐标为(-2,1),直线又过A(8,-4),所以所求直线方 程为:y ? 4 ? x ? 8 , 即x+2y=0;
1? 4 ?2 ? 8
方法二:设过直线x+y+1=0与直线x-y+3=0的交点的直线方程
为x+y+1+λ(x-y+3)=0,
又因为直线过A(8,-4),所以8-4+1+λ(8+4+3)=0, 解得: ? ? ? 1 , 所以,所求直线方程为x+2y=0.
3
答案:x+2y=0

(2)因为两直线l1:mx+8y+n=0与l2:2x+my-1=0相交,因此,

当m=0时,l1的方程为

y

?

?

n 8

,l2的方程为

x

?

1,两直线相交,
2

此时,实数m、n满足的条件为m=0,n∈R;当m≠0时,

∵两直线相交,
∴m ? 8 ,解得m≠±4,此时,实数m、n满足的条件为m≠±4,
2m
n∈R.

【反思·感悟】1.本例(1)中是求直线方程,其关键是寻找确定 直线的两个条件,可以直接求交点,利用两点式得出方程,此法 要注意两点的纵(或横)坐标相同时,两点式方程不适用,也可以 利用直线系方程求解,其关键是利用已知点求λ的值; 2.考查两直线相交的条件,即斜率不等或有一条直线的斜率不 存在.

距离公式的应用 【方法点睛】 1.两点间的距离的求法 设点A(xA,yA),B(xB,yB), |AB|= (xA ? xB )2 ? (yA ? yB )2 . 特例:AB⊥x轴时,|AB|=|yA-yB| AB⊥y轴时,|AB|=|xA-xB|.

2.点到直线的距离的求法 可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程 必须为一般式. 3.两平行直线间的距离的求法 (1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上 任意一点到另一条直线的距离. (2)利用两平行线间的距离公式. 【提醒】应用两平行线间的距离公式求距离时,要注意两平行 直线方程中x、y的系数必须相等.

【例2】已知点A(2,-1), (1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程; (2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多 少? (3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线?若存在,求出方 程;若不存在.请说明理由.

【解题指南】(1)因为已知直线过点A,因此可选择点斜式方程, 利用到原点的距离为2列方程,解方程即可,但要注意对斜率 不存在的讨论;(2)易知最大距离时的直线与AO垂直,这样问 题即可解决;(3)可由(2)知道距离的最大值,从而得出直线是 否存在.

【规范解答】(1)过点A的直线l与原点距离为2,而点A的坐标
为(2,-1).
当斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时,原点到直线l的距
离为2,符合题意;
当斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),即 kx-y-2k-1=0,由已知得 | ?2k ?1| ? 2,
k2 ?1
解得k ? 3,此时直线l的方程为3x-4y-10=0,
4
综上可知:直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.

(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线,由

l⊥AO,得klkOA=-1,所以

kl

?

?1 k OA

?

2,由直线的点斜式得

y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,即直线2x-y-5=0是过点A且与原点

距离最大的直线l的方程,最大距离是

?5 ?

5.

5

(3)由(2)可知,过点A不存在到原点距离超过 5 的直线,因此

不存在过点A且与原点距离为6的直线.

【反思·感悟】1.在解答本题时,直线斜率存在时,根据题设 条件,由点到直线的距离公式得关于斜率的方程,这是很关键 的问题,同时注意讨论斜率不存在的情况; 2.另外,求距离的最值时,除了考虑距离公式所要求的条件, 以防漏解、错解外,还要注意数形结合思想的应用.

对称问题

【方法点睛】

1.对称中心的求法

若两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于点P(a,b)对称,则由中点坐标

公式求得a、b的值,即 a ? x1 ? x2 ,b ? y1 ? y2 ;

2

2

2.轴对称的两个公式 若两点M(x1,y1)、N(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0(A≠0)对称, 则线段MN的中点在对称轴l上,而且连接MN的直线垂直于对称 轴l.故有

??A( ?

x1

? 2

x

2

)

?

B(

y1

? 2

y2

)

?

C

?

0

?

① .

? y1 ?? x1

? y2 ? x2

?

B A



3.对称问题的类型 (1)点关于点对称;(2)点关于直线对称; (3)直线关于点对称;(4)直线关于直线对称. 以上各种对称问题最终化归为点关于点对称、点关于直线对称.

【例3】已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求: (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线l关于点A的对称直线l′的方程. 【解题指南】(1)可设对称点A′的坐标为(m,n),利用AA′与 直线l垂直以及线段AA′的中点在直线l上,得出关于m、n的方 程组,解方程组即可得A′的坐标;(2)本题实质上是求直线的 方程,可想法找到两个点的坐标,即可求出直线l′的方程.也 可在l′上任取一点,利用该点关于点A的对称点在直线l上即可 得出方程.

【规范解答】(1)设对称点A′的坐标为(m,n),由已知可



? ??

n?2 m ?1

?

2 3

?

?1

?



???2

?

m? 2

1

?

3?

n

? 2

2

?

1

?

0

解得

???m ?

?

?

33 13,

即A′(

?

33 ,

4

).

???n

?

4 13

13 13

(2)方法一:在l上任取两点(1,1)与(0, 1 ),则它们关于点
3
A(-1,-2)的对称点坐标为(-3,-5)与(-2, ?13 )
3



l′的方程为:

y?5 ?13 ? 5

?

x ? 3 , 化简得2x-3y-9=0.
?2 ? 3

3

方法二:设点P(x,y)为l′上任意一点,则点P关于点A的对称点 为P′(-2-x,-4-y),又因为P′在直线l上,所以, 2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x-3y-9=0.

【反思·感悟】1.此题是点关于线对称,线关于点对称,这类 问题都要抓住对称这一特征解决问题. 2.利用方程思想和中点坐标公式,找到已知点与未知点之间的 关系,最后代入已知方程求解.

【创新探究】新定义下的直线方程问题 【典例】(2012·上海模拟)在平面直角坐标系中,设点P(x,y), 定义[OP]=|x|+|y|,其中O为坐标原点. 对于以下结论:①符合[OP]=1的点P的轨迹围成的图形的面积 为2; ②设P为直线 5 x+2y-2=0上任意一点,则[OP]的最小值为1; 其中正确的结论有______(填上你认为正确的所有结论的序号) .

【解题指南】①根据新定义,讨论x的取值,得到y与x的分段

函数关系式,画出分段函数的图象,即可求出该图形的面积;

②认真观察直线方程,可举一个反例,得到[OP]的最小值为1

是假命题.

y

【规范解答】①由[OP]=1,根据新 1B
定义得:|x|+|y|=1, 上式可化为:

y=-x+1(0≤x≤1),y=-x-1(-1≤x C

≤0),y=x+1(-1≤x≤0),y=x-1

-1

o

A

1

x

(0≤x≤1),画出图象如图所示:

-1 D

根据图形得到:四边形ABCD为边长是 2 的正方形,所以面

积等于2,故①正确;

②当点P为( 2 ,0)时,[OP]=|x|+|y|= 2 +0<1,所以[OP]

5

5

的最小值不为1,故②错误;

所以正确的结论有:①.

答案:①

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创 新点拨和备考建议:

本题有以下两处创新点

(1)考查内容的创新,对解析几何问题与函数知识巧妙

创 新 结合进行考查.

点 拨

(2)考查对新定义、新概念的理解与运用的同时考查思

维的创新,本题考查了学生的发散思维,思维方向与习

惯思维有所不同.

解决新概念、新定义的创新问题时,要注意以下几点: 备 (1)充分理解概念、定理的内涵与外延; 考 (2)对于新概念、新结论要具体化,举几个具体的例子, 建 代入几个特殊值; 议 (3)注意新概念、新结论正用怎样,逆用又将如何,变
形将会如何.

1.(2012·海口模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1) 且与y轴交于点P,则P点坐标为( )

(A)(3,0)

(B)(-3,0)

(C)(0,-3)

(D)(0,3)

【解析】选D. ∵点P在y轴上,∴设P(0,y),

又∵ kl 1

? 2,

l1∥l2,

?kl 2

?

y ?1 0 ? (?1)

? y ?1 ? 2,

∴y=3,∴P(0,3).

2.(2012·岳阳模拟)当0<k<

1 2

时,直线l1:kx-y=k-1与直线

l2:ky-x=2k的交点在( )

(A)第一象限

(B)第二象限

(C)第三象限

(D)第四象限

【解析】选B.解方程组

?kx ??ky

? ?

y x

? ?

k ?1, 2k

得两直线的交点坐标为

( k , 2k ?1),因为0<k< 1,所以 k ? 0, 2k ?1 ? 0,所以交点在第

k ?1 k ?1

2

k ?1 k ?1

二象限.

3.(2012·邵阳模拟)直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,

则a的值为( )

(A) 1

(B) 4

(C) 2

(D) 5

3

3

3

3

【解析】选C.直线y=2x+10与y=x+1的交点坐标为(-9,-8),代

入y=ax-2,得 -8=a·(-9)-2,a= 2 .
3

4.(2011·安徽高考)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数 k1,k2满足k1k2+2=0. (1)证明l1与l2相交; (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上. 【解题指南】(1)注意两直线相交的定义,可用反证法;先假设 l1与l2不相交,之后推出矛盾.(2)可以求出交点,代入方程;也可 消去参数k1、k2,得出椭圆方程.^

【证明】(1)(反证法)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有

k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0.

此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1≠k2,即l1与l2相交.

(2)方法一:由方程组

??y ?

?

k1x

?1



??x ? ?

?

k2

2 ?

k1

??y ? k2x ?1

? ??

y

?

k2 k2

? ?

k1 k1

得交点P的坐标(x,y)为( 2 , k2 ? k1 )
k2 ? k1 k2 ? k1

而 2x2 ? y2 ? 2( 2 )2 ? ( k2 ? k1 )2

k2 ? k1

k2 ? k1

? 8 ? k22 ? k12 ? 2k1k2 ? k12 ? k22 ? 4 ? 1,

k22 ? k12 ? 2k1k2

k12 ? k22 ? 4

此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.

方法二:交点P的坐标(x,y)满足

?? ?

y

?

k1x

?

1,显然x≠0,从而

??y ? k2x ?1

???k1 ?

?

y ?1
x ,代入k1k2+2=0,得

???k 2

?

y ?1 x

y ?1 x

y ?1 ? 2 ? 0,整理得:
x

2x2+y2=1,

所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.


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