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排列组合问题(教案)

排列组合问题(教案)


高志才

排列组合应用题的主要类型和常用方法 排列组合应用题大致可分为三大类:不带限制条件 的排列或组合题,带有约束条件的排列或组合题; 排列与组合的综合题.解此类问题常用的方法有: (1)相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排 法,就是将相邻的元素当成“一个”元素进行排列 ,然后再局部排列,分作两步.(2)元素间隔排列应 用题,一般采用“插空法”.

(3)含有特殊元素和特殊位臵的排列,组合应用 题,常采用“特殊元素法”,从元素为主出发, 先安排特殊元素;从位臵为主出发,先安排好特 殊位臵上的元素,结合排除法解决此类问题. (4) 指标问题采用“隔板法”.(5)有关“分堆”与 “到位”应用问题常采用“分组法”与“分配 法”.若只分堆,不指定到具体位臵,则需注意 平均分的情况.(6)相邻类排列应用题常采用 “捆绑法”解决,就是将几个相邻元素先抽出进 行排列再将它们视为一个元素参与下一步的排列, 此法是法(1)的逆向思维应用.

排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问 题,解决此类问题通常有三种途径:①以元素为主, 应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;②以 位臵为主考虑,即先满足特殊位臵的要求,再考虑 其他位臵;③先不考虑附加条件,计算出排列或组 合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 前两种方法叫直接解法,后一种方法叫间接解法, 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组 合问题;再通过分析确定运用分类计数原理还是分 步计数原理:然后分析题目条件,避免“选取”时 重复和遗漏;最后列出式子计算作答.

典型问题的典型解法

? 相邻问题────捆绑法

? 不相邻问题───插空法
? 间隔问题────分析法

? 定序问题────空位法
? 相同名额的分配的问题──插板法

? 不同元素的平均分组的问题──
平均分成几组就除以几的阶乘

? 4个男同学,3个女同学站成一排. ? (1)3个女同学必须排在一起,有多少种不同 的排法? ? (2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种 不同的排法? ? (3)甲、乙两人相邻,但都不与丙相邻,有 多少种不同的排法?

【尝试解答】(1)3个女同学是特殊元素,共 有A种排法;由于3个女同学必须排在一起, 视排好的女同学为一整体,再与4个男同学 排队,应有A种排法.

3 5 由分步乘法计数原理,有A3 A5=720种不同排法. (2)先将男生排好,共有A 4 4 种排法,再在这4个男生的 3 中间及两头的5个空档中插入3个女生有A5 种方法. 3 故符合条件的排法共有A4 A 4 5=1 440种不同排法. (3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人,有A 4 4 种排法; 由于甲、乙要相邻,故再把甲、乙排好,有A 2 2 种排法;最 后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的 空档中有A2 5种排法. 4 2 2 总共有A4 A2A5=960种不同排法.

1.对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置 分析法、元素分析法,在实际进行排列时一般采 用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元 素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可 以采用间接法. 2.对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、 定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问 题的常用方法.

在本例中,条件不变,把第(1)、(2)小题改为下面 两问题: (1)甲不站排头,乙不站排尾,有多少种不同的排法? (2)若甲乙两同学之间必须有3人,有多少种不同的 排法?
【解】 (1)用间接法,4名男生,3名女生站成一排的 方法共有A7 7种. 6 甲站排头的方法有A6 种,乙站排尾的方法有 A 6 6种. 甲站排头,乙站排尾的方法有A5 5种. 6 5 ∴符合题意的排法有:A7 7-2A6+A5=3 720种.

2 (2)先排甲、乙,有A 2 种排法,再从其他5位同学中选3 人排在甲、乙中间,有A 3 5 种排法,最后把甲、乙及中间3 人作为一个整体与剩余的2人全排列,有A3 3种排法. 2 3 3 所以共有A2A5〃A3=720种不同排法.

(2013·汕头质检)若一个三位数的十位数字比个位 数字和百位数字都大,称这个数为“伞数”.现 从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数,组 成无重复数字的三位数,其中“伞数”有( ) ? A.120个 B.80个 C.40个 D.20个
【解析】 分类讨论:若十位数为 6 时,有 A2 5= 20(个);若十位数为 5 时,有 A2 4=12(个 );若十位数为 2 4 时,有 A2 = 6( 个 ) ;若十位数为 3 时,有 A 3 2=2(个), 因此一共有 40 个.
【答案】 C

?

男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长 各1名,选派5人外出比赛,在下列情形中各有多 少种选派方法? ? (1)至少有1名女运动员; ? (2)既要有队长,又要有女运动员. 【思路点拨】 第(1)问可以用直接法或间接法求 解.第(2)问根据有无女队长分类求解.

【尝试解答】 (1)法一 至少有1名女运动员包括以 下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 4 2 3 3 2 4 1 C1 C + C C + C C + C 4 6 4 6 4 6 4C6=246(种). 法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动 员”可用间接法求解. 从10人中任选5人有C 5 10 种选法,其中全是男运动员的 5 选法有C6 种.

5 5 所以“至少有1名女运动员”的选法为C 10 -C 6 = 246(种). 4 (2)当有女队长时,其他人选法任意,共有C9 种选法. 不选女队长时,必选男队长,共有C 4 8 种选法.其中不含女 4 4 运动员的选法有C 4 5 种,所以不选女队长时共有C 8 -C 5 种选 4 4 法,所以既有队长又有女运动员的选法共有C 4 9 +C 8 -C 5 = 191(种).

1.本题中第(1)小题,含“至少”条件,正面求解 情况较多时,可考虑用间接法.第(2)小题恰当分 类是关键. 2.组合问题常有以下两类题型变化 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型: “含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补 足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下 的元素中去选取. (2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:若直 接法分类复杂时,逆向思维,间接求解.

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考向三排列与组合综合题 例 1 (1)(2013· 重庆)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生 中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和 内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________.(用数
本 讲 栏 目 开 关

字作答) (2)(2013· 浙江)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排, 且 A、 B 均在 C 的同侧, 则不同的排法共有________种. (用 数字作答)
1 3 2 2 解析 (1)分三类:①选1名骨科医生,则有C 3 (C 1 C + C 4 5 4C5 1 +C3 C 4 5)=360(种). 1 2 2 1 ②选2名骨科医生,则有C2 3(C4C5+C4C5)=210(种); 1 1 ③选3名骨科医生,则有C3 C 3 4C5=20(种).

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∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 360+210+20=590.
本 讲 栏 目 开 关

(2)分类讨论:A、B都在C的左侧,且按C的左侧分别有两个、 三个、四个、五个字母这4类计算,再考虑右侧情况.
3 1 3 2 2 4 5 所以共有:2(A2 · A + C A · A + C A + A 2 3 3 3 2 3 4 5)=480.

答案 (1)590

(2)480

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求解排列、组合问题的思路:排组分清,加乘明 确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘. 具体地说,解排列、组合的应用题,通常有以下途径:
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(1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元 素. (2)以位臵为主体,即先满足特殊位臵的要求,再考虑其他位 臵. (3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合 要求的排列或组合数.

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(1)(2012· 山东)现有16张不同的卡片,其中红色、黄 色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不 能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为 ( )
本 A.232 B.252 C.472 D.484 讲 栏 (2)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目 目 开 甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在 关

最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A.36种 B.42种 C.48种

(

)

D.54种

解析 (1)利用分类加法计数原理和组合的概念求解.
2 分两类:第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取法C1 C 4 12

=264(种);

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3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C 3 12 -3C 4 =220-

12=208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有264+208=472(种).
本 讲 栏 目 开 关

(2)分两类,第一类:甲排在第一位时,丙排在最后一位,中
4 间4个节目无限制条件,有A4 种排法;

第二类:甲排在第二位时,从甲、乙、丙之外的3个节目中选
3 1个节目排在第一位有C 1 种排法,其他 3 个节目有 A 3 3 种排法, 3 故有C1 3A3种排法. 4 3 依分类加法计数原理,知共有A4 +C1 A 3 3=42(种)编排方案.

答案 (1)C

(2)B

排列组合的综合问题 有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片,从这 8 张 卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张 卡片所标的数字之和等于 10,则不同的排法共有 ________种(用数字作答).

[思路导引] (1)取出的4张卡片所标的数字之和 等于10,注意到:1+2+3+4=1+1+4+4=2 +2+3+3=10,据此进行分类,又取出卡片还 要排序,因此这是排列与组合的综合问题. (2)一般地,解答排列与组合的综合问题,是先选 元素(组合)再排元素(排列),本题的求解有两处 难点,一是如何分类,分成几类,这里“数字之 和为10”即为问题的突破点;二是选出满足条件 的卡片后还需排列,这是易错点.

解析: 分 3 类:第 1 类,当取出的 4 张卡片分别
1 1 1 1 4 标有数字 1,2,3,4 时,不同的排法有 C2 · C2 · C2 · C2 · A4

种; 第 2 类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4
2 4 时,不同的排法有 C2 · C · A 2 2 4种;

第 3 类,当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时,不同的排法有
2 2 4 C2· C2· A4种. 1 1 1 1 4 故满足题意的所有不同的排法共有 C2 · C2 · C2 · C2 · A4 2 4 +2C2 · C · A 2 2 4=432(种).

答案:

432

解决排列、组合综合问题要遵循的原则: (1)按事情发生的过程进行分步: (2)按元素的性质进行分类. ①特殊元素优先法. ②特殊位臵优先法. ③先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再 减去不合要求的排列或组合数.

1.有五张卡片,它们正、反面上分别写0与1,2与 3,4与5,6与7,8与9,将其中任意三张并排放在一起, 组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?

解析: 方法一(直接法):从 0 与 1 两个特殊值着 后,可分三类: (1)取 0 不取 1, 可先从另四张卡片中选一张作百位,
1 有 C1 种方法; 0 可在后两位,有 C 4 2种方法;最后 1 经从剩下的三张中任取一张,有 C3 种方法;又除

含 0 的那张外, 其他两张都有正面或反面两种可能, 故此时可得不同的三位数有
1 1 1 2 C4· C2· C3· 2 个.

(2) 取 1 不取 0 ,同上分析可得不同的三位数:
2 2 3 C4 · 2· A3 个

(3)0 和 1

3 3 3 都不取,有不同三位数:C4· 2· A3个.

1 1 2 综上所述,共有不同的三位数: C 1 · C · C 2 + 4 2 3· 2 2 3 3 3 3 C4 · 2· A3 +C4 · 2· A3=432 个.

方法二(间接法):任取三张卡片可以组成不同三位
3 3 2 2 2 数有 C3 · 2 · A 个,其中 0 在百位的有 C 2· A2个, 5 3 4·

这是不符合题意的,故共有不同的三位数:
3 3 3 2 2 C5 · 2· A3 -C4 · 2· A2 2=432 个.

分组分配问题 (1)分给甲、乙、丙三人,每人两本; (2)分为三份,每份两本; (3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本; (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少一本; (6)摆在 3 层书架上,每层 2 本

6 本不同的书, 按下列要求各有多少种不同的选法:

(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本;

[思路导引] (1)是平均分组问题,与顺序无关, 相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人, 可以理解为一个人一个人地来取,(2)是“均匀分 组问题”,(3)是不均匀分组问题,分三步进行, (4)分组后再分配,(5)明确“至少一本”包括“2、 2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”,(6) 实质为全排列.

[边听边记] (1)根据分步乘法计数原理得到:
2 2 2 C6 C4C2=90 种. 2 2 2 (2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有 C6 C4C2种方

法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份, 每份两本, 设有 x 种方法; 第二步再将这三份分给 甲、乙、丙三名同学有 A3 3种方法.根据分步乘法
2 2 2 C 6C4C2 2 2 2 3 计数原理可得: C6C4C2=xA3, 所以 x= = A3 3

15.因此分为三份,每份两本一共有 15 种方法.

1 2 3 (3)这是“不均匀分组”问题, 一共有 C6 C5C3=60 种方

法.
2 3 3 (4)在(3)的基础上再进行全排列, 所以一共有 C1 C 6 5C3A3

=360 种方法. (5)可以分为三类情况:①“2、2、2 型”即(1)中的分
2 2 2 配情况,有 C6 C4C2=90 种方法;②“1、2、3 型”即 2 3 3 (4)中的分配情况,有 C1 6C5C3A3=360 种方法;③“1、 4 3 1、4 型”,有 C6 A3=90 种方法.所以一共有 90+360

+90=540 种方法.
6 (6)本题即为 6 本书放在 6 个位臵上, 共有 A6 =720 种.

(1)解决此类问题要分清是分组问题还是分配问 题. (2)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问 题有三种: ①完全均匀分组,每组的元素个数均相同;
②部分均匀分组, 应注意不要重复, 有 m 组均匀, 最后必须除以 m!如“1,1,4 型”中方法的种数应
1 1 C4 C 6 2C1 3 为 · A3 ; 2 A2

③完全非均匀分组,不用考虑重复现象. (3)分配问题属于 “排列”问题,分配问题可以按 要求逐个分配,也可以分组后再分配.

2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官,每个乡 镇至少一名,则不同的分配方案有多少种?

解析: 分两步完成: 第一步将 4 名大学生按 2,1,1
1 1 C2 C 4 2C1 分成组,共有 种不同分法;第二步将分好 A2 2 3 的三组分配到 3 个乡镇,其分法有 A3 种,综合可 1 1 C2 C 4 2C1 3 知分配方案共有 · A3=36 种. 2 A2

多个限制条件的组合问题 (12 分)车间有 11 名工人,其中 5 名男工 是钳工,4 名女工是车工,另外两名老师傅既能 当车工又能当钳工,现在要在这 11 名工人里选 派 4 名钳工,4 名车工修理一台机床,问有多少 种选派方法.
[思路导引] 类求解. 以多面手入选的人数为分类标准分

[规范解答] 方法一:设 A、B 代表 2 位老师傅. A,B
4 4 都不在内的选法有:C5· C4=5

种;2 分

A,B 都在内且当钳工的选法有:
2 2 4 C2 C5C4=10 种;3 分

A,B 都在内且当车工的选法有:
2 4 2 C2 C5C4=30 种;4 分

A, B 都在内, 一人当钳工, 一人当车工的选法有:

2 2 3 3 C2 A2C5C4=80 种;6 分

A,B 有一人在内当钳工的选派方法有:
1 3 4 C2 C5C4=20 种;8 分

A,B 有一人在内当车工的选派方法有:
1 4 3 C2 C5C4=40 种;10 分

∴共有 5+10+30+80+20+40=185 种不同选派 方法.12 分

方法二:5 名钳工有 4 名选上的方法是:
4 4 C5C6=75

种;4 分

5 名钳工有 3 名选上的方法是:
3 4 3 3 2 C5 C4×C1 + C 2 5C4A2=100 种.8 分

5 名钳工有 2 名被选上的方法是:
2 2 4 C5 C2C4=10 种.10 分

∴一共有 75+100+10=185 种选派方法.12 分

方法三:4 名女车工都在内的选派方法:
4 4 C4 C7=35 种;4 分

4 名女车工有 3 人在内的选派方法:
3 1 4 3 3 2 C4C2C5+C4C5A2=120

种;8 分

4 名女车工有 2 名在内的选派方法:
2 2 4 C4 C2C5=30 种;10 分

∴一共有 35+120+30=185(种).12 分

对于多个限制条件的组合问题,要以其中的某 个条件为主去进行分类,然后再考虑其余的限 制条件,分类要不重不漏.

3.赛艇运动员10人,3人会划右舷,2人会划左舷, 其余5人两舷都能划,现要从中选6人上艇,平均分 配在两舷上划浆,有多少种不同的选法?
解析: 分三类,第一类 2 人只划左舷的人全不选,
3 有 C3 C 5 5=100 种;

第二类 2 人只划左舷的人中只选 1 人,
2 3 有 C1 C 2 5C6=400 种;

第三类 2 人只划左舷的人全选,
1 3 有 C2 C 2 5C7=175 种.

所以共有 100+400+175=675 种.

2.A、B、C、D、E五人并排站成一排,如 果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻), 那么不同的排法共有 ( ) A.24种 B.60种 C.90种 D.120种
【解析】 可先排C、D、E三人,共A 3 5 种排法,剩余 A、B两人只有一种排法,由分步计数原理满足条件的排法 共A3 5=60(种).

【答案】 B

题型四、指标问题采用“剪截法(档板法)”:
n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名 额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个名 额,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串,截为4段有 C15 ? 455 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有455种 .

n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个, 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串,截为4段有 C9 ? 84 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有84种 .

化归成典型问题

【练习】
把9个相同的小球放入编号为1、2、3 的三个箱子里,要求每个箱子放入球

的个数不小于其编号数,则不同的方
法种数有 种。

错位法:
编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44. 例5. 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个 盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒 子的编号相同的放法有____种. 2 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C6 ? 15 种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法. 故所求方法有15×9=135种.

【思考题】 7个人坐成一排,要调换其中三人的

位置而其余四人不动,有
调换方法 ?

种不同的

捷径问题
【例1】

如图,在某城市中,M、N 两地之间有整齐的道路网
(图中正方形的每一条边都表示一条街 道)。则从M到N的最短路径有

条。

染色问题

【例1】(08,重庆卷)

某人有4种颜色的灯泡(每
种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的6 个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯

泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则
每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共 有 种。

题型七、染色问题
解:按照A1,B1,C1,A,B,C的顺序安装灯泡A1处有4种方法, B1处有3种方法,C1处有2种方法. (1)当 A处与B1处不同与 C1处相同时, A处有1种方法,由于装完 B,C后每种颜色的灯泡至少用一个,因此共有4×3×2×1×(1 +2)=72种. (2)当A处与B1处相同与C1处不同时,A处有1种方法. B 处有 3 种方法, C 处有 1 种方法,共有 4×3×2×1×3×1 = 72 种. (3) 当 A处与B1 , C1 均不相同时, A处有 1种方法。 B, C处共有 2 + 1 = 3 种方法,因此,共有 4×3×2×1×(2 + 1) = 72 种.因此, 由分类计数原理可得共有72+72+72=216(种)方法.

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1.排列、组合应用题的解题策略 (1)在解决具体问题时,首先必须弄清楚是“分类”还是
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“分步”,接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体 标准是什么. (2)区分某一问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的 元素与顺序是否有关.若交换某两个元素的位臵对结果产 生影响,则是排列问题;若交换任意两个元素的位臵对结 果没有影响,则是组合问题.也就是说排列问题与选取元 素的顺序有关,组合问题与选取元素的顺序无关.

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(3)排列、组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素(特殊 位置)优先安排法;②合理分类与准确分步;③排列、组合 混合问题先选后排法;④相邻问题捆绑法;⑤不相邻问题
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插空法;⑥定序问题倍缩法;⑦多排问题一排法;⑧“小 集团”问题先整体后局部法;⑨构造模型法;⑩正难则反、 等价转化法.

易错辨析 实际意义理解不清导致计数错误 (2012·山东高考改编)现有16张不同的卡片, 其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张, 从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一 种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法 的种数为 ( ) ? A.232 B.256 C.472 D.484

【错解】 第一类,含有一张红色卡片,取出红色卡 片有C 1 4 种方法,再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一 1 1 1 2 1 张卡片有C2 C C 种方法,因此满足条件的取法有 C 〃 C 3 4 4 4 3C 4 1 C4 =192种. 第二类,不含有红色卡片,从其余三色卡片中各取一 1 1 张有C1 4C4C4=64种取法. ∴由分类计数原理,不同的取法共有192+64=256 种.

? 【答案】 B

? 错因分析:(1)错解的原因是没有理解“3张卡片 不能是同一种颜色”的含义,误认为“取出的三 种颜色不同”. ? (2)运用间接法求“不含有红色卡片”时,忽视 “3张卡片不能是同一种颜色”,误求为C,导致 错选D. ? 防范措施:(1)准确理解题意,抓住关键字词的含 义,“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜 色或三种颜色”都满足要求. ? (2)选择恰当分类标准,避免重复遗漏,出现“至 少、至多”型问题,注意间接法的运用.

【正解】 第一类,含有1张红色卡片,共有不同的取 2 法C1 C 4 12=264(种). 3 第二类,不含有红色卡片,共有不同的取法C 12 -3C 3 4 =220-12=208(种). 由分类加法计数原理知不同的取法有264+208= 472(种).

? 【答案】 C

无 人 迹 处 有 奇 观 。

学 林 探 路 贵 涉 远

,

会当凌绝顶,一览众山小。


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