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2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,解析版)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.

C (A 1.已知全集 U ? R, A ? {x | x ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则集合 U
A. {x | x ? 0} 【答案】D 【解析】 B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1}

B) ? (



D. {x | 0 ? x ? 1}

? A = (-∞, 0], B = [1+ ∞) ∴ A∪B = (-∞ , 0]∪[1+ ∞).C , 1).选D. R ( A∪B) = (0
2.设复数 z 满足 ( z ? 2i)(2 ? i) ? 5 ,则 z ? ( A. 2 ? 3i 【答案】A 【解析】 B. 2 ? 3i C. 3 ? 2i D. 3 ? 2 i



? ( z - 2i )(2 - i ) = 5,∴ z =

5 ( 5 2 + i) + 2i = + 2i = 2 + 3i.选A. 2-i 5

1 1 b ? log 2 , c ? log 1 3 2 3 ,则( 3.已知 a ? 2 ,
? 1 3

) D. c ? b ? a

A. a ? b ? c 【答案】C 【解析】

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

1 1 1 1 ? a = 2 3 ∈( , 1), b = log2 3 ∈(-2, -1), c = log1 3 ∈(1,2).∴c > a > b.选C. 2 2

4.已知 m,n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m / /? , n / /? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? 【答案】B 【解析】 B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?



对A, 平行同一平面的两直线 ,不一定平行 .错 对B, 直线垂直平面,则垂直 平面上的直线 .对. C, D不用再看.选B.

5.设
?

a b c
、 、
? ? ?

?

?

?

是非零向量,已知命题 P:若
? ?

a ? b ? 0 , b ? c ? 0 ,则 a ? c ? 0 ;命题 q:


?

?

?

?

?

?



a // b , b // c ,则 a // c ,则下列命题中真命题是(
B. p ? q C. (?p) ? (?q) D. p ? (?q )

A. p ? q

【答案】A 【解析】 命题 p 为假,命题 q 为真,所以 A 正确。选 A

6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( A.144 B.120 C.72 D.24 【答案】D 【解析】



3 3 1 3个人和2个空进行排列 , 共有A3 种...剩余一空,再插空排, 共有A3 ? C4 = 24.选D.

7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( A. 8 ? 2? B. 8 ? ?



8?
C.

? 2

8?
D.

? 4

【答案】B 【解析】

π *12 几何体为直棱柱,体积 V = sh = (2 * 2 )2 = 8 - π.选B. 2

8.设等差数列 A. d ? 0 【答案】C 【解析】

{an } 的公差为 d,若数列 {2a1an } 为递减数列,则(
B. d ? 0 C.



a1d ? 0

D.

a1d ? 0

由同增异减知, a1an递减,即a1an+1 < a1an .分情况解得: a1 > 0且d < 0; 或a1 < 0且d > 0. ∴a1d < 0.选C.

y ? 3sin(2 x ? ) 3 的图象向右平移 2 个单位长度,所得图象对应的函数( 9.将函数 [

?

?



? 7?
,

A.在区间 12 12 上单调递减

]

, ] 12 12 上单调递增 B.在区间 [?
C.在区间

[

? 7?

? ?

, ] 6 3 上单调递减 , ] 6 3 上单调递增

[?
D.在区间 【答案】B 【解析】

? ?

π π π π π π π 把y = 3 sin(2 x + ) = 3 sin 2( x + )的周期T = π,一个增区间为 [- - , - ];右移 后, 3 6 4 6 4 6 2 π π π π π π π 7π 增区间为 [ - - , + - ] = [ , ].选B. 2 4 6 2 4 6 12 12
10.已知点 A(?2,3) 在抛物线 C:y ? 2 px 的准线上, 过点 A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B,
2

记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为(



1 A. 2
【答案】D 【解析】

2 B. 3

3 C. 4

4 D. 3

? A(-2,3)在准线上, 所以y 2 = 8 x, 求导得: 2 y ? y′= 8,即k = 4 m - 3 8(m - 3) = 2 = 2 ,m 2 - 6m - 16 = 0, 解得m = 8 m m m + 16 +2 8 m 8m 4 ∴ F (2,0), k BF = 2 = 2 = .选D. m m - 16 3 -2 8 ∴

4 m2 .设B( , m),m > 0, 则k = k AB . y 8

11.当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax ? x ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是(
3 2



A. [?5, ?3] 【答案】C 【解析】

9 [ ?6, ? ] 8 B.

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

换元法.当x = 0时,f ( x) ≥ 0成立.当x ≠ 0时,令t = 1 4 3 ? f ( x) = x 3 (a - + 2 + 3 ) ≥ 0,?x∈[-2,1] x x x

1 x

1 ∴ a - t + 4t 2 + 3t 3 ≥ 0,?t ∈[1,+ ∞ ), 且a - t + 4t 2 + 3t 3 ≤ 0,?t ∈ (-∞ ,- ] 2 2 3 2 令g (t ) = a - t + 4t + 3t , 则g ′(t ) = -1+ 8t + 9t = (t + 1)(9t - 1) 1 ? g ′(t )在(-∞ ,-1)上递增,在(-1,- ]上递减,在 [1,+ ∞ )递增 2 ∴ g (-1) ≤0,且g (1) ≥ 0.解得a ≤ -1且a ≥ -6∴ a ∈[-6,-1].选C.

12.已知定义在 [0,1] 上的函数 f ( x) 满足: ① f (0) ? f (1) ? 0 ;

②对所有 x, y ? [0,1] ,且 x ? y ,有

| f ( x) ? f ( y ) |?

1 | x? y| 2 .


若对所有 x, y ? [0,1] , | f ( x) ? f ( y) |? k ,则 k 的最小值为(

1 2

1 B. 4

1 C. 2?

1 D. 8

【答案】B

【解析】

1 1 1 1 数形结合法 .据题可知, y = f ( x)的图像只能在由 4个顶点(0,0), ( , ), (1,0), (- ,- )组成的 2 4 2 4 平行四边形区域内 (不含边界).具体说,可以只在 x轴上方,或只在 x轴下方, 1 或在x轴上下方都有 3种情况.前2种情况容易判断| f ( x) - f ( y ) |< . 4 对第3种情况,若有点 P 会存在P2 ( x2 ,- y1 )也在平行四边形内 . 1 ( x1 , y1 )在平行四边形内,则不 1 1 ∴| f ( x) - f ( y ) |< , 即k ≥ .选B. 4 4
第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.执行右侧的程序框图,若输入 x ? 9 ,则输出

y?

.

29 答案】 9
【解析】

各步运算结果如下: (1) x = 9, y = 5(2) x = 5, y = ∴y = 29 9

11 11 29 (2) x = , y = 3 3 9

14.正方形的四个顶点 A(?1, ?1), B(1, ?1), C (1,1), D(?1,1) 分别在抛物线 y ? ? x 和 y ? x 上,
2 2

如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率是

.

2 【答案】 3
【解析】

? C (1,1), 所求概率p = 阴影部分的面积:正方 形ABCD的面积= S阴影: 4, S阴影 = ( 4 1- ∫ x 2 dx) = ( 4 10 1

x3 1 4? 2 2 |0 ) = ∴p= 3 3 3

x2 y 2 ? ?1 4 15.已知椭圆 C: 9 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,
B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? .

【答案】12 【解析】

如图,焦点F1 (- 5, 0), F2 ( 5, 0), 用特值法.令M (0,0), Q是线段MN的中点, 则A(-2 5,, 0), B(2 5, 0) AN + BN = 2 F1Q + 2 F2Q = 2 ? 2a = 12 ∴ AN + BN = 12
3 4 5 ? ? 16.对于 c ? 0 , 当非零实数 a, b 满足 4a ? 2ab ? 4b ? c ? 0 , 且使 | 2a ? b | 最大时,a b c
2 2

的最小值为 【答案】-2 【解析】

.

b ? 4a 2 - 2ab+ 4b 2 - c = (2a - ) 2 + ( 2 3 2 b ∴ c ? [12 + ( ) ] =( [ 2a - ) 2 + ( 2 15 ?c ? [12 + ( | 2a +

15b 2 ) -c= 0 2 15b 2 3 2 b 15b 3 2 ) ] ? [12 + ( ) ]≥ ( [ 2a - ) ? 1+ ? ] 2 2 2 15 15

3 2 b b 15b 3 ) ]≥ (2a + ) 2 ∴当(2a - ) : 1 = : , 即2a = 3b,c = 10b 2时, 2 2 2 15 15

b 8c 3 4 5 6 4 5 1 1 | 取最大值 .这时, - + = - + = ( - 4) ≥-2. 2 2 5 a b c 3b b 10b 2b b 3 4 5 所以, - + 的最小值为- 2 a b c

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A,B,C 的对边 a,b,c,且 a ? c ,已知 BA ? BC ? 2 , 求: (1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值.

cos B ?

1 3 ,b ? 3 ,

23 【答案】 (1) a = 3, c = 2 (2) 27
【解析】 ( 1 )

1 ac a 2 + c2 - b2 ? cos B = , b = 3, BA? BC = ca cos B = = 2,且 cos B = ∴ ac = 6, a + c = 5 3 3 2ac ? a > c ∴ 解得a = 3, c = 2.所以,a = 3, c = 2
(2)

1 2 2 a 2 + b2 - c2 7 4 2 ? cos B = ∴sin B = ? a = 3, b = 3, c = 2, cosC = = , sin C = 3 3 2ab 9 9 23 23 ∴cos(B - C ) = cos B cosC + sin B sin C = .所以, cos(B - C ) = 27 27
18. (本小题满分 12 分) 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率; (2) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数, 求随机变量 X 的分布列, 期望 E ( X ) 及方差 D( X ) . 【答案】 (1) 0.108 (2) 1.8,0.72 【解析】 (1)

用Y表示日销售量,则 a = p (Y ≥ 100) = (0.006+ 0.004+ 0.002) ? 50 = 0.6, b = p (Y < 50) = 0.003? 50 = 0.15. A表示连续2日销量不低于 100且一日销量低于 50,则 p ( A) = aab+ baa= 2a 2b = 0.108.所以,所求事件概率为 0.108
(2)

X可取0,1,2,3.由(1)知,日销量不低于 100 的概率a = 0.6, X ~ B(3,0.6).
0 0 1 1 ∴ p( x = 0) = C3 a (1 - a)3 = 0.064. p( x = 1) = C3 a (1 - a) 2 = 0.288. p( x = 2) = C32 a 2 (1 - a)1 = 0.432. 3 3 p( x = 3) = C3 a (1 - a) 0 = 0.216.EX = na = 3 * 0.6 = 1.8, DX = na(1 - a) = 0.72.

X的分布列如下,数学期 望EX和方差DX分别为1.8和0.72.
X P 0 0.064 1 0.288 2 0.432 3 0.216

19. (本小题满分 12 分)
0 如图,?ABC 和 ?BCD 所在平面互相垂直, 且 AB ? BC ? BD ? 2 ,?ABC ? ?DBC ? 120 ,

E、F 分别为 AC、DC 的中点. (1)求证: EF ? BC ; (2)求二面角 E ? BF ? C 的正弦值.

2 5 【答案】 (1) 省略(2) 5
【解析】 (1)

? BC = BD, DF = FC, 且∠CBD = 120° ∴ ΔBCF为RT三角形, BF ⊥ FC 同理? BC = BA, AE = EC, 且∠ABC = 120° ∴ ΔBCE为RT三角形, BE ⊥ EC ∴ ΔBCF与ΔBCE全等,设H在BC上,且FH ⊥ BC, 则EH ⊥ BC, BH = ? FH ⊥ BC, EH ⊥ BC, FH ∩EH = H ∴ BC ⊥ 面EFH∴ BC ⊥ EF 所以,EF⊥ BC
(2)

1 2

由( 1)知, EH ⊥ HC ⊥ HF∴分别以HC, HF, EH为x, y, z轴建立坐标系 .BE = BF = 2 显然,面BCF的一个法向量n1 = (0,0,1) 3 3 1 1 3 1 3 ), F (0, ,0), B(- ,0,0), BE = ( ,0, ), BF = ( , ,0) 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 面BEF的法向量n2 = ( x, y, z )满足: n2 BE = n2 BF = 0,即 x + 0 + z = x+ y+ 0= 0 2 2 2 2 E (0,0, 解出一个法向量 n2 = (- 3 ,1,1) ∴ cos< n1 , n2 >= n1 n2 | n1 || n2 | = 0+ 0+ 1 5 2 5 = , sin < n1 , n2 >= 5 0 + 0 + 1 3+ 1+ 1 5 2 5 5

所以,二面角 E - BF - CD的正弦值sinθ =
20. (本小题满分 12 分)

圆 x ? y ? 4 的切线与 x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切
2 2

x2 y 2 C1 : 2 ? 2 ? 1 a b 点为 P(如图) ,双曲线 过点 P 且离心率为 3 .
(1)求

C1 的方程;
C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点,直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A,B 两点,若以

(2)椭圆

线段 AB 为直径的圆心过点 P,求 l 的方程

【答案】 (1) 【解析】 (1)

x2 -

3 6 -2 2- 6 y2 x= y + 3 , 或x = y+ 3 =1 2 2 2 (2)

设圆半径r , P点上下两段线段长分别 为m, n, r 2 = 4,由射影定理得 r 2 = m n, 三角形面积 1 1 4 1 1 4 m2 + 4 n2 + 4 = r + 4(m 2 + n 2 ) + 16 ≥ r 4 + 8 m 2 n 2 + 16 = r + 8r 2 + 16, 2 2 2 2 仅当m = n = 2时,s取最大值,这时 P( 2 , 2 ). s= c x2 y2 ? = 3 , c 2 = b 2 + a 2 , 把点P( 2 , 2 )代入双曲线方程 2 - 2 = 1中 ∴c 2 = 3,b 2 = 2,a 2 = 1 a a b 2 y 所以,双曲线方程为 x2 - = 1 2
(2) .

x2 y2 ? 椭圆过P ( 2 , 2 ),焦点为(- 3 ,0), ( 3 ,0) ∴ 设椭圆方程 2 + 2 = 1,a 2 = b 2 + c 2,c 2 = 3 a b 2 2 x y 把点P ( 2 , 2 )代入椭圆方程 2 + 2 = 1中,解得b 2 = 3,a 2 = 6. a b 2 2 x y 所以,椭圆方程为 + =1 6 3 由题知,直线l过右焦点为( 3 ,0),且PA⊥ PB∴ PA? PB = 0. 设直线方程x = m y+ 3 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). ? 0 = PA? PB = ( x1 - 2 , y1 - 2 )(x2 - 2 , y2 - 2 ) = ( x1 - 2 )(x2 - 2 ) + ( y1 - 2 )( y2 - 2 ) = (m y1 + 3 - 2 )(m y2 + 3 - 2 ) + ( y1 - 2 )( y2 - 2 ) = m 2 y1 y2 + ( 3 - 2 )m( y1 + y2 ) + ( 3 - 2 ) 2 + y1 y2 - 2 ( y1 + y2 ) + 2 = (1+ m 2 ) y1 y2 + [( 3 - 2 )m - 2 ]( y1 + y2 ) + 7 - 2 6 = 0 x2 y2 与椭圆方程 + = 1联立得: 6 3 - 2 3m -3 , y1 y2 = 2 2+ m 2+ m2 ? (1+ m 2 ) y1 y2 + [( 3 - 2 )m - 2 ]( y1 + y2 ) + 7 - 2 6 = 0 (2 + m 2 ) y 2 + 2 3m y - 3 = 0,由韦达定理得y1 + y2 = ∴ -3(1+ m 2 ) - 2 3m[( 3 - 2 )m - 2 ]+ (7 - 2 6 )(2 + m 2 ) = 0 ?-3 - 3m 2 + 2 3 ( 2 - 3 )m2 + 2 6m + (7 - 2 6 )2 + (7 - 2 6 )m 2 = 0 ?(-3+ 2 6 - 6 + 7 - 2 6 )m2 + 2 6m - 3 + 14 - 4 6 = 0 ?-2m2 + 2 6m + 11- 4 6 = 0 ?2m2 - 2 6m + 4 6 - 11= 0 2 6 ± 24 - 8(4 6 - 11) 6 ± 6 - 2(4 6 - 11) 6 ±2 7 - 2 6 = = = 4 2 2 3 6 -2 2- 6 ∴ m1 = , m2 = 2 2 3 6 -2 2- 6 所以,所求直线方程为 x= y + 3 , 或x = y+ 3 2 2 ∴m = 6 ± 2( 6 - 1) 2

21. (本小题满分 12 分)









8 f ( x) ? (cos x ? x)(? ? 2 x) ? (sin x ? 1) 3



g ( x) ? 3( x ? x) cos x ? 4(1 ? sin x) ln(3 ?

2x

? .

)

x0 ? (0, ) 2 ,使 f ( x0 ) ? 0 ; 证明: (1)存在唯一 x1 ? ( , ? ) g ( x1 ) ? 0 ,且对(1)中的 x0 ? x1 ? ? . 2 存在唯一 ,使
【答案】 (1) 0.108 (2) 1.8,0.72 【解析】 (1)

?

?

8 8 π π 8 ? f ( x) = (cos x - x)(π + 2 x) - (sin x + 1) ∴ f (0) = π - > 0, f ( ) = (- )(2 π) - (2) < 0, 3 3 2 2 3 π ∴ f ( x)在(0, )上有零点 2 π ? 在(0, )上,y = π + 2 x > 0单调递增↑ ,y = - cos x + x > 0单调递增↑ 2 8 ∴ y = -(- cos x + x)(π + 2 x)单调递减↓ ,且y = - (sin x + 1)单调递减↓ 3 8 ∴ y = f ( x) = (cos x - x)(π + 2 x) - (sin x + 1)单调递减↓ 3 π 所以,f ( x)在(0, )上仅有一个零点 2
(2)

h( x ) ?
(II)考虑

3( x ? ? ) cos x 2 ? ? 4 ln(3 ? ), x ? [ , ? ]. 1 ? sin x ? 2

x ?[ ,? ] t ? [ 0, ] 2 2 令 t ? ? ? x, 则 时,

?

?

u (t ) ? h(? - t) ?


3t cost 2 3 f (t ) ? 4 ln(1 ? t ),则u ' (t ) ? 1 ? sin t ? (? ? 2t )(1 ? sin t )

t ? (0, x0 )时, u ' (t )? 0, 当t ? ( x0 , )时, u ' (t )?0 2 由(I)得,当
在(0,

?

x0 )上 u(t ) 是增函数,又 u (0 ? 0) ,从而当 t ? (0, x0 ) 时,u(t ) ? 0 ,所以 u(t ) 在 (0, x0 ]

上无零点。

( x0 , ) u( ) t1 ? ( x0 , ) 2 上 u(t ) 为 减 函数 ,由 u( x0 )?0 , 2 =-4ln2 ?0 , 知 存 在唯 一 2 ,使 在

?

?

?

u(t1 ) ? 0 .

t1 ? ( x0 , ) 2 ,使 u (t1 ) ? 0 . 所以存在唯一的
因此存在唯一的 x1 ,使 h( x1 ) = h(? ? t1 ) = u (t1 ) =0.

?

x ? ( ,? ) 2 因为当 时,1 ? sin x? 0 ,故 g ( x) =( 1 ? sin x ) h( x) 与 h( x) 有相同的零点,所以存
( ,? ) 在唯一的 x1 ? 2 ,使 g ( x1 ) =0.
请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于 E、C 两点,PD 切圆于 D,G 为 CE 上一点且 PG ? PD ,连接 DG 并延长交圆于 点 A,作弦 AB 垂直 EP,垂足为 F. (1)求证:AB 为圆的直径; (2)若 AC=BD,求证:AB=ED.

?

?

【答案】 【解析】 (1)

延长PD到D′.? PD = PG∴∠ADP = ∠PGD = ∠FGA? PD为切线∴∠D′DB = ∠FAG ?∠D′DB + ∠BDA + ∠ADP = π ∴∠FAG + ∠BDA + ∠FGA= π π π ∴∠BDA + = π ∴∠BDA = , 所以AB为直径 2 2
(2)

? BD = AC ∴∠BAD = ∠FAG = ∠AEC 在三角形ACE中,AF ⊥ EG ∴∠EAG = 所以, ED = AB
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

π π ?∠EAD= ∴ ED为直径 2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为

P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建

立极坐标系,求过线段

PP 1 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

【答案】 (1) x = cosθ, y = 2 sin θ,θ ∈[0, π (2) 2ρ cosθ - 4ρ sin θ + 3 = 0 【解析】 (1)

曲线C的参数方程: x = cosθ, y = 2 sin θ,θ ∈[0,π]
(2)

设曲线C上的点P(cosθ,2 sin θ)在直线上,则 2 cosθ + 2 sin θ - 2 = 0, π π 1 解得 2 sin(θ + ) = 1.即θ = 0,或 .所以,A(1,0), B(0,2), AB中点( ,1). 4 2 2 1 1 ∴ 垂直AB的中垂线方程是 y - 1 = ( x - )即4 y - 3 = 2 x 2 2 所以, 所求直线的极坐标方程 是2ρ cosθ - 4ρ sin θ + 3 = 0

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
2 设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ?1 的解集为 M, g ( x) ? 4 的解

集为 N. (1)求 M; (2)当 x ? M

N 时,证明:

x 2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 4.

4 {x | 0 ≤x ≤ } 3 (2) 【答案】 (1)
【解析】 (1)

4 f ( x) = 2 | x - 1 | + x - 1 ≤ 1.当x ≥ 1时,解得 1 ≤x ≤ ;当x < 1时,解得0 ≤x < 1 3 4 4 ∴ f ( x) ≤ 1的解集为 [0, ].所以,M = {x | 0 ≤x ≤ } 3 3
(2)

g ( x) = 16 x 2 - 8 x +1 #4,解得-

1 4

x

3 4

4 1 3 3 M = [0, ], N = [- , ], M ? N [0, ] 3 4 4 4 2 2 2 x f ( x) + x[ f ( x)] = x ? [2(1 x) + x - 1] + x(1 - x) 2 = x 2 ? (1 x) + x(1 - x ) 2 = x 2 - x 3 + x (1 - 2 x + x 2 ) = x - x 2 1 1 1 (1 ) = 2 2 4 1 3 \ x 2 f ( x) + x[ f ( x )]2 N , x [0, ] 4 4 = x(1 - x) ?


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