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高三数学立体几何的难点突破1球的体积、表面积

高三数学立体几何的难点突破1球的体积、表面积


球的体积、表面积 1.1 球的体积 【例 1】两个半径为 1 的铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径为( A.2 B. 2 3 C. 2 D. 13 4 2 ) 4 4π 3 【解析】设大球半径为 r,则 π r =2× , 3 3 3 ∴r= 2,故选 C. 4 3 【评注】球的体积公式为:V= π r ,设半径列方程求半径即可. 3 【变式 1】利用正方体的对角线长等于其外接球的直径求正方体的棱长 ( 2013 天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上 . 若球的体积为 为 . 9? , 则正方体的棱长 2 4 9? 1. 3 【解析】设球半径为 R,? 球的体积为 ? R 3 ? , 3 2 ∴R= 3 , 2 又由球的直径与其内接正方体对角线的相等知正方体的对角线长为 3,则棱长 为 3. 【变式 2】 一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个 四边形都是边长为 2 的正方形),则该几何体外接球的体积为________. 2.4 3π 【解析】依题意可知,新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球, 所求外接球的直径就是正方体的体对角线; ∴2R=2 3(R 为球的半径),∴R= 3, 4 3 ∴球的体积 V= π R =4 3π . 3 【变式 3】利用球截面圆圆心与球心连线与截面垂直的性质求球的半径 用与球心距离为 1 的平面去截球,所得的截面面积为 π ,则球的体积为( A. 8π 3 8 2π B. 3 2 ) C.8 2π 32π D. 3 3.B【解析】 S 圆=π r =1,而截面圆圆心与球心的距离 d=1, ∴球的半径为 R= r +d = 2. 4 3 8 2π ∴V= π R = ,故选 B. 3 3 1.2 球的表面积 【例 2】如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为 2,正视图、侧 视图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是 . 1 2 2 【解析】该器皿的表面积可分为两部分:去掉一个圆的正方体的表面积 s1 和半球的表面积 s 2 , 1 s1 ? 6 ? 2 ? 2 ? ? ?12 ? 24 ? ? s2 ? ? 4? ?12 ? 2? , 2 故 s ? s1 ? s2 ? ? ? 24 . 【评注】由三视图求表面积与体积,关键是正确分析原图形的几何特征. 【变式 1】 (2013·陕西高考文科)某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 2 . 1. 3? 【解析】综合三视图可知几何体是一个半径 r=1 的半个球体,其表面积= 1 ? 4?r 2 ? ?r 2 ? 3? . 1.3 正方体的外接球、内切球和棱切球 【例 3】 有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三 个球过正方体各顶点,则三个球面积之比为 . 【解析】设正方体棱长为 a,则有内切球半径 R1 ? a ; 2 2 a; 2 棱切球其直径为正方体各面上的对角线长,则有 R2 ? 外接球直径为正方体的对角线长,∴有 R3 ? 所以面积之比为 12 : 3 a, 2 ? 2 ? : ? 3? 2 2 ? 1: 2 : 3 . 【评注】 正方体的内切球:截面图为正方形 EFHG 的内切圆,如图所示.设正方体的棱长为 a,则内 a 2 3 切球半径|OJ|=r= ;正方体的棱切球:|GO|=R= a;正方体的外接球:则|A1O|=R′= a.用构造法 2 2 2 易知:棱长为 a 的正四面体的外接球半径为 6 a. 4

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