9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

向量 补充:三角形的五心

向量         补充:三角形的五心

平面向量
三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. 考试内容: 向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点. 平面向量的数量积.平面两点间的距离、平移. 考试要求: (1)理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积,理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,并且能熟练运用 掌握平移公式.

知识要点
1.本章知识网络结构

2.向量的概念 (1)向量的基本要素:大小和方向. (2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a; 坐标表示法 a=xi+yj=(x,y). (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|. (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O. 单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1. (5)相等的向量:大小相等,方向相同 (x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称 为共线向量.

-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 , 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在

3.向量的运算 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质

a?b ? b?a
向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
AB ? BC ? AC

向量的 减法

a ? b ? a ? (?b)
三角形法则

a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

AB ? ? BA , OB ? OA ? AB

1. ? a 是 一 个 向 量 , 满 数 乘 向 量 足: | ? a |?| ? || a | 2. ? >0 时,

? (? a) ? (?? )a

? a与a 同向;

? a ? (? x, ? y)

(? ? ? )a ? ? a ? ? a

?(a ? b) ? ? a ? ?b
a // b ? a ? ?b

? <0 时, ? a与a 异向;
? =0 时, ? a ? 0 .
a ? b 是一个数 a ?b ? b? a
(? a) ? b ? a ? (?b) ? ?(a ? b)

向 量 的 数 量 积

1. a ? 0或b ? 0 时,

a ?b ? 0 .
2.

a ? b ? x1x2 ? y1 y2

(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c
a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2
2

a ? 0且b ? 0时, a b ?| a || b | cos(a, b)

| a ? b |?| a || b |

4.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一 对实数λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2. (2)两个向量平行的充要条件 a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O. (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O. (4)线段的定比分点公式 设点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比为λ ,即 P 1 P =λ PP 2 ,则

-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 , 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在

OP =
? x? ? ? ? ?y ? ? ?

1 1 OP OP2 (线段的定比分点的向量公式) 1 + 1? ? 1? ?

x1 ? ?x 2 , 1? ? (线段定比分点的坐标公式) y1 ? ?y 2 . 1? ?

当λ =1 时,得中点公式:

x ? x2 ? x? 1 , ? 1 ? 2 OP = ( OP 1 + OP 2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
(5)平移公式 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 OP? = OP +a 或 ?

? x? ? x ? h, ? y ? ? y ? k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h)

空间向量
1.空间向量的概念: 具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b
?

? ? BA ? OA ? OB ? a ? b
? ? ?

? OP ? ?a(? ? R)

运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是 同一直线,也可能是平行直线. 4.共线向量定理及其推论:

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 , 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在

共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、b ≠ 0 ,a // b 的充要条件是存在实数 λ, 使 a =λ b . 推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式 OP ? OA ? t a . 其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量. 5.向量与平面平行: 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? . 通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的 6.共面向量定理:
王新敞
奎屯 新疆

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

王新敞
奎屯

新疆

如 果 两 个 向 量 a, b 不 共 线 , p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x , y 使

p ? xa ? yb

王新敞
奎屯

新疆

推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x , y ,使

MP ? xMA ? yMB 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB
①式叫做平面 MAB 的向量表达式 7 空间向量基本定理:
王新敞
奎屯 新疆



王新敞
奎屯

新疆

如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯一的有序实数组

x, y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc

王新敞
奎屯

新疆

推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y , z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC
8 空间向量的夹角及其表示:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

已知两非零向量 a, b , 在空间任取一点 O , 作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB 叫做向量 a 与

b 的 夹 角 , 记 作 ? a, b ? ; 且 规 定 0 ?? a, b ?? ? , 显 然 有 ? a, b ??? b , a ? ; 若
? a , b ??

?
2

,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b .

9.向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | . 10.向量的数量积: a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . 已知向量 AB ? a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影. 可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | . 11.空间向量数量积的性质:

-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 , 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在

(1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a |2 ? a ? a . 12.空间向量数量积运算律: (1)(?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2)a ? b ? b ? a(交换律) (3)a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) . 空间向量的坐标运算 一.知识回顾: (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) ,y 轴是纵轴(对应 为纵轴) ,z 轴是竖轴(对应为竖坐标). ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? a ? (?a1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 a ? b ?a1 b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0

a ∥ b ?a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b 2 ,a 3 ? ?b 3 (? ? R) ?

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化: a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )

? ? a1b1 ? a 2 b2 ? a3b3 ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 | a |?|b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射 线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB ? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理: 设 n1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向量, 则 n1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 ( n1 , n 2 方向相同, 则为补角, n1 , n 2 相反方向,则为其夹角). ③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ? ? ,且 CDE 三点不共线, 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ?CD ? ?CE . (常设 AB ? ?CD ? ?CE 求解
? , ? 若 ? , ? 存在即证毕,若 ? , ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).

-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 , 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在

A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

-q4:;BCE5xI6 wDp'y.A3HOM andueilgcvtosr2hf,b(j)km 作 理 管 司 公 分 到 战 转 位 岗 工 施 量 测 由 他 , 下 势 态 压 高 产 生 全 安 在


推荐相关:

向量补充:三角形的五心.doc

向量补充:三角形的五心 - 平面向量 三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中


向量 补充:三角形的五心.doc

向量 补充:三角形的五心 - 平面向量 平面向量 三角形的五个“ ; 三角形的五


向量和三角形的五心.doc

向量三角形的五心_工学_高等教育_教育专区。向量三角形的五心,主要介绍三角形的重心、垂心、外心、内心与旁心的向量表示的探究 ...


用向量表示三角形的五心.doc

向量表示三角形的五心 - 用向量表示三角形的五心 如图, ? ABC 中,E


必修4-向量-三角形的五心.ppt

必修4-向量-三角形的五心 - ? 三角形“五心”向量形 式的充要条件 设O为?


向量与三角形五心证明及知识运用(精华版AAA).doc

向量三角形五心证明及知识运用(精华版AAA) - 向量三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 1.定义: 我们把三角形三个内角的角平分线的...


向量与三角形的五心_图文.ppt

向量三角形的五心 - 5、若M是?ABC的重心, 则下列各向量中与 AB共线


三角形五心的向量表示.pdf

三角形五心的向量表示 - 三角形五心的向量表示 JDZ 小飞 在空间中,如果一个向量所在直线平行于一个平面或在一个平面内,则称这个向量平行 于该平面.我们把平行于...


向量补充:三角形的五心.doc

向量补充:三角形的五心 - 平面向量 三角形的五个“心”; 重心:三角形三条中线


三角形五心的向量表达式.pdf

三角形五心的向量表达式 - 三角形五星的向量表达式 1 若 P 是△ABC 的重


三角形“五心”的充要条件的向量表示.doc

三角形五心”的充要条件的向量表示 - 三角形五心”的充要条件的向量表示 江苏省姜堰中学 张圣官(225500) 让我们先来赏析一道颇有趣的向量题: 命题 1:在...


三角形五心性质概念整理(超全).doc

三角形五心性质概念整理(超全)_学科竞赛_高中教育_教育专区。三角形的五心在...7、设△ABC 重心为 G 点,所在平面有一点 O,则向量 OG=1/3(向量 OA+...


三角形“五心”的优美向量表示_图文.doc

三角形五心”的优美向量表示_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载 | 举报文档 三角形五心”的优美向量表示_数学_自然科学_专业资料。三角形...


向量和三角形地五心.doc

向量三角形五心 - ABC G ABC OG 1 OA OB OC O 3 1 ABC G ABC OG 1 OA OB OC 3 ...... 向量三角形五心_数学_初中教育_教育专区。向量和三...


向量---三角形五心试题_图文.pdf

向量---三角形五心试题 - 向量 三角形的四心: ( 1)重心中线的交点:


向量---三角形五心试题.doc

向量---三角形五心试题 - 5. O 是平面上一定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 向量 三角形的四心: (1)重心中线...


向量三角形五心试题.doc

向量三角形五心试题 - 向量 三角形的四心: (1)重心中线的交点:重心将中


三角形的五心向量结论证明.doc

三角形的五心向量结论证明_高三数学_数学_高中教育_教育专区。三角形的五心向量...向量 补充:三角... 6页 免费 向量三角形的五心 9页 2下载券 三角形...


三角形的五心向量结论汇总.doc

三角形的五心向量结论汇总 - 三角形的五心向量结论汇总 *△ABC 中 AB ?


向量和三角形的五心.doc

向量三角形的五心 - 向量三角形的五心 台北市立成功高中游经祥、刘国莉 壹、

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com