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2016届 创新设计 数学一轮(理科)人教A版配套课件 第三章 导数及其应用 第4讲 定积分与微积分基本定理_图文

2016届 创新设计 数学一轮(理科)人教A版配套课件  第三章 导数及其应用 第4讲 定积分与微积分基本定理_图文

第 4 讲
? 夯基释疑

定积分与微积分基本定理

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三

例1 例2 例3

训练1 训练2 训练3

? 课堂小结

夯基释疑

判断正误(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正, 则?bf(x)dx>0.( )

?a

(2)若 f(x)是偶函数,则?a f(x)dx=2?af(x)dx.( )

?- a ?- a

?0

(3)若 f(x)是奇函数,则?a f(x)dx=0.( ) (4)曲线 y=x2 与 y=x 所围成的面积是?1(x2-x)dx.( )

?0

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考点突破 考点一 定积分的计算
?x2 , x∈[0, 1], 2 【例 1】 (1)设 f(x)=? 则? f(x)dx 等于( ?2- x, x∈( 1, 2], ?0
3 A. 4 4 B. 5 5 C. 6
2

)

D.不存在

(2)定积分?

?0
? ?0

3

9- x dx 的值为 ________. (3)? e dx= ________.

?- 1

1

| x|

解析(1)如图,

? ?0

2f(x)dx=

1x2dx+

(2-x)dx ? ?1
2

1 1 2??2 1 3? ? = x ? +?2x-2x ?? 3 ?0 ?1

1? 5 1 ? = +?4-2-2+2?= . 3 6
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考点突破 考点一 定积分的计算
【例 1】 (2)定积分?3 9-x2dx 的值为________.

?0

(3)?1 e|x|dx=________.

?- 1

(2)由定积分的几何意义知,

? ?0

3

9-x2dx

是由曲线 y= 9-x2,

直线x=0,x=3,y=0围成的封闭图形的面积. 2 π · 3 9π 3 故? 9-x2dx= = . 4 4 ?0 1 (3)?1 e|x|dx=2?1e|x|dx =2?1exdx=2ex? ? =2e-2. ?0 ?0 ?0 ?-1
答案 (1)C 9π (2) 4 (3)2e-2
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考点突破 考点一 定积分的计算

规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分,关键是求出被积函数的原函 数.此外,如果被积函数是绝对值函数或分段函数,那么可以利 用定积分对积分区间的可加性, 将积分区间分解, 代入相应的解 析式,分别求出积分值相加. (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分. (3)若 y=f(x)为奇函数,则?a f(x)dx=0.若 f(x)为偶函数,

?- a

则?a f(x)dx=2?af(x)dx.

?- a

?0

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考点突破 考点一 定积分的计算
【训练 1】(1)定积分?1 (x2+sin x)dx=________.

?- 1

(2)定积分?2|x-1|dx=________.

?0

解析

(1)?1 (x2+sin x)dx =?1 x2dx+?1 sin xdx

3 1 x 2 ? 2 1 =2? x dx=2· ? = . 3 ?0 3 ? 0

?- 1

?- 1

?- 1

(2)法一 ?2|x-1|dx=?1|x-1|dx+?2|x-1|dx ? ? ?
0 0

=?1(1-x)dx+?2(x-1)dx =? x- ?? 2 ?? ? ? ?
0 1

1 x2

1

2 2 x ? -x?? + 0 ? 2 ?? 1

1? ?2 1 ? ? ? ? 1 - - 2 -1 =1. =? 2?+? 2 - ? ?2 ?
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2

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考点突破 考点一 定积分的计算
【训练 1】(1)定积分?1 (x2+sin x)dx=________.

?- 1

(2)定积分?2|x-1|dx=________.

?0

法二

由定积分的几何意义知所求定积分是

图中阴影部分的面积,
1 1 易知面积 S= + =1. 2 2

2 答案 (1) (2)1 3

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考点突破 考点二 利用定积分求平面图形面积
【例 2】如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积.

解 由题意,知抛物线y=-x2+4x-3 在点A处的切线斜率是k1=y′|x=0=4, 在点B处的切线斜率是k2=y′|x=3=-2. 因此,抛物线过点A的切线方程为y=4x-3, 过点B的切线方程为y=-2x+6. ? ?y=4x-3, 设两切线相交于点 M,由? 消去 y, ? ?y=-2x+6 3 3 得 x= ,即点 M 的横坐标为 . 2 2 3? ? 在区间?0,2?上,直线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方; 3 ? ? 在区间?2,3?上,直线 y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方.
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考点突破 考点二 利用定积分求平面图形面积
【例 2】如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成图形的面积.

因此,所求的图形的面积是
3 ? S= 2 [(4x-3)-(-x2+4x-3)]dx ?0

+?

3

?3
2
3

[(-2x+6)-(-x2+4x-3)]dx
3

=? 2 x2dx+?

?0

?3
2

(x2-6x+9)dx

9 9 9 = + = . 8 8 4

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考点突破 考点二 利用定积分求平面图形面积
规律方法 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤: (1)画出图形;

(2)确定被积函数;
(3)确定积分的上、下限,并求出交点坐标; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.

求解时,注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形
的面积区别开:定积分是一个数值(极限值),可为正,可为 负,也可为零,而平面图形的面积在一般意义上总为正.

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考点突破 考点二 利用定积分求平面图形面积
【训练 2】(1) 如图所示,曲线 y=x2 和直线 1 x=0,x=1 及 y= 所 4 2 1 1 1 )A. B. C. D. 3 3 2 4

围成的图形(阴影部分)的面积为(

1 1 解析 (1)由 x= 或 x=- (舍), 4 2 2 1? 1 ?1 1 ? 2 ? 2 ? 则阴影部分的面积为 S= 2 ?4-x ?dx+? ?x -4?dx ?1 ?
0

1 2 x = ,得

2

1 1 3?? ?1 3 1 ?? ? =?4x-3x ?? +?3x -4x??1 ?0 ?2
1 = . 4

1 2

1

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考点突破 考点二 利用定积分求平面图形面积
【训练 2】(2)曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面 4 积为 ,则 k=________. 3
2 ? ? ?y=x , ?x=0, ? ?x=k, 得? 或? (2)由? ? ? ? ?y=0 ?y=k2, ?y=kx,

则曲线 y=x2 与直线 y=kx(k>0) 所围成的曲边梯形的面积为
k 3 k 1 3 4 k 1 ? k ? ? 2 3 2 x - x = - k= , (kx-x )dx =?2 ? ? 3 ? 2 3 3 ? ?0

0

即k3=8, 解得k=2. 答案 (1)D (2)2
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考点突破 考点三 定积分在物理中的应用
【例 3】一物体作变速直线运动,其 v-t 曲线如图所示,则该物 1 体在 s~6 s 间的运动路程为________. 2 2t (0≤t≤1),
解析

? ?2 (1≤t≤3), 由图可知,v(t)=? 1 ? ?3t+1 (3≤t≤6).
2

由变速直线运动的路程公式,可得 6 1 3 6?1 t+1?dt S=? v(t)dt=? 2tdt+? 2 dt + ? ?1 ?3?3 ? ?1 ?1

? ?3 ?1 2 ??6 49 =t ?1+2t? + ?6t +t?? = (m). 4 3 ?2 ?1
2

2
1

1 49 所以物体在 s~6 s 间的运动路程是 m. 2 4
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49 答案 m 4
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考点突破 考点三 定积分在物理中的应用

规律方法 定积分在物理中的两个应用:(1)求物体做变速直线运动的位移, 如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=?bv(t)dt.(2)变力做功,一物体在变力 F(x)的作用

?a

下,沿着与 F(x)相同方向从 x=a 移动到 x=b 时,力 F(x)所做的 功是 W=?bF(x)dx.

?a

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考点突破 考点三 定积分在物理中的应用
【训练3】设变力F(x)作用在质点M上,使M沿x轴正向从x=1运 动到x=10,已知F(x)=x2+1的方向和x轴正向相同,则变力F(x) 对质点M所做的功为________J(x的单位:m,力的单位:N). 解析
10

由题意知变力F(x)对质点M所做的功为

10 1 2 ? x3+x?? ( x + 1) dx =342(J). ? = ? ?1 ?3 ?? 1

答案

342

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课堂小结 思想方法
1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下: ①求被积函数f(x)的一个原函数F(x); ②计算F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分. 2.求曲边多边形面积的步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、 下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.
第16页

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课堂小结 易错防范

1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积 分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被 积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积 非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的 求解变得简捷.

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