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二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)

二次函数定义域与值域习题(强烈推荐)


高中数学专题训练
(

二次函数与幂函数

一、选择题 1.“a=1”是“函数 f(x)=x2 -2ax+3 在区间[1,+∞)上为增函数”的 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.一次函数 y=ax+b 与二次函数 y=ax2+bx+c 在同一坐标系中的图象大 致是( )

3.函数 y=xα(x≥1)的图象如图所示,α 满足条件(

)

A.α<-1

B.-1<α<0

C.0<α<1 )

D.α>1

4.若函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(4)=f(1),那么( A.f(2)>f(3) B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与 f(2)的大小关系不确定

5.已知函数 y=x2-2x+3 在闭区间[0,m]上有最大值 3,最小值 2,则 m 的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[0,2] C.[1,2] D.(-∞,2] 6.(2010· 安徽卷)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

7.已知 f(x)=ax2+2ax+4(0<a<3),若 x1<x2,x1+x2=1-a,则( A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定

)

二、填空题 8.已知 y=(cosx-a)2-1,当 cosx=-1 时 y 取最大值,当 cos x=a 时,y 取最小值,则 a 的范围是________. 9.抛物线 y=8x2-(m-1)x+m-7 的顶点在 x 轴上,则 m=________. 1 10.设函数 f1(x)=x2,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则 f1(f2(f3(2010)))=________. 11.在函数 f(x)=ax2+bx+c 中,若 a,b,c 成等比数列且 f(0)=-4,则 f(x) 有最________值(填“大”或“小”),且该值为________. 1-α 12.已知幂函数 f(x)=x 3 在(-∞,0)上是增函数,在(0,+∞)上是减函 数,那么最小的正整数 a=________. 13.方程 x2-mx+1=0 的两根为 α,β,且 α>0,1<β<2,则实数 m 的取值范 围是________.

三、解答题 2 7 14.已知函数 f(x)= x-xm,且 f(4)=-2. (1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.

15.已知对于任意实数 x,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的值都是 非负的,求函数 g(a)=(a+1)(|a-1|+2)的值域.

练习: 1 1.若函数 f(x)=log2(x2-6x+5)在(a,+∞)上是减函数,则 a 的取值范围 是( ) A.(-∞,1] B.(3,+∞) C.(-∞,3) D.[5,+∞) 2.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列图象之一,则 a 的 值为( )

A.1 -1- 5 C. 2 3.

B.-1 -1+ 5 D. 2

如图所示,是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象,则|OA|· |OB|等于( ) c c A.a B.-a c C.± D.无法确定 a 4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b=( ) A.3 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2 5. 函数 y=-x2-2ax(0≤x≤1)的最大值是 a2, 则实数 a 的取值范围是( A.0≤a≤1 B.0≤a≤2 C.-2≤a≤0 D.-1≤a≤0

)

B组 1.若二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=1,则 f(x)=________. 2.若函数 f(x)=(a-1)x2+(a2-1)x+1 是偶函数,则在区间[0,+∞)上 f(x) 是( ) A.减函数 B.增函数 C.常函数 D.可能是减函数,也可能是常函数

3. 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b), 并且 α、 是方程 f(x)=0 的两个根(α<β), β 则实数 a、b、α、β 的大小关系可能是( ) A.α<a<b<β B.a<α<β<b C.a<α<b<β D.α<a<β<b 4.设 f(x)=x2+bx+c,且 f(-1)=f(3),则( ) A.f(1)>c>f(-1) B.f(1)<c<f(-1) C.f(1)>f(-1)>c D.f(1)<f(-1)<c 5.对一切实数 x,若不等式 x4+(a-1)x2+1≥0 恒成立,则 a 的取值范围是 ( ) A.a≥-1 B.a≥0 C.a≤3 D.a≤1 6.若二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(x1)=f(x2),则 f(x1+x2)等于________.

答案:一、1.A
8.解析 ∴0≤a≤1 9. 12. 9 或 25 3

2C

3C

4C

5C

6D

7B

?-a≤0 由题意知? ?-1≤a≤1 10. 13. (2)递减 1 2010 5 2<m<2 11. 大 -3

三、解答题 14 (1)m=1

练习;1.

D

2.

B

3.

B

4C

5D

B 组 1.

x2-x+1

2 D 3A 详析

4B

5A

1. A 解析 本题为二次函数的单调性问题,取决于对称轴的位置,若函数 f(x)= 2 x -2ax+3 在区间[1, +∞)上为增函数, 则有对称轴 x=a≤1, 故“a=1”是“函 2 数 f(x)=x -2ax+3 在区间[1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件. 2. C 解析 若 a>0,A 不符合条件,若 a<0,D 不符合条件,若 b>0,对 B,∴ b 对称轴-a<0,不符合,∴选 C. 3. C

解析

1 类比函数 y=x2即可.

4. C 解析 ∵f(4)=f(1) 5 ∴对称轴为2,∴f(2)=f(3). 5. C 解析 由函数的单调性和对称轴知,1≤m≤2,选 C.

6. 解析

D

b 若 a>0,b<0,c<0,则对称轴 x=-2a>0,函数 f(x)的图象与 y 轴的交点(c,0)在 x 轴下方.故选 D. 7. B x1+x2 1-a 1 解析 解法 1:设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),∵ 2 = 2 ∈(-1,2),又 对称轴 x=-1,∴AB 中点在对称轴右侧.∴f(x1)<f(x2),故选 B.(本方法充分运 用了二次函数的对称性及问题的特殊性:对称轴已知). 解法 2:作差 f(x1)-f(x2)=(ax2+2ax1+4)-(ax2+2ax2+4)=a(x1-x2)(x1+x2 1 2 +2)=a(x1-x2)(3-a) 又 0<a<3,∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),故选 B.

二、填空题 8.解析 ?-a≤0 由题意知? ?-1≤a≤1

∴0≤a≤1 9. 9 或 25 ? m-1?2 ?m-1?2 ? +m-7-8· ? ? 解析 y=8?x- 16 ? ? ? 16 ? ?m-1?2 ? ? =0,∴m=9 或 25. ∵顶点在 x 轴∴m-7-8· ? 16 ? 1 10. 2010 解析 f3(2010)=20102 f2(20102)=(20102)-1=2010-2 1 1 f1(2010-2)=(2010-2)2=2010-1=2010. 11. 大 -3 解析 ∵f(0)=c=-4,a,b,c 成等比,∴b2=a· c,∴a<0 b2 ∴f(x)有最大值,最大值为 c-4a=-3.

12. 13. 解析

3 5 2<m<2

令 f(x)=x2-mx+1 ?f?1?<0 5 由题意知? ?2<m<2. ?f?2?>0

三、解答题 14 (1)m=1

(2)递减 7 解析 (1)∵f(4)=-2, 2 7 ∴4-4m=-2.∴m=1. 2 (2)f(x)= x -x 在(0,+∞)上单调递减,证明如下: 任取 0<x1<x2,则 2 2 f(x1)-f(x2)=(x -x1)-(x -x2) 1 2 2 =(x2-x1)(x x +1). 1 2 2 ∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x x +1>0. 1 2 ∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), 2 即 f(x)= x-x 在(0,+∞)上单调递减. 9 15. [-4,9] 解 由条件知 Δ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0, 3 ∴-2≤a≤2. 3 ①当-2≤a<1 时, g(a)=(a+1)(-a+3)=-a2+2a+3=-(a-1)2+4, ∴由二次函数图象可知, 9 -4≤g(a)<4. ②当 1≤a≤2 时,g(a)=(a+1)2, ∴当 a=1 时,g(a)min=4; 当 a=2 时,g(a)max=9; ∴4≤g(a)≤9. 9 综上所述,g(a)的值域为[-4,9]. 练习;1. D 解析 f(x)的减区间为(5,+∞),若 f(x)在(a,+∞)上是减函数,则 a≥5,

故选 D. 2. B 解析 ∵b>0,∴不是前两个图形, b 从后两个图形看-2a>0,∴a<0. 故应是第 3 个图形. ∵过原点,∴a2-1=0.结合 a<0.∴a=-1. 3. B c c 解析 ∵|OA|· |OB|=|OA· OB|=|x1x2|=|a|=-a(∵a<0,c>0). 4. C 解析 函数在[1,+∞)上单增 ∴b=b2-2b+2 解之得:b=2 或 1(舍). 5. D 解析 f(x)=-x2-2ax=-(x+a)2+a2 若 f(x) 在[0,1]上最大值是 a2, 则 0≤-a≤1,即-1≤a≤0,故选 D.

B 组 1. x2-x+1
解析 =2x ∴a=1,b=-1. ∴f(x)=x2-x+1. 2. D 解析 函数 f(x)是偶函数,∴a2-1=0 当 a=1 时,f(x)为常函数 当 a=-1 时,f(x)=-x2+1 在[0,+∞)为减函数,选 D. 3. A 解析 设 g(x)=(x-a)(x-b), f(x)=g(x)-2, 则 分别作出这两个函数的图象, 如图所示,可得 α<a<b<β,故选 A. 设 f(x)=ax2+bx+c,∵f(0)=1,∴c=1,f(x+1)-f(x)=2ax+a+b

4. 解析

B

b -1+3 由 f(-1)=f(3)得-2= 2 =1, 所以 b=-2, f(x)=x2+bx+c 在区间(-1,1)上单调递减, 则 所以 f(-1)>f(0) >f(1),而 f(0)=c,所以 f(1)<c<f(-1).

5. A 解析 令 t=x2≥0, 则原不等式转化为 t2+(a-1)t+1≥0, t≥0 时恒成立. 当 2 令 f(t)=t +(a-1)t+1 则 f(0)=1>0 a-1 (1)当- 2 ≤0 即 a≥1 时恒成立 a-1 (2)当- 2 >0 即 a<1 时. 由 Δ=(a-1)2-4≤0 得-1≤a≤3 ∴-1≤a<1 综上:a≥-1. 6. c b b 解析 ∵f(x2)=f(x1),∴x2+x1=-a,∴f(x1+x2)=f(-a)=c.


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