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高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积课件苏教版选修21_图文

高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积课件苏教版选修21_图文

第3章 3.1 空间向量及其运算

3.1.5 空间向量的数量积

学习 目标

1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法,掌握两个向量的数量积

的概念、性质和计算方法及运算规律.
2.掌握两个向量的数量积的主要用途,会用它解决立体几何中一 些简单的问题.

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知识梳理

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知识点一 定义 记法 范围

空间向量的夹角

→ → 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作 OA=a, =b, OB

则∠AOB叫做向量a,b的夹角
〈a,b〉 _________ 〈a,b〉∈ [0,π] .当〈a,b〉=时,a ⊥ b

答案

知识点二 (1)定义

空间向量的数量积

则|a||b|cos〈a,b〉叫做a,b的数量积,记作a· 已知两个非零向量a,b,________________ ___ b. (2)数量积的运算律 数乘向量与向量数量积的结合律 交换律 分配律 (λa)· b=λ(a· b) a· b=b· a a· (b+c)=a· b+a· c

答案

(3)数量积的性质 ①若a,b是非零向量,则a⊥b?a· b=0 两个 ②若a与b同向,则a· b=|a|· |b|; 向量 若反向,则a· b=-|a|· |b|. 数量 特别地,a· a=|a|2或|a|= a· a 积的

a· b 性质 ③若θ为a,b的夹角,则cos θ=|a||b|
④|a· b|≤|a|· |b|
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题型探究

重点突破

题型一

空间向量的数量积运算

例1 如图所示,已知空间四边形ABCD的
每条边和对角线长都等于1,点E,F分别是

AB,AD的中点,计算: → → (1)EF· BA; → → 1→ → 解 EF· BA=2BD· BA → → 1→ → =2|BD|· |BA|· cos〈BD,BA〉 → → 1 1 1 =2×1×1×cos 60° =4, 所以EF· BA=4.
解析答案

→ → (2)EF· BD;
→ → 1→ → → → 解 EF· BD=2|BD|· |BD|· cos〈BD,BD〉 1 1 =2×1×1×cos 0° =2, → → 1 所以EF· BD=2. → → (3)EF· DC; → → 1→ → 1 → → → → 解 EF· DC=2BD· DC=2|BD|· |DC|· cos〈BD,DC〉 1 1 =2×1×1×cos 120° =-4, → → 1 所以EF· DC=-4.
解析答案

→ → (4)BF· CE.



→ → 1 → → 1 → → BF· CE=2(BD+BA)· ( CB + CA ) 2

→ → → → → → → 1 → =4[BD· (-BC)+BA· (-BC)+BD· CA+BA· CA] → → → → → → → → → 1 =4[-BD· BC-BA· BC+(CD-CB)· CA+AB· AC]
1 1 1 1 1 1 1 =4(-2-2+2-2+2)=-8.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1

已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|

-13 =4,则a· b+b· c+c· a的值为________.

解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,
∴a2+b2+c2+2(a· b +b · c+c· a)=0,
32+12+42 ∴a· b+b· c+c· a=- =-13. 2

解析答案

题型二 例2

利用数量积求夹角

如图,在空间四边形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,

∠OAC=45°,∠OAB=60°,

求OA与BC所成角的余弦值.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2

如图所示,正四面体ABCD

的每条棱长都等于a,点M,N分别是 AB,CD的中点, 求证:MN⊥AB,MN⊥CD.
→ → → → → → → → 1→ → 证明 MN· AB=(MB+BC+CN)· AB=(MB+BC+2CD)· AB → → 1→ 1→ → =(MB+BC+2AD-2AC)· AB 1 2 1 2 1 2 2 =2a +a cos 120° +2a cos 60° -2a cos 60° =0, → → 所以MN⊥AB,即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD.
解析答案

题型三 例3

利用数量积求距离

正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为2,E、F分别是AB、A1C1的中

点,求EF的长.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 3 求CD的长.

如图,已知一个 60°的二面角的棱上有两点 A , B , AC ,

BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB=4,AC=6,BD=8,

解析答案

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当堂检测

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充分不必要 条件. 1.若a,b均为非零向量,则a· b=|a||b|是a与b共线的____________

解析

a· b=|a||b|cos〈a,b〉=|a||b|?cos〈a,b〉=1?〈a,b〉=0,

当a与b反向时,不能成立.

解析答案

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7 2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a-3b|=________.

解析 ∵|a-3b|2=(a-3b)2=a2-6a· b+9b2
=1-6×cos 60° +9=7.∴|a-3b|= 7.

解析答案

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② 3.对于向量a、b、c和实数λ,下列命题中的真命题是________.( 填序号) ①若a· b=0,则a=0或b=0; ②若λa=0,则λ=0或a=0; ③若a2=b2,则a=b或a=-b; ④若a· b=a· c,则b=c. 解析 对于①,可举反例:当a⊥b时,a· b=0;

对于③,a2=b2,只能推得|a|=|b|,而不能推出a=±b;
对于④,a· b=a· c可以移项整理得a· (b-c)=0.

解析答案

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1 4.设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=________. 解析 |a+b|2=(a+b)2=a2+2a· b+b2=10,

|a-b|2=(a-b)2=a2-2a· b+b2=6, 将上面两式左、右两边分别相减,得4a· b=4, ∴a · b=1.

解析答案

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2 5.若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=________.
解析
? a=0, ??a+b?· 由题意知? ? b=0, ??2a+b?·

2 ? a a=0, ? +b· 即? 2 ? 2 a · b + b =0, ?

① ②

将①×2-②得,2a2-b2=0,
∴b2=|b|2=2a2=2|a|2=2,
故|b|= 2.
解析答案

课堂小结 求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角;利用数量积求两异面 直线所成的角,关键在于在异面直线上构造向量,找出两向量的关系; 证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零,求线段长度转化 为求向量的模.

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本课结束


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