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【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第三章 三角函数与解三角形 第6讲 简单的三角恒等变换课件 理_图文

【南方新课堂】2016年高考数学总复习 第三章 三角函数与解三角形 第6讲 简单的三角恒等变换课件 理_图文

第6讲

简单的三角恒等变换

1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正
切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内

在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和
差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).

1.转化思想 转化思想是三角变换的基本思想,包括角的变换、函数名 的变换、和积变换、次数变换等. 三角函数公式中次数和角的关系:次降角升;次升角降. 常用的升次公式有:1+sin2α=(sinα+cosα)2;1-sin2α= (sinα-cosα)2;1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α.

2.三角函数公式的三大作用 (1)三角函数式的化简. (2)三角函数式的求值. (3)三角函数式的证明. 3.求三角函数最值的常用方法 (1)配方法.(2)化为一个角的三角函数.(3)数形结合法.

(4)换元法.(5)基本不等式法.

1.已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则tan2β=( C ) 1 A. 6 1 C.7 1 sin 35° - 2 2. sin20° =( B )
2

1 B.- 6 1 D.-7

1 A. 2

1 B.- 2

C.-1

D.1

1 - 2 3.sin17°cos47°-sin73°cos43°=________.

4.(2013 年上海)函数 y=4sinx+3cosx 的最大值是____ 5 .
解析:y=4sinx+3cosx= 3 其中tanφ=4,则最大值是5. 42+32 sin(x+φ)=5sin(x+φ),

考点1

三角变换与图象

π π α 例 1: 已知 0<α<4, 0<β<4, 且 3sinβ=sin(2α+β), 4tan2 =1-tan 2,求 α+β 的值.


α 思维点拨:由—的关系可求出α的正切值.再依据已知角β 2 和2α+β构造α+β,从而可求出α+β的一个三角函数值, 再据α+β的范围,从而确定α+β的值.

1 α 2α 解:由 4tan2=1-tan 2,得 tanα= =2. α 1-tan22
由3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],得
3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα =sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα, ∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα. ∴tan(α+β)=2tanα.∴tan(α+β)=1.

α 2tan2

π π π π 又∵0<α<4,0<β<4,∴0<α+β<2.∴α+β=4.

【规律方法】三角函数式的化简与求值的主要过程是
三角变换,要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系,

找到解题的突破口与方向.

【互动探究】
1+sin2x-cos2x 1.化简: . 1+sin2x+cos2x
1+2sinxcosx-cos2x+sin2x 解:原式= 1+2sinxcosx+cos2x-sin2x 2sin2x+2sinxcosx = 2cos2x+2sinxcosx 2sinx??sinx+cosx?? = ? ? 2cosx??sinx+cosx?? =tanx.
? ?

1 2.已知 sinx-cosx=2,求 sin3x-cos3x 的值.
1 1 2 解:由 sinx-cosx=2,得(sinx-cosx) =4, 1 3 即 1-2sinxcosx=4,∴sinxcosx=8. ∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x) 1 ? 3? 11 =2×?1+8?=16. ? ?

考点2

三角恒等式的证明

sin?a+β?sin?α-β? tan2β 例 2:求证: =1-tan2α. sin2αcos2β

思维点拨:证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的 原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角变换中经 常使用的方法.

?sinαcosβ+cosαsinβ??sinαcosβ-cosαsinβ? 证法一:左边= sin2αcos2β sin2αcos2β-cos2αsin2β cos2αsin2β tan2β = =1-sin2αcos2β=1-tan2α. sin2αcos2β =右边.∴原式成立.
2 2 2 2 sin αcos β - cos α sin β cos αsin β 证法二:右边=1-sin2αcos2β= sin2αcos2β 2 2

?sinαcosβ+cosαsinβ??sinαcosβ-cosαsinβ? = sin2αcos2β sin?α+β?sin?α-β? = =左边.∴原式成立. sin2αcos2β

【互动探究】 sinβ sin?2α+β? = 3.求证: sinα sinα

-2cos(α+β).

sin[?α+β?+α]-2cos?α+β?sinα 证法一:右边= sinα sin?α+β?cosα-cos?α+β?sinα = sinα sin[?α+β?-α] sinβ = =sinα=左边. sinα

sin?2α+β? sinβ sin?2α+β?-sinβ 证法二: sinα -sinα= sinα 2cos?α+β?sinα = =2cos(α+β), sinα sin?2α+β? sinβ 所以 sinα -2cos(α+β)=sinα.

易错、易混、易漏 ⊙利用三角函数的有界性求解
例题:函数 f(x)=sin2x+2
?π ? 2cos?4+x?+3 ? ?

的值域为

____________.
解析: 原函数可化为 f(x)=sin2x+2(cosx-sinx)+3, 设 cosx -sinx=t,t∈[- 2, 2],则 sin2x=1-t2,f(x)=-t2+2t+4 =-(t-1)2+5.∴当 t=1 时, f(x)max=5.当 t=- 2时, f(x)min=2 -2 2.

答案:[2-2

2,5]

【失误与防范】解决这类题往往用换元法,但容易忽略换 元后新元 t 的取值范围,从而导致错解.


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