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不等关系与不等式-柳州第三中学

不等关系与不等式-柳州第三中学


【本章内容】
3.1 不等关系与不等式 3.2 一元二次不等式及其解法
3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.4 基本不等式: ab ? a ? b 2 第三章 小结

(第一课时)
第一课时 第二课时

1. 生活中有哪些不等关系?

2. 怎样用不等式表示生活中的不等关系?

1. 不等关系的实例 问题1. 在日常生活中, 经常会遇到这样的问题: (1) 买这样东西甲商场比乙商场便宜; (2) 你比我还矮, 我都比他矮, 你还会有他高吗? (3) 这汤太淡了, 再 加点盐. 这些关系是表示相等还是不等? 用数学关系 怎样表述? 你能用符号关系式表示它们吗? 这些都是一些不等关系. (1) 这件商品甲商场的价格小于乙商场的价格. 设甲商场的单价为 a, 乙商场的单价为 b, 则 a <b .

1. 不等关系的实例 问题1. 在日常生活中, 经常会遇到这样的问题: (1) 买这样东西甲商场比乙商场便宜; (2) 你比我还矮, 我都比他矮, 你还会有他高吗? (3) 这汤太淡了, 再 加点盐. 这些关系是表示相等还是不等? 用数学关系 怎样表述? 你能用符号关系式表示它们吗? 这些都是一些不等关系. (2) 你的身高小于我的身高, 我的身高小于他的 身高, 你的身高也就小于他的身高. 设你的身高为 a, 我的身高为 b, 他的身高为 c,

由 a<b, b<c 得 a<c.

1. 不等关系的实例 问题1. 在日常生活中, 经常会遇到这样的问题: (1) 买这样东西甲商场比乙商场便宜; (2) 你比我还矮, 我都比他矮, 你还会有他高吗? (3) 这汤太淡了, 再 加点盐. 这些关系是表示相等还是不等? 用数学关系 怎样表述? 你能用符号关系式表示它们吗? 这些都是一些不等关系. (3) 这汤的盐味浓度小了, 加点盐使盐味浓度变大. 设汤中盐与汤的比是 a , 加入 c 量的盐后, b a?c ? a. b? c b

1. 不等关系的实例 又如: (1) 因为三角形的两边之和大于第三边, 所以在 △ABC中, 有 a?b>c, b?c>a, c?a>b. (2) 公路旁的限速路标为 “40”, 表示车辆在前方 路段行驶时, 速度 v 不得超过 40 km/h, 即 v≤40. (3) 某种品牌酸奶的质量规定为, 脂肪含量 f 不低 于2.5%, 蛋白质含量 p 不低于2.3%, 写成不等式为
? f ? 2.5%, ? p ? 2.3%. ?

例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (1) 设点 A 与平面 a 的距离为 d, B 为平面 a 上 任意一点, 写出 |AB| 与 d 的大小关系. (2) 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售 出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元, 销售 量就可能相应减少 2000本. 若把提价后杂志的定价设 为 x 元, 写出销售的总收入不低于20万元的不等式. (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍. 写出满足 上述所有不等关系的不等式.

例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (1) 设点 A 与平面 a 的距离为 d, B 为平面 a 上 任意一点, 写出 |AB| 与 d 的大小关系.

解: 因为平面外一点与平面上任一点的连线段中,
垂线段最短, A d

所以 d≤|AB|.

a

B

例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (2) 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售, 可以售 出 8 万本. 据市场调查, 若单价每提高 0.1 元, 销售 量就可能相应减少 2000本. 若把提价后杂志的定价设 为 x 元, 写出销售的总收入不低于20万元的不等式. 解: 销售总收入 = 销售价 ? 销售量 销售价 = x 元, 销售量 = 80000 - x - 2.5 ? 2000, 0.1 则不等式为 (80000- x - 2.5 ? 2000) x ? 200000. 0.1

例(补充). 用不等式表示下面的不等关系: (3) 某钢铁厂要把长度为 4000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm 两种. 按照生产的要求, 600 mm 钢管的数量 x 不能超过 500 mm 钢管数 y 的 3 倍. 写 出满足上述所有不等关系的不等式. 解: ① 600 mm 钢管数 x 不能超过 500 mm 钢管 数 y 的 3 倍: x≤3y, ② 总长度不能大于 4000 mm: 600x?500y≤4000 ? x ? 3 y, ③ 钢管数不能为负: ?600x ? 500 y ? 4000, x≥0, y≥0, ? x ? 0, 由①②③得: ? ? y ? 0.

练习: (课本74页)

第 1、 2 题 .

练习: (课本74页) 1. 用不等式表示下面的不等关系: (1) a 与 b 的和是非负数; (2) 某公路立交桥对通过车辆的高度 h “限高 4 m”; (3) 如图, 在一个面积为350 m2 5m 的矩形地基上建造一个仓库, 四周 5m 5 m 仓 库 是绿地. 仓库的长 L 大于宽 W 的 4 绿地 5 m 倍. 解: (1) a?b≥0. (2) h≤4. (3) (L?10)(W?10)=350, L>4W, W>0.

2. 有一个两位数大于50而小于60, 其个位数字 比十位数字大 2. 试用不等式表示上述关系, 并求出 这个两位数 (用 a 和 b 分别表示这个两位数的十位数 字和个位数字). 解: 10a?b>50, ① 10a?b<60, ② ③ b=a?2. 48 ; a ? ③代入①得 ④ 11 58 ③代入②得 a ? . ⑤ 11 由④⑤得 a = 5, 则 b = 7. ∴这个两位数是 57.

【课时小结】
1. 生活中的不等关系 生活中存在大量的不等关系:
大小, 多少, 长短, 远近, 高低, 深浅, 迟早, 快慢, … 2. 用不等式表示不等关系 将实际中具有不等关系的量用数或式表示, 再用不等号将这些数或式连接起来.

习题 3.1 A组 第 1、 4、 5 题 . B组 第 3 题.

习题 3.1 A组 1. 举出几个现实生活中与不等式有关的例子. (略 )

4. 某夏令营有48人, 出发前要从 A、B 两种型号 的帐篷中选择一种. A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶, 若只选 A 型号的, 每顶帐篷住 4 人, 则帐篷不够; 每 顶帐篷住 5 人, 则有一顶帐篷没有住满. 若只选 B 型 号的, 每顶帐篷住 3 人, 则帐篷不够; 每顶帐篷住 4 人, 则有帐篷多余. 设 A 型号的帐篷有 x 顶, 用不等 x>0, 式将题目中的不等关系表示出来.

解: A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶: B=x?5, A 型每顶帐篷住 4 人, 则帐篷不够: 48÷4>x, 每顶帐篷住 5 人, 则有一顶帐篷没有住满: 48÷5>x-1, 48÷5<x, B 型每顶帐篷住 3 人, 则帐篷不够: 48÷3>x?5, 每顶帐篷住 4人, 则有帐篷多余: 48÷4<x?5.

4. 某夏令营有48人, 出发前要从 A、B 两种型号 的帐篷中选择一种. A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶, 若只选 A 型号的, 每顶帐篷住 4 人, 则帐篷不够; 每 顶帐篷住 5 人, 则有一顶帐篷没有住满. 若只选 B 型 号的, 每顶帐篷住 3 人, 则帐篷不够; 每顶帐篷住 4 人, 则有帐篷多余. 设 A 型号的帐篷有 x 顶, 用不等 x>0, 式将题目中的不等关系表示出来.

解: A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶: B=x?5, ? x ? 12, A 型每顶帐篷住 人, 则帐篷不够: 48÷4>x, ? x - 1 ?4 9.6, ? 每顶帐篷住 5? 人 ?x 9.,6,则有一顶帐篷没有住满: 48÷5>x-1, ? x ? 5 ? 16, 48÷5<x, ? B 型每顶帐篷住 人 12 , , 则帐篷不够: 48÷3>x?5, ? x ? 5 ?3 ? ? 0., 则有帐篷多余: 48÷4<x?5. ? x4 每顶帐篷住 人

5. 某市环保局为增加城市的绿地面积, 提出两个 投资方案: 方案 A 为一次性投资500万元; 方案 B 为 第一年投资5万元, 以后每年都比前一年增加10万元. 列出不等式表示 “经 n 年之后, 方案 B 的投入不少 于方案 A 的投入”. 解: B方案各年投资成等差数列, 设数列为{an}, 则 a1=5, d=10. n 年的总投入为:
n(n - 1) Sn = na1 ? d = 5 n 2. 2 方案 B 不少于方案 A: 5n2≥500,

即 n2≥100.

3. 火车站有某公司待运的甲种货物 1530 t, 乙种货物 1150 t. 现计划用 A、B 两种型号的车厢共 50 节运送这批 货物, 已知 35 t 甲种货物和 15 t 乙种货物可装满一节 A 型 货厢; 25 t 甲种货物和 35 t 乙种货物可装满一节 B 型货厢, 据此安排 A、B 两种货厢的节数, 共有几种方案? 若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元, 每节 B 型货厢的运费是 0.8 万元, 哪种方案的运费最少?

解: 设 A 型货厢 x 节, 则 B 型货厢 50-x 节. 装完甲种货物: 35x?25(50-x)≥1530,
装完乙种货物: 15x?35(50-x)≥1150,

x ? 28, 解不等式组得 ? ?
有三种方案:

? x ? 30.
A型 B型

方案 1 方案 2 方案 3 28 29 30 22 21 20

3. 火车站有某公司待运的甲种货物 1530 t, 乙种货物 1150 t. 现计划用 A、B 两种型号的车厢共 50 节运送这批 货物, 已知 35 t 甲种货物和 15 t 乙种货物可装满一节 A 型 货厢; 25 t 甲种货物和 35 t 乙种货物可装满一节 B 型货厢, 据此安排 A、B 两种货厢的节数, 共有几种方案? 若每节 A 型货厢的运费是 0.5 万元, 每节 B 型货厢的运费是 0.8 万元, 哪种方案的运费最少? 解: 方案 1 运费: 0.5?28?0.8?22 = 31.6(万元); 方案 2 运费: 0.5?29?0.8?21 = 31.3(万元);

方案 3 运费: 0.5?30?0.8?20 = 31(万元);
答: 方案 3 运费最少. A型 B型 方案 1 方案 2 方案 3 28 29 30 22 21 20

(第二课时)
第一课时 第二课时

1. 不等式有哪些基本性质? 2. 怎样用不等式的性质进行不等式的变形? 3. 怎样用不等式的性质判断两个数的大小?

【不等式的基本性质】 问题 1: 在数轴上, 左边的数比右边的数大还是 小, 左边的数减右边的数的差为正还是负? 如果 a-b 是正数, a 与 b 哪个大?

A B a b 小 大 a-b<0. a-b>0 ? a>b; a- b= 0 ? a= b; a-b<0 ? a<b.

【不等式的基本性质】 问题 2: (1) 如果张三的年龄比李四的年龄大, 而 李四的年龄又比王五的年龄大, 张三比王五的年龄大 吗? (2) 如(1)中的题设, 5 年后, 张三的年龄还是比李 四的大吗? (3) 如果甲数大于乙数, 两数都同时乘以一个数 c, 乘积后的甲数还是大于乙数吗? 你能用不等式表示以上问题吗? (1) 是. a>b, b>c, ? a>c. (2) 是. a>b, ? a?5>b?5. (3) 不一定. a>b, c>0, ? ac>bc; a>b, c<0, ? ac<bc.

【不等式的基本性质】

问题3: 下面各不等式的命题是否成立, 为什么? (1) a>b, c>d ?a?c>b?d; (2) a>b>0, c>d>0 ? ac>bd; (3) a>b>0, n?N, n>1 ? an>bn; n a ? n b . (1) a>b ? a?c>b?c, ? a?c>b?d. c>d ? c?b>d?b, (2) a>b, c>0 ? ac>bc, ? ac>bd. c>d, b>0 ? bc>bd, (3) a>b>0 ? aaa…a>bbb…b ? an>bn;
若 0 ? n a ? n b , 则 a ≤b , 与 a>b矛盾.

不等式的基本性质: (1) a>b ? b<a. (2) a>b, b>c ? a>c; a<b, b<c ? a<c. (3) a>b ? a?c>b?c. (4) a>b, c>0 ? ac>bc; a>b, c<0 ? ac<bc. (5) a>b, c>d ? a?c>b?d. (6) a>b>0, c>d>0 ? ac>bd.

(7) a>b>0, n?N, n≥2 ? an>bn. (8) a>b>0, n?N, n≥2 ?
n

a ? n b.

例 1. 已知 a>b>0, c<0, 求证 c ? c. a b 1 证明: a ? b ? 0, ? ? 0. ab a>b, c<0, ?ac<bc.
? ac ? 1 ? bc ? 1 , ab ab ? c? c, b a 即 c ? c. a b

例(补充). 比较下列各组数的大小: (1) (a?3)(a-5)与(a?2)(a-4); (2) 3 ? 7 与 2 5 . 解: (1) ∵(a?3)(a-5)-(a?2)(a-4) = (a2-2a-15)-(a2-2a-8) = -7 < 0, ∴(a?3)(a-5)?(a?2)(a-4).

例(补充). 比较下列各组数的大小: (1) (a?3)(a-5)与(a?2)(a-4); (2) 3 ? 7 与 2 5 . (2) 分析: 如果能比较 ( 3 ? 7 )2 与 (2 5 )2 的大小, 即可比较 3 ? 7 与 2 5 的大小.
?( 3 ? 7 )2 = 10 ? 2 21, (2 5 )2 = 20 = 10 ? 2 25 ? 10 ? 2 21,



(2 5 )2 ? ( 3 ? 7 )2 , 于是可比较 3 ? 7 与 2 5 的大小了.

例(补充). 比较下列各组数的大小: (1) (a?3)(a-5)与(a?2)(a-4); (2) 3 ? 7 与 2 5 . (2) 解: ?( 3 ? 7 )2 - (2 5 )2 = 10 ? 2 21 - 20 = 2 21 - 10 ? 2 25 - 10 =0, ? ( 3 ? 7 )2 ? (2 5 )2 . 而 0 ? ( 3 ? 7 )2 ? (2 5 )2 , 于是得 3 ? 7 ? 2 5 .

练习: (课本74页) 第 3 题.

练习: (课本74页) 3. 用不等号 “>” 或 “<” 填空: (1) a>b, c<d ? a-c > b-d; (2) a>b>0, c<d<0 ? ac bd; 3 (3) a>b>0 ? 3 a b; 1. (4) a>b>0 ? 12 a b2 解: (1) 由 c<d 得 -c > -d, 又 a > b, 同向不等式相加得 a-c > b-d.

练习: (课本74页) 3. 用不等号 “>” 或 “<” 填空: (1) a>b, c<d ? a-c > b-d; (2) a>b>0, c<d<0 ? ac < bd; 3 (3) a>b>0 ? 3 a b; 1. (4) a>b>0 ? 12 a b2 解: (2) 由 c<d<0 得 -c > -d > 0, 又 a > b > 0, 同向正项不等式相乘得 -ca > -bd, 两边同乘以 -1 得 ca < bd.

练习: (课本74页) 3. 用不等号 “>” 或 “<” 填空: (1) a>b, c<d ? a-c > b-d; (2) a>b>0, c<d<0 ? ac < bd; (3) a>b>0 ? 3 a > 3 b; (4) a>b>0 ? 12 < 12 . a b 解: (3) 由 a>b>0 得 3 a ? 3 b . (4) 由 a>b>0 ? 1 ? 0, ab ? a ? 1 ? b? 1 , ab ab 1? 1. 1 1 ? ? ? ? 0, 2 2 b a b a

【课时小结】
1. 数的大小比较 a-b>0 ? a>b; a- b= 0 ? a= b ; a-b<0 ? a<b. 对两个数求差可判断两个数的大小.

【课时小结】
2. 不等式的基本性质 (1) a>b ? b<a. (2) a>b, b>c ? a>c; a<b, b<c ? a<c. (3) a>b ? a?c>b?c. (4) a>b, c>0 ? ac>bc; a>b, c<0 ? ac<bc. (5) a>b, c>d ? a?c>b?d. (6) a>b>0, c>d>0 ? ac>bd.
(7) a>b>0, n?N, n≥2 ? an>bn. (8) a>b>0, n?N, n≥2 ? n a ? n b .

【课时小结】
3. 性质应用中的要点 (1) 两边同加减一个数, 不等号不变. (2) 两边同乘除一个数, 必须分正负. (3) 同向不等式相加成立, 相减不成立. (4) 同向不等式相乘必须是正数不等式; 相除不成立. (5) 两边乘方、开方必须是正数不等式.

习题 3.1 A组 第 2、 3 题 . B组 第 1、2 题.

习题3.1 A组 2. 比较下面两组数的大小: (1) 2 ? 3 7 与 4;
(2) 7 ? 10 与 3 ? 14 . 解: (1) ?(4 - 2)3 - (3 7 )3 = 8 - 7 =1>0,

?(4 - 2)3 ? (3 7 )3 ? 0.
则 4 - 2 ? 3 7, 得 4 ? 2 ? 3 7.

习题3.1 A组 2. 比较下面两组数的大小: (1) 2 ? 3 7 与 4;
(2) 7 ? 10 与 3 ? 14 . 解: (2) ?( 7 ? 10)2 - ( 3 ? 14)2 = 2( 70 - 42 ) >0,

?( 7 ? 10)2 ? ( 3 ? 14)2 ,


7 ? 10 ? 3 ? 14.

3. 已知 x> 0, 求证: 1 ? x ? 1 ? x . 2 证明: ?( 1 ? x )2 - (1 ? x )2 2 2 x = 1? x - 1- x 4 2 = - x <0, 4 ?( 1 ? x )2 ? (1 ? x )2 , 2 且 1 ? x ? 0, 1 ? x ? 0, 2 x ? 1? x ? 1? . 2

B组 1. 比较下列各组中两个代数式的大小: (1) x2?5x?6 与 2x2?5x?9; (2) (x-3)2 与 (x-2)(x-4); (3) 当 x>1 时, x3 与 x2-x?1; (4) x2?y2?1 与 2(x?y-1). 解: (1) ∵(x2?5x?6) - (2x2?5x?9) = -x2-3 < 0,

∴x2?5x?6 ? 2x2?5x?9.
(2) ∵(x-3)2 - (x-2)(x-4) =1 > 0, ∴(x-3)2 ? (x-2)(x-4).

B组 1. 比较下列各组中两个代数式的大小: (1) x2?5x?6 与 2x2?5x?9; (2) (x-3)2 与 (x-2)(x-4); (3) 当 x>1 时, x3 与 x2-x?1; (4) x2?y2?1 与 2(x?y-1).

解: (3) ∵ x3 -( x2-x?1) = x2(x -1) ?(x-1) = (x -1)(x2?1) > 0, ∴ x3 ? x2-x?1.
(4) ∵ x2?y2?1 - 2(x?y-1) = x2?y2 - 2x-2y?3 = ( x-1)2?(y -1)2?1 > 0, ∴ x2?y2?1 ? 2(x?y-1).

2. 已知 a>b>0, c>d>0, 求证
证明: ∵ a>b>0, c>d>0, 得 ac>bd>0, 1 ? 0, cd 则有 ac 1 ? bd 1 ? 0, cd cd a b ? ? 0, 即 d c 于是得
a ? b. d c

a ? b. d c

3.1节完了, OK!




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