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南京师范大学附属中学高三期中考试数学试题 Word版含答案

南京师范大学附属中学高三期中考试数学试题 Word版含答案

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高三年级期中考试 数学试卷

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 请把答案填在答卷纸相应 位置上.

1.已知集合U ? {1, 2,3, 4}, A ? {1,3} , B ? {1,3, 4} ,则 A (CU B) ?



2.若复数 z 满足 zi ? 1? i ,则 z 的共轭复数是



3.已知一组数据 3,5,4,7,6,那么这组数据的方差为



4.袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中有 2 只红球,2 只白球,若从中随机一次摸出 2 只

球,则这 2 只球颜色不同的概率为



5.如下图,矩形 ABCD 由两个正方形拼成,则 ?CAE 的正切值为



6.下图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是



?x ? y ?2 ? 0

7.若实数

x,

y

满足条件

? ?

x

?

y

?

0

,则目标函数 z ? 3x ? 4y 的最大值是



?? y ? 3

8.若双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

?

0) 的一条渐近线经过点 (3, ?4) ,则此双曲线的离心率





9.若 cos(? ?? ) ? 3 ,则 cos(5? ?? ) ? sin2(? ? ? ) ?



6

3

6

6

10.在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB / /DC , AB ? 2 ,BC ? 1,?ABC ? 60 ,点 E 和点 F

分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE ? 2 BC , DF ? 1 DC ,则 AE ? AF 的值为



3

6

11.等比数列 {an } 的首项为

2,公比为

3,前

n

项的和为

Sn

,若

1 log3[ 2

an

(S4m

?1)]

?

9

,则

1 ? 4 的最小值为



nm

12.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(1, 0) , B(4, 0) ,若直线 x ? y ? m ? 0 上存在点 P ,使得

2PA ? PB ,则实数 m 的取值范围是



13.已知函数

f

(x)

?

?ex , ?

x

?1

, g(x) ? kx ?1,若方程 f (x) ? g(x) ? 0 有两个不同的

? f (x ?1), x ? 1

实根,则实数 k 的取值范围是



14.已知不等式 (ax ? 3)(x2 ? b) ? 0 对于任意的 x ?(0, ??) 恒成立,其中 a, b 是整数,则 a ? b

的取值集合为



二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.)

15. (本小题满分 14 分)

在 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 2b ? c ? cos C . a cos A
(1)求角 A 的值;

(2)若 ?ABC 的面积为 3 ,且 a ? 5 ,求 ?ABC 的周长. 2
16. (本小题满分 14 分)

在四棱锥 P ? ABCD 中,?ACD ? 90 ,?BAC ? ?CAD ,PA ?平面 ABCD ,点 E 为 PD
的中点.
(1)求证:平面 PAC ? 平面 PCD ;

(2)求证: CE / / 平面 PAB .

17. (本小题满分 14 分)
如图,在半径为 30 cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料 ABCD(点 A, B 在直径上,点 C, D 在半圆周上),并将其卷成一个以 AD 为母线的圆柱体罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗).
(1)若要求圆柱体罐子的侧面积最大,应如何截取? (2)若要求圆柱体罐子的体积最大,应如何截取?

18. (本小题满分 16 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知

A, B,C

是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 上不同的三点,

A( 10, 10 ) , B(?2, ?2) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. 2
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求点 C 的坐标; (3)设动点 P 在椭圆上(异于点 A, B,C )且直线 PB, PC 分别交直线 OA 于 M , N 两点,证

明: OM ? ON 为定值并求出该定值.

19. (本小题满分 16 分)

已知数列{an}和{bn}满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? ( 2)bn (n? N*) ,若{an}为等比数列,且

a1 ? 2 , b3 ? 6 ? b2 .

(1)求 an 与 bn ;

(2)设 cn

?

1 an

?

1 bn

(n ? N *) ,记数列{cn}的前 n

项和为 Sn



(Ⅰ)求 Sn ;

(Ⅱ)求正整数 k ,使得对任意 n ? N* 均有 Sk ? Sn .
20. (本小题满分 16 分)

已知函数 f (x) ? x2 ? 2a ln x(a ? R) , g(x) ? 2ax .

(1)求函数 f (x) 的极值;

(2)若 a ? 0 时,函数 h(x) ? f (x) ? g(x) 有且仅有一个零点,求实数 a 的值;

(3)若 0 ? a ? 1,对于区间[1, 2] 上的任意两个不相等的实数 x1, x2 都有 | f (x1) ? f (x2 ) |?| g(x1) ? g(x2 ) | 成立,求 a 的取值范围.

试卷答案

一、填空题: 1.{1,2,3}

2.1? i

3.2 4. 2 5. 1 6.5 7. ?1 8. 5

3

3

3

9.? 3 ? 2 10.29 11.5 12.[?2 2,2 2] 13.(e ?1,1) ? (1, e ?1] 14.{?2,8}

33

18

2

2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分 14 分)

解:(1)因为 2b ? c ? cosC a cos A

(2b ? c)cos A ? acosC ,由正弦定理得

(2sin B ? sin C)cos A ? sin AcosC ,

………………2 分

即 2sin Bcos A ? sin AcosC ? sinCcos A =sin(A+C) .

………………4 分

因为 B=π -A-C,所以 sinB=sin(A+C),

所以 2sin Bcos A ? sin B .

因为 B∈(0,π ),所以 sinB≠0,

所以 cos A ? 1 ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? ? .

2

3

………………7 分

(2)△ABC 的面积为 3 ,且 a ? 5 2

周长 a ? b ? c ? 5 ? 11

………………14 分

16.(本小题满分 14 分)

证明: (1)因为 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD, ………………2 分 又∠ACD=90°,则 CD ? AC ,而 PA∩AC=A, 所以 CD⊥平面 PAC,因为 CD?平面 ACD,………………4 分

所以,平面 PAC⊥平面 PCD. ………………7 分

(2)证法一:取 AD 中点 M,连 EM,CM,则 EM∥PA.

因为 EM ? 平面 PAB,PA ? 平面 PAB,

所以 EM∥平面 PAB. ………………9 分

在 Rt△ACD 中,AM=CM,所以∠CAD=∠ACM,又∠BAC=∠CAD,所以∠BAC=∠ACM,

则 MC∥AB.因为 MC ? 平面 PAB,AB ? 平面 PAB,

所以 MC∥平面 PAB. ………………12 分

而 EM∩MC=M,所以平面 EMC∥平面 PAB.

由于 EC ? 平面 EMC,从而 EC∥平面 PAB. ………14 分

证法二:延长 DC,AB 交于点 N,连 PN.因为∠NAC=∠DAC,

AC⊥CD,所以 C 为 ND 的中点.而 E 为 PD 中点,所以

EC∥PN. 因为 EC ? 平面 PAB,PN ? 平面 PAB,

所以 EC∥平面 PAB

………………14 分

17.(本小题满分 14 分) 解:(1)如图,

设圆心为 O,连结 OC ,设 BC ? x , 法一 易得 AB ? 2 900 ? x2 , x ?(0,30) ,

故所求矩形 ABCD 的面积为 S(x) ? 2x 900 ? x2
? ? ? ? ? 2 x2 900 ? x2 ≤x2 ? 900 ? x2 ? 900 ( cm2 )

………3 分

(当且仅当 x2 ? 900 ? x2 , x ? 15 2 ( cm )时等号成立) 此时 BC ? 15 2 cm ; ……6 分

? ? 法二

设 ?COB ?? ,? ?

0 ,? ?



则 BC ? 30sin? , OB ? 30cos? ,

所以矩形 ABCD 的面积为 S(?) ? 2?30sin? ?30cos? ? 900sin 2? ,

………3 分

当 sin 2?

?1 ,即?

?

? ?

时,

S(? )max

?

900

( cm2 )此时

BC

? 15

2

cm ;

………6 分

(2)设圆柱的底面半径为 r ,体积为V ,由 AB ? 2 900 ? x2 ? 2?r 得, r ? 900 ? x2 , ?

? ? 所以V ? ?r2 x ? 1 900x ? x3 ,其中 x ?(0,30) , ?

………9 分

? ? ? ? ? ? 由 V ? ? 1 900 ? 3x2 ? 0 得 x ?10 3 ,此时, V ? 1 900x ? x3 在 0,10 3 上单调递增,在

?

?

? ? 10 3,30 上单调递减, 故当 x ?10 3 cm 时,体积最大为 6000 3 cm3 ,………13 分 ?

答:(1)当截取的矩形铁皮的一边 BC 为15 2 cm 为时,圆柱体罐子的侧面积最大.

(2)当截取的矩形铁皮的一边 BC 为10 3 cm 为时,圆柱体罐子的体积最大.………14 分

18.(本小题满分 16 分)

? 10

?10

解:(1)由已知,得

? ?

a

2

?

4 b2

? 1,

?4 4

? ?

a

2

?

b2

? 1,

解得

?a2

? ?

b2

? 20, ? 5.

所以椭圆的标准方程为 x2 ? y2 ? 1. 20 5

………………4 分

(2)设点 C(m, n) (m ? 0, n ? 0) ,则 BC 中点为 (m ? 2 , n ? 2) . 22

由已知,求得直线 OA 的方程为 x ? 2y ? 0 ,从而 m ? 2n ? 2 .①

又∵点 C 在椭圆上,∴ m2 ? 4n2 ? 20 .② 由①②,解得 n ? 2 (舍), n ? ?1,从而 m ? ?4 . 所以点 C 的坐标为 (?4, ?1) .…8 分

(3)设 P(x0 , y0 ) , M (2y1, y1) , N(2y2 , y2 ) .



P, B, M

三点共线,∴

y1 ? 2 2 y1 ? 2

?

y0 x0

?2 ?2

,整理,得

y1

?

2(x0 ? y0 ) 2 y0 ? 2 ? x0

.………………10





P,C, N

三点共线,∴

y2 ? 1 2 y2 ? 4

?

y0 ? 1 x0 ? 4

,整理,得

y2

?

x0 ? 4 y0 2 y0 ? 2 ? x0

.………………12



∵点 C 在椭圆上,∴ x02 ? 4y02 ? 20 , x02 ? 20 ? 4 y02 .

从而

y1 y2

?

2(x02 ? 4 y02 ? 5x0 y0 ) x02 ? 4 y02 ? 4x0 y0 ? 4

?

2(20 ? 5x0 y0 ) 16 ? 4x0 y0

?

2?

5 4

?

5 2



…………………14 分

所以 OM

? ON

?

5y1 y2

?

25 2

.∴ OM

? ON

为定值,定值为

25 2



………………16 分

19.(本小题满分 16 分)

解:(1)由题意 a1a2a3…an= ( 2)bn ,b3-b2=6,知 a3=( 2)b3-b2=8. 设数列{an}的公比为 q,

又由 a1=2,得 q2 ? a3 ? 4 ,q=2(q=-2 舍去),所以数列{an}的通项为 an=2n(n∈N*).…3 a1

n(n+1)
所以,a1a2a3…an=2 2 =( 2)n(n+1).

故数列{bn}的通项为 bn=n(n+1)(n∈N*).

…………6 分

(2)(i)由(1)知 cn=a1n-b1n=21n-???1n-n+1 1???(n∈N*).所以 Sn=n+1 1-21n(n∈N*). …10 分

(ii)因为 c1=0,c2>0,c3>0,c4>0,当 n≥5 时,cn=n(n1+1)???n(n2+n 1)-1???,

n(n+1) (n+1)(n+2) (n+1)(n-2)

而 2n -

2n+1



2n+1

>0,

n(n+1) 5×(5+1)

得 2n ≤

25

<1,所以,当

n≥5

时,cn<0.

综上,若对任意 n∈N*恒有 Sk≥Sn,则 k=4.

…………16 分

20.(本小题满分 16 分)

(1) f '(x) ? 2x ? 2a ? 2x2 ? 2a

x

x

当 a ? 0 时, f '(x) ? 0 ,f (x)在 (0,??) 上递增,f (x)无极值

…………2



当 a ? 0 时, x ? (0, a ) 时, f '(x) ? 0 ,f (x)递减;

x ? ( a ,??) 时, f '(x) ? 0 ,f (x)递增,所以 f (x)有极小值 f ( a ) ? a ? a ln a

综上,当 a ? 0 时,f (x)无极值;

当 a ? 0 时,f (x)有极小值 f ( a ) ? a ? a ln a ,无极大值

…………4 分

(2) h(x) ? x2 ? 2a ln x ? 2ax ,则 h'(x) ? 2x ? 2a ? 2a ? 2x2 ? 2ax ? 2a

x

x

因为 a ? 0 ,令 h'(x) ? 0 ,得 x0 ? a ?

a2 2

? 4a

,故

h

(x)在 (0, x0 ) 上递减,在 (x0 ,??) 上

递增,所以 h (x)有极小值 h(x0 ) ? 0 x02 ? 2a ln x0 ? 2ax0 ? 0

且 2x02 ? 2ax0 ? 2a ? 0 联立可得 2 ln x0 ? x0 ?1 ? 0 令 m(x) ? 2ln x ? x ?1,得 m'(x) ? 2 ?1 ? 1 ,故 m (x)在 (0,??) 上递增
x

又 m (1) = 0,所以 x0 ? 1,即 a ?

a2 ? 4a ? 1? a ? 1

2

2

…………6 分 …………10 分

(3)不妨令1 ? x1 ? x2 ? 2 ,因为 0 < a < 1,则 g(x1) ? g(x2 )

由(1)可知 f (x1) ? f (x2 ) ,因为 f (x1) ? f (x2) ? g(x1) ? g(x2)

所以 f (x2 ) ? f (x1) ? g(x2 ) ? g(x1) ? f (x2 ) ? g(x2 ) ? f (x1) ? g(x1)

所以 h(x) ? f (x) ? g(x) ? x2 ? 2a ln x ? 2ax 在[1,2]上递增

所以 h'(x) ? 2x ? 2a ? 2a ? 0 在[1,2]上恒成立, x

…………12 分

即 a ? x2 在[1,2]上恒成立 令 t ? x ?1?[2,3] ,则 x2 ? t ? 1 ? 2 ? 1 , ……14 分

x ?1

x ?1 t

2

所以 a ? (0, 1] 2

…………16 分


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