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椭圆综合练习

椭圆综合练习

12——椭圆综合练习
1.如果方程 x 2+ky 2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 A.(0, +∞) B.(0, 2) C.(1, +∞) D.(0, 1) 2 2 2.直线 y = x +1 被椭圆 x +2y =4 所截得的弦的中点坐标是 A.( ( ( ) )

1 2 ,- ) 3 3

B.(-

2 1 , ) 3 3

C.(

1 1 ,- ) 2 3

D.(-

1 1 , ) 3 2

3.平面内有两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆”,那么 ( ) A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件 C.甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件 4.若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于 ( ) A.

1 2

B. 2

C.

2 2

D.2

5.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 P F1 的中点在 y 轴上,那么|P F1|是|PF2| 12 3
D.3 倍 D.4 )

的( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 2 2 6.椭圆 4 x +y =k 两点间最大距离是 8,那么 k=( ) A.32 B.16 C.8 7.直线 y ? kx ? 1 ? 0(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 b 的取值范围是( 5 b
C. [1,5) ? (5,?? ) D. (1,?? )

A.(0,1)

B.(0,5)

8.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的最短 是距离为 3 ,这个椭圆方程为( )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1或 ? ?1 A. 12 9 9 12
C.

x2 y2 ? ?1 B. 9 12
D.以上都不对 )

x2 y2 ? ?1 12 9

9.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为 1,则长轴长的最小值为 ( A.1 B. 2 C.2 D. 2 2

x2 y 2 ? 1(a ? 5) 的两焦点分别是 F1 , F2 ,且∣ F1F2 ∣=8,弦 AB 过 F1 ,则 ?ABF2 的周长 10.已知椭圆 2 ? a 25
是( A.10 ) B.20 C. 2 41 . D. 4 41

11.椭圆 x 2+4y 2=1 的离心率是

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为其上的动点.当∠F1PF2 为钝角时,点 P 的横坐标的取值范 12.椭圆 9 4
围是 13. 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆 .

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,求直线 l 的方程. 36 9

14.已知长轴为 12, 短轴长为 6, 焦点在 x 轴上的椭圆, 过它对的左焦点 F1 作倾斜角为

? 的直线交椭圆于 A , 3

B 两点,求弦 AB 的长.

15.若直线 y=x+t 与椭圆

x2 2 ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 t 变化时,求|AB|的最大值. 4

16.设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,过原点且倾斜角为 ? 4 8

和? ? ? (0 ? ? ?

?
2

) 的两条直线分别交椭圆于 A、C
) 时,求 S 的最大值.

和 B、D 两点.(1)用 ? 表示四边形 ABCD 的面积 S;(2)当 ? ? (0,

?
2

17*.已知椭圆的中心在原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y = x +1 与该椭圆相交于 P 和 Q,且 OP⊥ OQ, |PQ|=

10 ,求椭圆的方程. 2

参考答案
题号 答案 1 D 2 B 3 B 4 C 5 A 6 B 7 C 8 A 9 D 10 D

11.e=

3 2

12.-

3 5

<x<

3 5

13.分析:本题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去 y (或 x ),得到关于

x (或 y )的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出 x1 ? x2 , x1 x2 (或 y1 ? y2 , y1 y2 )的值代入计算
即得. 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标,这种“设而不求”的方法,在解析几何中是经常采用的. 解:方法一:设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) .代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ?1) x2 ? 8k (4k ? 2) x ? 4(4k ? 2)2 ? 36 ? 0 ①
设直线与椭圆的交点为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 、 x2 是① 的两根,∴x1 ? x2 ? ∵P(4 , 2) 为 AB 中点,∴4 ?

x1 ? x2 4k (4k ? 2) 1 , k ? ? .∴ 所求直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . ? 2 2 4k ? 1 2

8k (4k ? 2) 4k 2 ? 1

方法二:设直线与椭圆交点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .∵P(4 , 2) 为 AB 中点,∴x1 ? x2 ? 8 , y1 ? y2 ? 4 . 又∵A , B 在椭圆上,∴x1 ? 4 y1 ? 36 , x2 ? 4 y2 ? 36 两式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 ,
2 2

2

2

2

2

2

2

即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . ∴

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 1 ? ?? . ∴直 线 方 程 为 x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 2

x ? 2y ?8 ? 0 .
方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y ) ,另一个交点 B(8 ? x , 4 ? y) . ∵A 、 B 在椭圆上,∴x2 ? 4 y 2 ? 36 ① 。

(8 ? x)2 ? 4(4 ? y)2 ? 36



从 而 A , B 在 方 程 ①- ②的 图 形 x ? 2 y ? 8 ? 0 上 , 而 过 A 、 B 的 直 线 只 有 一 条 , ∴直 线 方 程 为

x ? 2y ?8 ? 0 .
说明:直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题,“设而不求”的方法是处理此类问题的有效 方法. 若已知焦点是 (3 3 , 0) 、(?3 3 , 0) 的椭圆截直线 x ? 2 y ? 8 ? 0 所得弦中点的横坐标是 4, 则如何求椭圆 方程?

14.分析:可以利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?
2

(1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,

也可以利用椭圆定义及余弦定理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

y Q

AB ? 1 ? k 2 x1? x2 ? (1? k 2 )[(x1?x2 )2 ? 4x1x2 ] . 因 为 a ? 6 ,

b ? 3 ,所以 c ? 3 3 .因为焦点在 x 轴上,

P

O

x

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 y ? 3 x ? 9 . 所以椭圆方程为 36 9
由直线方程与椭圆方程联立得: x2 ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 . x1 ,x2 为方程两根, 设 所以 x1?x2 ? ? 13

72 3 , 13

x1x2 ?

36? 8 ,k ? 3, 13

从而 AB ? 1 ? k 2 x1? x2 ? (1 ? k 2 )[(x1? x2 ) 2 ? 4 x1x2 ] ?

48 . 13

15.[解析]:以 y= x +t 代入

x2 ? y 2 ? 1 ,并整理得 5 x 2 ? 8tx ? 4t 2 ? 4 ? 0 4
2



因为直线与椭圆相交,则△= 64 t 所以 t
2

? 20(4t 2 ? 4) ? 0 ,

? 5 ,即 ? 5 ? t ? 5 ,

设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),则 A( x1 , x1 且 x1 , x 2 是方程① 的两根.

? t ),B( x2 , x2 ? t ),

8t ? ? x1 ? x2 ? ? 5 ? 由韦达定理可得: ? , 4(t 2 ? 1) ?x ? x ? ? 1 2 5 ?
=2 ( x1 ? x2 ) =2[ (? 得 |AB|=
2

所以,弦长|AB|2= ( x1 ? x2 ) + ( y1 ? y2 )
2

2

=2[ ( x1

? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ]

2 8t 2 ) ? 4 ? 4(t ? 1) ] 5 5

4 2 ? 5?t2 5

所以当 t=0 时,|AB|取最大值为

4 10 . 5

16.[ 解 析 ] : ( 1 ) 设 经 过 原 点 且 倾 斜 角 为

?

的 直 线 方 程 为 y= x tan

?

2 2 , 代 入 x ? y ?1 , 求 得 4 8

x2 ?

2 32 32 t a n? .由对称性可知四边 ABCD 为矩形,又由于 (0 ? ? ? ? ) ,所以四边形 ABCD 的面 , y2 ? 2 8 ? 4 tan 2 ? 8 ? 4 t a n? 2

积 S=4| x y| ?

32tan? . 2 ? tan2 ?

(2)当 0 ? ?

?

?
4

时,

0 ? tan? ? 1 ,设 t=tan ? ,则 S ?

32t 32 , (0 ? t ? 2 ?t2 2

? 1)

t


?t

2 ? t ,因为 f (t ) 在(0,1]上是减函数,所以 f (t ) min ? f (1) ? 2 ? 1 ? 3 . t 1 ? 32 所以,当 ? = 时, S max ? . 3 4 f (t ) ?

17.(12 分)

x2 y2 [解析]:设所求椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
依题意,点 P( x1 , y1 )、Q( x2 , y2 )的坐标

? x2 y2 ? 2 ? 2 ?1 满足方程组 ? a b ?y ? x ? 1 ?
解之并整理得 (a 或 (a
2 2

? b2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b2 ) ? 0

? b2 ) y 2 ? 2b2 y ? b2 (1 ? a 2 ) ? 0
? x2 ? ? 2a 2 a2 ? b2
, x1 x2

所以 x1

?

a 2 (1 ? b 2 ) a2 ? b2




y1 ? y 2 ?
由 OP⊥ ? OQ

2b 2 a2 ? b2

y1 y 2 ?

b 2 (1 ? a 2 ) a2 ? b2



x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? a 2 ? b 2 ? 2a 2b 2



又由|PQ|=

10 5 2 ? PQ ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 2 2

5 2 5 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 = 2

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 =



由① ③ 可得: 3b ② ④

4

? 8b 2 ? 4 ? 0 ? b 2 ? 2或b 2 ?

2 3

2 ? a 2 ? 或a 2 ? 2 3
故所求椭圆方程为

x2 3y 2 3x 2 y 2 ? ? 1,或 ? ?1 2 2 2 2


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