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三角函数专题总复习 知识点总结与经典例题讲解-高三数学

三角函数专题总复习 知识点总结与经典例题讲解-高三数学

三角函数专题复习讲义 应用 弧 长 与扇 形 面积公式 应用 任意角 的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 三 角 函数 的 图象和性质 应用 已 知 三角 函 数值求角 同 角 三函 数 的基本关系 应用 计 算 与化 简 证明恒等式 诱导公式 和角公式 应用 差角公式 应用 应用 倍角公式 1、弧度制:把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度; 三角函数线:如右图,有向线段 AT 与 MP、 OM 分别叫做 ? 的 正切线、正弦线、余弦线。 角度制与弧度制的互化: 3600 ? 2? , 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ. ? y P A M O T x 1800 ? ? , 1°= ? 180 ≈0.01745 (rad) 00 3 00 450 6 00 9 00 1200 2? 3 1350 3? 4 1500 5? 6 18 0 0 27 0 0 3? 2 36 0 0 2? 0 ? 6 ? 4 ? 3 ? 2 ? 2、特殊角的三角函数值: 1 0 0 sin3 0 = sin 0 = 0 2 0 2 sin 45 = 2 0 cos 0 = 1 3 0 cos3 0 = 2 2 0 cos 45 = 0 tan 0 = 0 2 3 0 tan3 0 = 0 tan 45 =1 3 sin6 0 = 0 3 2 sin9 0 =1 cos9 0 =0 tan9 0 无 意 义 0 0 0 1 0 cos6 0 = 2 tan6 0 = 3 0 3、弧长及扇形面积公式 1 扇形面积公式:S= l.r 2 ? ----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4、任意角的三角函数 弧长公式: l ? ? .r 设 ? 是一个任意角,它的终边上一点 p(x,y), y r (2)各象限的符号: r= x 2 ? y 2 y x (1)正弦 sin ? = 余弦 cos ? = x r 正切 tan ? = y y + — x — + y + x + — + + O — + ?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? O + — O — sin ? cos ? tan ? 5.同角三角函数的基本关系: (1)平方关系:sin2 ? + cos2 ? =1。 sin ? ? (2)商数关系: =tan ? ( ? ? ? k? , k ? z ) cos ? 2 6.诱导公式: 把 k? ? ?的三角函数化为?的三角函数,概括为: 奇变偶不变,符号看象限。 2 ?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? . ? 5? sin ? ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ? 6 ? sin ? ? ? 7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域: R R [-1,1] 2π 偶函数 ?? ? ? x | x ? R, x ? k? ? ? 2? ? R π 奇函数 ? ? ? ? ?? 2 ? k? , 2 ? k? ? ? ? 值域: [-1,1] 周期: 2π 奇偶性: 奇函数 单调区间: 增区间; ?? ? ? 2k? , ? ? 2k? ? ; ? ? ? 2 2 ? ?? ? ? 2k? ,2k? ?; ?2k? , ? ? 2k? ? 减区间 ?? ? 2k? , 3? ? 2k? ? ; ? ? ?2 2 ? 无减区间 无对称轴 对称轴: x ? k? ? 对称中心: ?k? ,0? ? 2 x ? k? ?? ? ? ? k? ,0 ? ?2 ? ? k? ? (以上 k 均为整数) ,0 ? ? ? 2 ? 考点一: 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质(包括奇偶性、单 调性、周期性)这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多,主要是考查三 角的恒等变换及三角函数的基础知识。 例 1、已知函数 f(x)= log 1 (sin x ? cos x) 2 求它的定义域和值域;求它的单调区间;判断它的奇偶性;判断它的周期性。 解: ( 1 ) x 必 须 满 足 sinx-cosx>0 , 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 及 2k? ? ? 5 ? 5 ? x ? 2k? ? ? ,k∈Z∴ 函数定义域为 (2k? ? , 2k? ? ?) ,k∈Z 4 4 4 4 ? 4 ? 5 ? , 2k? ? ?) 时, 0 ? sin(x ? ) ? 1 4 4 4 1 2 ∵ sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ) ∴ 当 x∈ (2k? ? 1 2 ∴ 0 ? sin x ? cos ? 2 ∴ y ? log 1 2 ? ? ∴ 函数值域为[ ? , ?? ] 2 (3) ∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ∴ f(x)不具备奇偶性 (4)

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