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第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系.pptx_图文

第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系.pptx_图文

数学 第3节 空间点、直线、平面之间的位 置关系 01 诊断自测 02 考点一 平面的基本性 质及应用 例1 训 练1 03 考点二 判断空间两直 线的位置关系 例2 训 练2 04 考点三 异面直线所成 的角 例3 训 练3 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)两个平面 α,β 有一个公共点 A,就说 α,β 相交于过 A 点的任意一条直 线.( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.( ) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.( ) (4)若直线 a 不平行于平面 α,且 a?α,则 α 内的所有直线与 a 异面.( 解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线,故错误. (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误. (4)由于 a 不平行于平面 α,且 a?α,则 a 与平面 α 相交,故平面 α 内有与 a 相交的直线,故错误. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× ) 考点一 平面的基本性质及应用 [例 1] (1)(2016· 山东卷)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( ) 利用公理3:如果两个不 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 重合的平面有一个公共点, C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 那么它们有且只有一条过 该点的公共直线 解析 由题意知a?α,b?β, 若a,b相交,则a,b有公共点, 从而α,β有公共点,可得出α,β相交; 反之,若α,β相交,则a,b的位置关系可能为平行、 相交或异面. 因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充 分不必要条件. 考点一 平面的基本性质及应用 [例 1] (2)如图所示, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形, BC|| =AD, 1 =2FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点. ①证明:四边形 BCHG 是平行四边形; ②C,D,F,E 四点是否共面?为什么? BE|| ①证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 1 可得 = AD. 2 1 || 又 BC= AD, 2 ∴GH|| =BC, GH|| 证明线共面或点共面的常 用方法 (1)直接法,证明直线平行 或相交,从而证明线共 面. (2)纳入平面法,先确定一 个平面,再证明有关点、 线在此平面内. (3)辅助平面法,先证明有 关的点、线确定平面α,再 证明其余元素确定平面β, 最后证明平面α,β重合. ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 考点一 平面的基本性质及应用 [例 1] (2)如图所示, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形, BC|| =AD, 1 =2FA,G,H 分别为 FA,FD 的中点. ①证明:四边形 BCHG 是平行四边形; ②C,D,F,E 四点是否共面?为什么? 1 || 解 (2)∵BE= AF,G 为 FA 的中点, 2 ∴BE|| =FG, BE|| ∴四边形 BEFG 为平行四边形, ∴EF∥BG. 由(1)知 BG|| =CH, ∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH, ∴C,D,F,E 四点共面. 证明线共面或点共面的常 用方法 (1)直接法,证明直线平行 或相交,从而证明线共 面. (2)纳入平面法,先确定一 个平面,再证明有关点、 线在此平面内. (3)辅助平面法,先证明有 关的点、线确定平面α,再 证明其余元素确定平面β, 最后证明平面α,β重合. 考点一 平面的基本性质及应用 1.证明线共面或点共面的常用方法 (1)直接法,证明直线平行或相交,从而证明线共面. (2)纳入平面法,先确定一个平面,再证明有关点、线在此平面内. (3)辅助平面法,先证明有关的点、线确定平面 α,再证明其余元素确定平面 β,最后证明平面 α,β 重合. 2.证明点共线问题的常用方法 (1)基本性质法,一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基 本性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)纳入直线法, 选择其中两点确定一条直线, 然后证明其余点也在该直线上. 考点一 平面的基本性质及应用 【训练 1】如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证:(1)E,C,D1,F 四点共面;(2)CE,D1F,DA 三线共点. 证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B. ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥A1B. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE与D1F必相交, 设交点为P,如图所示. 则由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈ P 平面ABCD. 同理P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴P∈直线DA. 考点二 判断空间两直线的位置关系 [例 2] (1)若 m,n 为两条不重合的直线,α,β 为两个不重合的平面,则下列命题 点、线、面位置关 中正确的是( ) 系的判定,要注常 ①若直线 m,n 都平行于平面 α,则 m,n 一定不是相交直线; 借助正方体为模型 意几何模型的选取, ②若直线 m,n 都垂直于平面 α,则 m,n 一定是平行直线; ③已知平面 α,β 互相垂直,且直线 m,n 也互相垂直,若 m⊥α,则 n⊥β; ④若直线 m,n 在平面 α 内的射影互相垂直,则 m⊥n. A.② B.②③ C.①③ D.②④ 解析 (1)对于①,m与n可能平行,可能相交,也可 能异面,①错误; 对于②,由线面垂直的性质定理可知,m与n一定平 行,故②正确; 对于③,还有可能n∥β或n与β相交,③错误; 对于④,把m,n放入正方体中,如图,取A1B为m, B

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