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浅谈数列不等式的证明方法_论文

浅谈数列不等式的证明方法_论文

数学 有数  浅 谈 数列 不 等 式 的证 明 方法  一邓军 民  纵 观近几年广 东高考数学卷 ,我们 不难发现 ,数 列不等  式的证 明正在悄然兴起 . 数列 和不等式证明是 紧密相连 、 互相渗  (   )   进 行 放 大 ,然 后 求 和 后 再 进行 放 大 即得 出结 论 . 可见 当   透的 , 将数 列与不等式结合起来 构成的数列不 等式 , 既具有数  列的结构 与性质特征 , 又具有不等式证 明的思想方法. 因其涉及  面广 、 综合性强 、 难 度较大 。 所 以题 目的区分度很 大 , 有 利于选  我们解题思维 受阻时 ,可 以考虑从原题 的前面的 问题 中获取  一 些有用 的信 息或结论 ,利 用这 些信 息或结论 ,寻找 解决新  练习 1 . 已知数列 {  } ,   { b   }的通项公 式 分别 为 a n = n   问题 的 突破 口 .从 而 达到 解 决 问题 的 目的.   拔高素质 的数学人才 ; 再者数列不等式在 高等数学尤其是在数  学分析 的极 限 、 级数 中有 着广泛的应用 , 因而 这类问题在 近几  (   上 ) ,  n =( 州 )  ( n∈N  ) ,求 证 :   ,   1 + . . 。 +   年的高考 、 自主招生考试 、 数 学竞赛 中屡见不鲜 , 成为考试的热  点. 但是数列不等式的证 明经常要用到放缩法或数学归纳法 等  难度较大的数学方法 . 而这些方法需要考生有敏捷的数学观察  6   、1 2 ’   力和熟练 的代数 变形能力 , 同时还要 注意恰当 的放缩度 , 技 巧  性强且难 以操控 , 因而成为考生学习和考试 的难点. 下面笔者介  证 明 :   =   < 音. n > i 2   I  ̄ J , , 珥  ( 斛 1 ) ( 2 n + 1 ) > 2 ( 肼   1 ) n ,   故  +  1 + . . ‘ +  1 <   1+   1 (   +   +. . ‘ +   绍几种常见的数列不等式的证明方法 .   方 法 一 :放缩 法  所谓放缩法 即是从不等式 的一边着手 ,用不等式 的传 递  性等性质 ,舍去 ( 或添上 )一些 正项或 者负项 , 扩大或缩小  分式 的分 子、分母 ,逐渐 适当地有效放 大或缩小 到所 要求的  =   1   1   1 一   1   丁 1一   1+ . . ? +  一   )=   1   1 ‘   1一   )   目标 . 它是思考 不等关 系的朴素思想 和基 本出发点 , 有 极大  的迁移性 .对它 的运 用往往能体现 出创造性 . “ 放 缩法”可 以  和很多知识结合 ,对应变能力有较高 的要求. 因为放缩必须有  目标 ,而且要恰到好处 ,目标往往要从 证明 的结论考 察 ,放  缩时要注意适度 ,否则就不能同 向传递 .   例 1 . 已 知 函数 f ( x ) = e  ̄r n x .   ‘】   】   5   _ 6   。   1 + l   .   o2 + 62   综上可知 :  a  b   1   + . . ’   1 < - 1   2成立?   0   +6   点评 :在数列 求和型不等式证 明 中,一般 来说有 先放缩  再求和或 先求和再放缩两种形式. 若数 列 易于求和,则选择先  求和后再放缩 ; 若数 列不易求和 ,要考虑先放缩后再求和 的  证明方法. 本 例 题 选择 先放 缩再 求 和 。但 切 记 放 缩 后 要 易 于 求  ( 1 )当 m = l 时 ,求 函数f (   )的最小值 ;   n  ( 2 )求证 :   i= 1   (   )   “  c一 1   ( n   e   N   ).   . 和且放缩得 当, 若从 第 1项开始放大 ,则会放得过 大,导致  证 明失败 。故在 证明过程 中选择从 数列 第 2项开始放 大,恰  到好处.   解析 :  ( 1 )当 m = l 时, f ( x )= e   ,所 以 厂 (   )= e   ,   令 厂(   )> 0 ,得 x > 0 ;令 厂(   ) < o ,得 x < 0 .   方 法 二 :数 学 归 纳 法  .   所 以, (   ) 在( 一  , O ) 单 调递减 , 在( 0 , + 。 。 ) 单调递增 ,   所 以函数f ( x ) 的最小值为厂 ( 0 ) = 1 .   ( 2 )由 ( 1 )知 :e   ≥l ,即 l 帆 ≤ ,所 以 (   )   =( 1 +   t - n)   ≤e  .   n  数学归纳法证 明数列不等式 可规避传统 的不 等式放缩来  证 明数列不等式 中灵活多变 的方 法和高难技 巧 ,解题有 明确  的指 向 ,思维流 畅 自然 .使很 多复杂的数列 不等式的证 明题  迎刃而解 .具有较广泛 的适用性 . 这样处理不等式 问题 既适应  新课改 的需求 ,又符合 “ 淡化 特殊技巧 ,注重通性通法 ”的  所以 i   =, ( 音   )   ≤ e   + e   … + e   旦 三 ; …  = 号 — }   < 寺 1 5 1   ,   1 : 1   n  e — l  新高考理念 .且能有效提高学 生的思维能力 和解题能力 ,促  进数学的高效学习,值得在教学 和解题训练中加 以推广使用.   例2 . 函数 f ( x )   。 一  一 3 . 定义数列  横坐标 ,证明 :2 ≤   l < 3 .   }如下 :  。 = 2 ,   是过两 点 P ( 4 ,5 ) ,Q   (   f(  ) )的直线 P Q   与 轴交 点的  所 以∑ (

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