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高中数学 2.1 生活中的变量关系课件 北师大版必修1_图文

高中数学 2.1 生活中的变量关系课件 北师大版必修1_图文

第二章 函数
§1 生活中的变量关系

问题导航 (1)什么是常量?什么是变量? (2)具有依赖关系的两个变量有什么联系? (3)两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗? (4)什么是非依赖关系?

1.常量与变量 在研究某一问题的变化过程中,数值保持不变的量称为常量, 可以取不同数值的量称为变量.

2.两变量之间的关系 (1)依赖关系:在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变 量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那 么就称这两个变量具有依赖关系.特别地,如果对于其中一 个变量的每一个值,另一个变量都有唯一确定的值与之对应, 那么就称这两个变量之间有函数关系. (2)非依赖关系:在某变化过程中有两个变量,如果其中一个 变量的值发生了变化,另一个变量的值不会发生任何变化, 那么就称这两个变量具有非依赖关系.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常量与变量不能构成函数关系.( × ) (2)变量与变量一定是依赖关系.( × ) (3)满足函数关系的自变量对因变量,可以一对一,也可以多 对一,但不可以一对多.( √ )

2.下列等式中的变量 x,y 不具有函数关系的是( D )

A.y=2x

B.y=1x

C.y=x2+3x-1

D.y2=x2+5

解析:D 中,当 x=2 时,y=±3,即给定了一个 x 的值,有

两个 y 值与之对应,因此 y 不是 x 的函数;当 y=3 时,x=±2,

即给定了一个 y 的值,有两个 x 值与之对应,因此 x 也不是

y 的函数.

3.张大爷种植了 10 亩小麦,每亩施肥 x 千克,小麦总产量 为 y 千克,则( A ) A.x,y 之间有依赖关系 B.x,y 之间有函数关系 C.y 是 x 的函数 D.x 是 y 的函数 解析:小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关 系.

4.(1)球的半径与表面积之间的关系是__函__数____关系. (2)家庭收入与支出之间的关系是___依__赖___关系. 解析:(1)球的表面积随半径的变化而变化,且由半径唯一确 定,所以是函数关系. (2)一般情况下,家庭支出随家庭收入的变化而变化,但收入 一定时,支出并不唯一确定,所以是依赖关系.

1.依赖关系与函数关系的联系与区别 函数关系是特殊的依赖关系,具有依赖关系的两个变量有的 是函数关系,有的不是函数关系.因此依赖关系不一定是函 数关系,而函数关系一定是依赖关系.

2.表示变量间的关系的两种方法 (1)图像法:它是一种常用的表示两变量关系的方法.在解此 类题时要能从图中找到两个变量,并能判断它们之间的相互 依赖关系是如何变化的. (2)表格法:两变量之间的关系,体现在表格中就是要求我们 能从表格中找到因变量和自变量,并能判断因变量和自变量 之间的对应关系,从而说明因变量如何随自变量的变化而变 化.

探究点一 常量与变量的区分
一辆汽车由南京驶往相距 300 千米的上海,它的平均 速度是 100 千米/时,则汽车距上海的路程 s(千米)与行驶时 间 t(时)的关系是 s=300-100t,在这里,常量是__3_0_0_,-__1_0_0__, 变量是__s_,__t___. (链接教材 P24 实例分析 2)

[解析] 判断常量与变量的关键是看它们是否发生了变化, 在这里,常量是南京与上海的距离 300 千米和汽车行驶的平 均速度 100 千米/时,变量是汽车在行驶过程中距上海的路程 s 和行驶时间 t.

(1)常量是相对某个过程或另一个变量而言的,绝对的常量是 不存在的,也就是说常量是有条件的、相对的; (2)要从数值有无变化来确定常量和变量.

1.向平静的湖面投一石子,便会形成以落水点 为圆心的一系列同心圆,则在这一过程中湖的形状 Q,圆的 面积 S、半径 r、周长 l 中的常量是____Q____,变量是_S_、__r_、__l_. 解析:在变化过程中 Q 不发生变化,是常量;S、r、l 发生 变化,是变量.

探究点二 两变量关系的判断 下列过程中,各变量之间是否存在依赖关系?其中哪 些是函数关系? (1)做自由落体运动的物体下落的距离与时间的关系; (2)商品的销售额与广告费之间的关系; (3)家庭的食品支出与电视价格之间的关系.

[解] (1)科学家通过实验发现,做自由落体运动的物体下落 的距离(h)与时间(t)具有关系 h=12gt2,其中 g 是常量,很显 然,对于时间 t 在其变化范围内的每一个取值,都有唯一的 下落距离 h 与之对应,故这两个变量存在依赖关系,且距离 是时间的函数; (2)商品的销售额与广告费这两个变量在现实生活中存在依 赖关系,但商品的销售额还受其他因素的影响,比如产品的 质量、价格、售后服务等,所以商品的销售额与广告费之间 不是函数关系;

(3)家庭的食品支出与电视价格之间不存在依赖关系. 综上可知,(1)中的变量间存在依赖关系,且是函数关系;(2) 中变量间存在依赖关系,但不是函数关系;(3)中两个变量间 不存在依赖关系.

2.下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关 系?其中哪些是函数关系? (1)圆的面积和它的半径长; (2)商品的价格与销售量; (3)一个人的身高与体重; (4)某同学的学习时间与其学习成绩.

解:(1)因为圆的面积 S 与半径 r 存在 S=π r2 的关系,因此 圆的面积与其半径长存在依赖关系,也是函数关系. (2)一般情况下,商品的价格越低销售量越大,但只是依赖关 系,不是函数关系. (3)一个人的身高与体重有一定的关系,但体重并不完全由身 高来决定,还受人的胖瘦等因素的影响,因此一个人的身高 与体重之间存在依赖关系,但不是函数关系.

(4)某同学的学习成绩与学习时间有一定的关系,但学习成绩 并不完全由学习时间而定,还受其他因素的影响,如这位同 学的学习效率、智力等,因此某同学的学习时间与其学习成 绩之间存在依赖关系,但不是函数关系. 综上所述,(1)(2)(3)(4)均存在依赖关系,其中仅(1)是函数关 系.

依赖关系与函数关系的判断方法与步骤

探究点三 变量关系的表示 如图所示为某市一天 24 小时内的气温变化图,根据 图像回答下列问题.
(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少? (2)大约在什么时刻,气温为 0 ℃? (3)大约在什么时刻内,气温在 0 ℃以上? (4)变量 Q 是关于变量 t 的函数吗?

[解] 观察图像可知: (1)全天最高气温大约是 9 ℃,在 14 时达到.全天最低气温 大约是-2 ℃,在 4 时达到. (2)大约在 8 时和 22 时,气温为 0 ℃. (3)在 8 时到 22 时之间,气温在 0 ℃以上. (4)由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降.对于时间
t 的每个取值,都有唯一的气温 Q 与之对应,所以气温 Q 是 时间 t 的函数.

对于本例中的两个变量 Q 和 t,t 是关于 Q 的 函数吗?为什么? 解:不是.因为对于气温 Q 的一个值可能有两个时间 t 和它 对应,所以时间 t 不是气温 Q 的函数.

(1)表达两变量关系的常用方法是图像法和表格法. (2)在解题过程中要尽可能地利用题目所提供的数据,充分挖 掘图像以及数据、表格中包含的信息,从而将问题解决.

3.以下是某电视台的广告价格表(2015 年 1 月 报价,单位:元)

价格

播出时长 10 s 15 s 20 s 30 s 40 s 50 s 60 s

播出时间段

19:30~22:00 900 950 1 000 1 500 2 000 2 500 4 000

试问:广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系?

解:是函数关系,因为 x,y 的取值范围分别是 A={10,15, 20,30,40,50,60},B={900,950,1 000,1 500,2 000, 2 500,4 000},它们都是非空数集,且按照表格中给出的对 应关系,对任意的 x∈A,在 B 中都有唯一确定的值与之对 应,所以 y 是 x 的函数,即 y 与 x 是函数关系.

思想方法 转化思想在探究两变量间关系中的应用

口香糖的生产已有很长的历史,咀嚼口香糖有很多益

处,但其残留物也会带来污染,为了研究口香糖的黏附力与

温度的关系,一位同学通过实验,测定了除去糖分的口香糖

在不同温度下与瓷砖地面的黏附力,得到了如下表所示的一

组数据:

次序 项目

1

温度t/℃ 15

黏附力 F/N

2.0

234 25 30 35 3.1 3.3 3.6

5 678 37 40 45 50 4.6 4.0 2.5 1.5

请回答下列问题: (1)请根据上述数据,绘制出口香糖黏附力 F 随温度 t 变化的 图像; (2)根据上述数据以及得到的图像,你得到怎样的实验结论? [解] (1)根据表中数据的范围绘制出 F 随 t 变化的图像如图.

(2)根据图像可得实验结论: ①随着温度的升高,口香糖的黏附力先增大后减小;②当温 度在约 37 ℃时,口香糖的黏附力最大;当温度在 50 ℃时, 口香糖的黏附力最小.所以可通过加热的办法除去瓷砖上的 口香糖残留物. [感悟提高] 对于表格信息类问题,常转化为图像问题,更 能直观反映两变量之间的关系和性质.

1.下列变量之间的关系是函数关系的是( C ) A.生活质量与人的身体状况间的关系 B.某人的体重与饮食状况 C.一只 60 瓦的白炽灯的耗电量 W 与时间 t D.蔬菜的价格与供应量 解析:A、B、D 是依赖关系,对 C,W 是关于 t 的函数.

2.下面哪幅图能表示切土豆片的过程( D )
解析:把土豆理解为球,切面理解为圆面,切面关于时间先 增后减.

3.从市场中了解到,饰用 K 金的含金量如下表:

K数

含金量(%)

24K

99以上

22K

91.7

21K

87.5

18K

75

14K

58.5

12K

50

10K

41.66

9K

37.5

8K

33.34

6K

25

饰用 K 金的 K 数与含金量之间是__函___数___关系,K 数越大

含金量___越__高___.

解析:通过表格可知,饰用 K 金的含金量随着 K 数的减小 而减小,对于 K 数的每一个取值,都有唯一的含金量与之对 应,所以含金量是 K 数的函数,饰用 K 金的 K 数与含金量 之间是函数关系,且 K 数越大含金量越高.

4.某电器商店以 2 000 元一台的价格进了一批电视机,然后 以 2 100 元一台的价格售出,随着售出台数 n 的变化,商店 获得的收入 y 也在变化,则 y 关于 n 的函数关系式为 ___y_=__1_0_0_n___. 解析:销售一台的收入为 2 100-2 000=100,所以销售 n 台 时的收入为 y=100n.


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