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江西省宜春市奉新一中2013-2014学年高二下学期第二次月考数学(理)试卷

江西省宜春市奉新一中2013-2014学年高二下学期第二次月考数学(理)试卷

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分。每小题给出四个选项中,有且

只有一项是符合题目要求的。)

1. 若复数(1 ? ai)2 ( i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a ?

(

)

A. ? 1

B. ? 1

C. 0

D. 1

2. 将 5 个不同的小球放入二个不同的抽屉里,不同的放法种数





A. A52

B. C52

C.25

D.52

3. 函数 y ? 1 x 2 ? ln x 的单调减区间是





2

A.(-1,0)?(1,? ?) B.(- ?,-1)?(0,1) C.(1,? ?) D.(0,1)

4. 从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,若事件 A=“取到的2个数之和是偶数”, 事

件 B=“取到的2个数都是偶数”,则 P(B / A) =

(

)

A. 1 8

B. 1 4

C. 2 5

D. 1 5

5. (1? 2x)5 (2 ? x) 的展开式中 x3 的项的系数是





A.120

B. ?120

C.100

?
? 6.设函数 f (x) ? (x ? a)n ,其中 n ? 6 2 cos xdx , 0

D. ?100 f ?(0) ? ?3 ,则 f (x) 的展开式中 x 4 f (0)

的系数为
A. ? 360

B. 360

C. ? 60

(

)

D. 60

7.由数字 2,3,4,5,6 所组成没有重复数字的四位数中 5 与 6 相邻的奇数有(



A.14 个

B. 15 个

C. 16 个

D. 17 个

8. 在一次抗洪抢险中,用射击方法引爆从上游漂流而下一巨大汽油罐。已知只有 5 发子弹

备用,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功。每次射击命中概率都是 2 , 3

每次命中与否互相独立,则油罐被引爆的概率为 (



A. 232 243

B. 230 243

C. 211 232

D. 211 243

?x ?1, ?1 ? x ? 0

9.

若函数

f

(x)

?

? ???cos

x,

0

?

x

?

? 2

的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 a ,则

(x

?

1 ax2

)6

的展开式中常数项为

(

)

A. ? 4 9

B. 4 9

C. ? 20 3

D. 20 3

10. 将一个两位数的两个数字左右顺序颠倒(要求颠倒后仍是一个两位数),将所得到的数

和原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数是奇和数。在所有的两位数中,

奇和数的个数为





A. 20

B. 24

C. 32

D. 40

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案直接填在横线上)

11. 用反证法证明“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”时假设应为

.

12. 若 C32 ? C42 ? C52 ? ? Cn2 ? 363, 则自然数 n ? _____.
13. 若函数 f (x) ? ? 1 x3 ? 1 f ?(1)x 2 ? f ?(2)x ? 5 ,则曲线 f (x) 在点( 0, f (0) )处的切 32
线方程为

14.一个盒子里有20个大小形状相同的小球,其中5个红球,5个黄球,10个绿球,从盒子中 任取一球,若它不是红球,则它是绿球的概率是_________.

15.对于任意正整数,定义“n的双阶乘n!!”如下:

对于 n 是偶数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)……6×4×2;

对于 n 是奇数时,n!!=n·(n-2)·(n-4)……5×3×1.

现有如下四个命题:①(2005!!)·(2006!!)=2006!; ②2006!!=21003·1003!;

③2006!!的个位数是 0; ④2005!!的个位数是 5.

其中正确的命题是

.

三、解答题:(本大题 6 小题,共 75 分,解答写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.已知复数 z ? a 2 ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i ( a ∈R), a2 ?1
试求实数 a 分别取什么值时, z 分别为:(1)实数; (2)纯虚数.

17.已知数列{an}满足 sn ? an ? 2n ? 1 (1) 写出 a1, a2 , a3 并推测 an 的表达式;(2) 用数学归纳法证明所得的结论。

18.已知 (x ? 1 )n 的展开式中前三项的系数成等差数列. 2x
(1)求展开式中的有理项; (2)求展开式中系数最大的项.

19.已知 (2 ? 3x)10 ? a0 ? a1 (2 ? x) ? a2 (2 ? x)2 ? ? ? a10 (2 ? x)10 (1)求 a2 的值(用代数式表示); (2) 求 a0 ? a2 ? a4 ? ? ? a10 的值; (3)求 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 10a10 的值

20.作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中,于是就催生了“名校热”,这样择校 的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了.若某生由于种种原因,每天只能 6:15 骑车从家出发到学校,途经 5 个路口,这 5 个路口将家到学校分成了 6 个路段,每个路 段的骑车时间是 10 分钟(通过路口的时间忽略不计),假定他在每个路口遇见红灯的概
率均为 1 ,且该生只在遇到红灯或到达学校才停车.对每个路口遇见红灯情况统计如下: 3

红灯

1

2

3

4

5

等待时间

60

60

90

30

90

(秒)

(1)设学校规定 7:20 后(含 7:20)到校即为迟到,求这名学生迟到的概率;
(2)设 X 表示该学生上学途中遇到的红灯数,求 P( X ? 2) 的值; (3)设Y 表示该学生第一次停车时已经通过路口数,求随机变量Y 的分布列和数学期望.

? 21.已知函数 f (x) ? a

x?1 1 dt

?

(x

? 1)2

?x

?

? 1?

1t

( 1 ) 若 f (x) 在 x ? 1 处 有 极 值 , 试 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 不 等 式

m2 ? tm ? e2 ?14 ? f (x) 对任意 x ??e ?1, e? 及 t ???1,1? 恒成立?若存在,求出 m

的取值范围;若不存在,请说明理由. ?e ? 2.71828??

(2)若 a ? 1 ,设 F (x) ? f (x) ? (x ? 1)2 ? x

① 求证:当x ? 0时, F (x) ? 0 ;



设 an

?

1? n ?1

1 ????? n?2

n

?

1 (n

?

1)

(n

?

N

*

)

,求证:

an

? ln 2

(所有答案写在答题卡上)

(1)求展开式中的有理项; (2)求展开式中系数最大的项.

(2)设 X 表示该学生上学途中遇到的红灯数,求 P( X ? 2) 的值;

Y

0

1

2

3

4

5

1

2

4

8

16

32

P

3

9

27

81

243

243

? EX =1? 2 ? 2? 4 ? 3? 8 ? 4? 16 ? 5? 32 ? 422 9 27 81 243 243 243
? 21.已知函数 f (x) ? a x?11dt ? (x ? 1)2 ? x ? ?1?
1t ( 1 ) 若 f (x) 在 x ? 1 处 有 极 值 , 试 问 是 否 存 在 实 数 m , 使 得 不 等 式
m2 ? tm ? e2 ?14 ? f (x) 对任意 x ??e ?1, e? 及 t ???1,1? 恒成立?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. ?e ? 2.71828??

(2)若 a ? 1 ,设 F (x) ? f (x) ? (x ? 1)2 ? x ①求证:当x ? 0时, F (x) ? 0 ;

②设 an

?

1? n ?1

n

1 ?

2

?????

n

?

1 (n

? 1)

(n ?

N*)

,求证: an

?

ln

2

解:(1)因为 f (x) ? a ln(x ?1) ? (x ?1)2 ,所以 f ' (x) ? a ? 2x ? 2 . x ?1
由 f ' (1) ? 0 ,可得 a ? 2 ? 2 ? 0 , a ? ?8 . 2
经检验 a ? ?8 时,函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,所以 a ? ?8 .


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