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四川省南充高级中学高三4月模拟考试(三)数学(理)试题 Word版含答案

四川省南充高级中学高三4月模拟考试(三)数学(理)试题 Word版含答案

流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。

第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知 i 是虚数单位,复数 ?2 ? i?2 的共轭复数为( )

A. 3 ? 4i

B. 3 ? 4i

C. 5 ? 4i

D. 5 ? 4i

2.设向量 m ? ?2x ?1,3? ,向量 n ? ?1, ?1? ,若 m ? n ,则实数 x 的值为( )

A.—1

B.1

C.2

D.3

3.设集合 A ? ??1,1? ,集合 B ? ?x | ax ? 1, a ? R? ,则使得 B ? A 的 a 的所有取值构成的

集合是( )

A.?0,1?

B.?0, ?1?

C.?1, ?1?

D.?1, 0, ?1?

4.执行如图所示的程序框图,输出 S 的值为( )

A.45

B.55

C.66

D.110

5.小孔家有爷爷、奶奶、姥爷、姥姥、爸爸、妈妈,包括他共 7 人,一天爸爸从果园里摘了

7 个大小不同的梨,给家里每人一个,小孔拿了最小的一个,爷爷、奶奶、姥爷、姥姥 4 位

老人之一拿最大的一个,则梨子的不同分法共有( )

A.96 种

B.120 种

C.480 种

D.720 种

6.函数

f

?x? ?

A

sin

??

x

?

?

?

? ??

A

?

0,?

? 0, ?

?

? 2

? ??

的部分图象如图所示,则函数

f

?x?

的解析式为( )

A.

f

?x?

?

2 sin

? ??

x

?

? 6

? ??

B.

f

?

x?

?

2

sin

? ??

2x

?

? 3

? ??

C.

f

?

x?

?

2

sin

? ??

x

?

? 12

? ??

D.

f

?x?

?

2

sin

? ??

2

x

?

? 6

? ??

7.设直角坐标平面内与两个定点 A? ?2, 0? , B ? 2, 0? 的距离之差的绝对值等于 2 的点的轨迹

是 E,C 是轨迹 E 上一点,直线 BC 垂直于 x 轴,则 AC ? BC ? ( )

A.-9

B.-3

C.3

D.9

8.利用计算机产生 120 个随机正整数,其最高位数字(如:34 的最高位数字为 3,567 的最

高位数字为 5)的频数分布图如图所示.若从这 120 个正整数中任意取出一个,设其最高位

数字为 d ? d ? 1, 2,? ? ?, 9? 的概率为 P .下列选项中,最难反映 P 与 d 的关系是( )

A.

P

?

lg

???1

?

1 d

? ??

D.

P

?

3 5

?

1 2d

B. P ? 1 d?2

?d ? 5?2
C. P ? 120

9.如图,

A1 ,

A2

为椭圆

x2 9

?

y2 5

? 1的长轴的左、右端点, O 为坐标原点, S,Q,T 为椭圆

上不同于 A1, A2 的三点,直线 QA1, Q A2 , OS, OT 围成一个平行四边形 OPQR ,则

OS 2 ? OT 2 ? ( )

A.5

B. 3 ? 5

C.9

D.14

10.设 a, b 是不相等的两个正数,且 bln a ? a ln b ? a ? b ,给出下列结论:①

a ? b ? ab ? 1;② a ? b ? 2 ;③ 1 ? 1 ? 2 .其中所有正确结论的序号是( ) ab

A.①②

B.①③

C.②③

D.①②③

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

11.在

? ?

2

?

x?

1 x

6
? ? ?

的展开式中,含

x3

项的系数是

.(用数字填写答案)

12.一个几何体的三视图如图所示,则几何体的体积为

.

13.已知 tan?

?

3

,则

sin

?

sin

? ??

3? 2

?

?

? ??

的值是

.

14.已知圆的方程为 x2 ? y2 ? 6x ? 0 ,过点 ?1, 2 ? 的该圆的三条弦的长 a1 , a2 , a3 构成等差

数列,则数列 a1 , a2 , a3 的公差的最大值是

.

15.已知 OA ? ?1,0?,OB ? ?1,1?, ?x, y ? ? ?OA ? ?OB ,若 0 ? ? ? 1 ? ? ? 2 时,

z ? x ? y ? m ? 0, n ? 0? 的最大值为 2,则 m ? n 的

.

mn

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

16.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中,角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且满足 a cos B ? bcos A.

(Ⅰ)判断 ?ABC 的形状;

(Ⅱ)求 sin

? ??

2A

?

? 6

? ??

?

2 cos2

B

的取值范围.

17. (本小题满分 12 分)

? ? 设数列 an 各项为正数,且 a2 ? 4a1, an?1 ? an2 ? 2an ? n ? N *? .
? ? (Ⅰ)证明:数列 log3 ?1? an ? 为等比数列;

? ? ? ? (Ⅱ)令 bn ? log3 1? a2n?1 ,数列 bn 的前 n 项和为Tn ,求使Tn ? 345 成立时 n 的最小值.
18. (本小题满分 12 分)某商场进行有奖促销活动,顾客购物每满 500 元,可选择返回 50 元现金或参加一次抽奖.抽奖规则如下:从 1 个装有 6 个白球、4 个红球的箱子中任摸一球, 摸出红球就可获得 100 元现金奖励.假设顾客抽奖的结果相互独立. (Ⅰ)若顾客选择参加一次抽奖,求他获得 100 元现金奖励的概率; (Ⅱ)某顾客已购物 1500 元,作为商场经理,是希望顾客直接选择返回 150 元现金,还是选 择参加 3 次抽奖?说明理由; (Ⅲ)若顾客参加 10 次抽奖,则最有可能获得多少现金奖励?

19. (本小题满分 12 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E, F 分别是 AB, BC 的中点,将

?AED, ?DCF 分别沿 DE 、 DF 折起,使 A,C 两点重合于 P . (Ⅰ)求证:平面 PBD ⊥平面 BFDE ; (Ⅱ)求二面角 P ? DE ? F 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)

已知直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,点 P 是抛物线 y2 ? 4x 上到直线 l 距离最小的点,点 A 是 抛物线上异于点 P 的点,直线 AP 与直线 l 交于点 Q ,过点 Q 与 x 轴平行的直线与抛物线 y2 ? 4x 交于点 B . (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)证明直线 AB 恒过定点,并求这个定点的坐标.
21. (本小题满分 12 分)设 a,b ? R ,函数 f ? x? ? 1 x3 ? ax2 ? bx ? 1, g ? x? ? ex ( e 为自
3
然对数的底数),且函数 f ? x? 的图象与函数 g ? x ? 的图象在 x ? 0 处有公共的切线.
(Ⅰ)求 b 的值;
(Ⅱ)讨论函数 f ? x? 的单调性; (Ⅲ)若 g ? x? ? f ? x? 在区间 ? ??, 0? 内恒成立,求 a 的取值范围.

参考答案

一、选择题

1.A 2.C 3.D 4.B

5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.D

二、填空题 11. 64 三、解答题

12. ?

13. ? 3 10

14. 2

15. 5 ? 6 2

16.本题主要考查和差角公式、正弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解

能力、推理论证能力,考查化归与转化等数学思想.

(Ⅰ)由 a cos B ? bcos A,根据正弦定理,得 sin Acos B ? sin Bcos A,即nsi ? A ? B?0? .

在 ?ABC 中,有 ?? ? A ? B ? ? ,所以 A ? B ? 0 ,即 A ? B .所以 ?ABC 是等腰三角
形.………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ), A ? B ,则

? sin 2 A? 2 cos2 B ? ???

3 2

sin

2A

?

1 2

? cos 2A???

?

cos

2A

?1

?

3 2

sin

2

A

?

1 2

cos

2

A

?

1

?

sin

? ??

2

A

?

? 6

? ??

?

1

,因为

A?

B ,所以 0

?

A?

? 2

,则 ? ? 6

?

2A ?

? 6

?

5? 6

,所以 ?

1 2

?

sin

? ??

2

A

?

? 6

? ??

? 1,



?

3 2

?

sin

? ??

2A

?

? 6

? ??

?1

?

0

,于是 sin

? ??

2

A

?

? 6

? ??

?

2 cos 2

B

的取值范围是

? ??

?

1 2

,

0???

.………………………………12



17.本题考查等比数列的概念、等比数列通项公式与前 n 项和等基础知识,考查运算求解能
力.

? ? ? ? (Ⅰ)由已知, a2 ? a12 ? 2a1 ? 4a1 ,则 a1 a1 ? 2 ? 0 ,因为数列 an 各项为正数,所以

a1 ? 2 ,由已知, an?1 ? 1 ? ?an ? 1?2 ? 0 ,得 log3 ?an?1 ? 1? ? 2log3 ?an ?1? ,又

? ? log3 ?a1 ?1? ? 2log3 3 ? 1,所以,数列 log3 ?1 ? an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数

列.…………………………7 分

? ? ? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)可知, log3 1? an ? 2n?1 , bn ? log3 1? a2n?1 ? 22n?2 ? 4n?1 ,则

? ? Tn

?

b1

?

b2

?????

bn

? 1?

4?

42

?

????

4n?1

?

1 3

4n ? 1

.

不等式Tn ? 345 ,即 4n ? 1036 ? n ? N *? .所以 n ? 6 ,于是Tn ? 345 成立时 n 的最小值

为 6.……12 分

18.本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项分布、数学期望等基础知识.考查运算求

解能力、应用意识.考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力.

所以 E ? X ? ? np ? 3? 0.4 ? 1.2 .由于顾客每中奖一次可获得 100 元现金奖励,因此该顾客

在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2?100 ? 120 元.由于顾客参加三次抽奖获得现
金奖励的均值 120 元小于直接返现的 150 元,所以商场经理希望顾客参加抽奖.……………… 7分
(Ⅲ)设顾客参加 10 次抽奖摸中红球的次数为Y .由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的,
则Y ? B ?10, 0.4? .于是,恰好 k 次中奖的概率为

P ?Y ? k ? ? C1k0 ? 0.4k ? 0.610?k , k ? 0,1,? ? ?,10 ,从而

P?Y ? P?Y ? k

k? ? 1?

?

2 ? ?11?
3k

k?

,k

?

1, 2,? ? ?,10 ,当 k

?

4.4 时,

P(Y

?

k? 1)

?

P ?Y

?

k?



当 k ? 4.4 时, P(Y ? k? 1) ? P ?Y ? k ? ,则 P(Y ? 4) 最大.所以,最有可能获得的现金
奖励为 4 ?100 ? 400 元.于是,顾客参加 10 次抽奖,最有可能获得 400 元的现金奖
励.………………12 分 19.本题主要考查空间面面垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力,推理论证能 力。

(Ⅰ)证明:连接 EF 交 BD 于 O ,连接 OP .在正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,所以 BE ? BF, DE ? DF ,所以 ?DEB ? ?DFB ,因此 ?BDE ? ?BDF , 所以在等腰 ?DEF 中,O 是 EF 的中点,且 EF ? OD .因此在等腰 ?PEF 中,EF ? OP , 从而 EF ? 平面 OPD .又 EF ? 平面 BFDE ,所以平面 BFDE ⊥平面 OPD .即平面 PBD ? 平面 BFDE .………………6 分
(Ⅱ)方法一:在正方形 ABCD中,连接 AF ,交 DE 于 G .设正方形 ABCD 的边长为 2. 由于点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点.所以 Rt?DAE ? Rt?ABF ,于是 ?ADE ? ?FAB ,从而 ?ADG ? ?DAG ? ?EAG ? ?DAG ? 90 ,所以 AF ? DE .于 是,在翻折后的几何体中, ?PGF 为二面角 P ? DE ? F 的平面角.

在正方形 ABCD中,解得 AG ? 2 5 , GF ? 3 5 ,所以,在 ?PGF 中,

5

5

PG ? AG ? 2 5 ,GF ? 3 5 , PF ? 1 ,由余弦定理得

5

5

cos ?PGF ? PG2 ? GF 2 ? PF 2 ? 2 .所以,二面角 P ? DE ? F 的余弦值为

2PG ? GF

3

2 .……………………12 分 3
方法二:

由题知 PE、PF、PD 两两互相垂直,故以 P 为原点,向量 PF , PE, PD 方向分别为 x, y, z

轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系.设正方形边长为 2,则

P ?0, 0, 0? , E ?0,1, 0? , F ?1, 0, 0?, D ?0, 0, 2? ,所以 EF ? ?1, ?1,0?, ED ? ?0, ?1,2? ,设

m

?

?

x,

y,

z

?

为平面

EFD

的一个法向量,由

??m ? ??m

? ?

EF ED

,得

?x ???

? y

y ?

?0 2z ?

,令
0

x

?

1 ,得

m

?

? ??

1,1,

1 2

? ??

,又由题知

n

?

?1,

0,

0

?

是平面

PED

的一个法向量,所以

cos m, n ? m ? n ? 2 ,所以,二面角 P ? DE ? F 的余弦值为 2 .………………12 分

m?n 3

3

20.本题主要考查抛物线的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证能力、运算求解

能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

? ? (Ⅰ)设点 P 的坐标为 x0 , y0 ,则 y02 ? 4x0 ,所以,点 P 到直线 l 的距离

d?

x0 ? y0 ? 2 ? 2

y02 4

?

y0

?

2

? y0 ? 2?2 ? 4

?

?

2

42

2 2

.当且仅当

y0

?

2 时等号成立,

此时 P 点坐标为 ?1, 2? .………………4 分

(Ⅱ)设点

? A 的坐标为 ?
?

y12 4

,

y1

? ? ?

,显然

y1

?

2 .当

y1

?

?2

时,A 点坐标为 ?1, ?2?

,直线

AP

的方程为 x ? 1;当 y1 ? ?2 时,直线 AP 的方程为 y ? 2 ?

y1 y12

?2 ?1

?

x

?

1?

,化简得

4

4x ? ? y1 ? 2? y ? 2y1 ? 0 ,综上,直线 AP 的方程为 4x ? ? y1 ? 2? y ? 2y1 ? 0 ,与直线 l

的方程

y

?

x ? 2 联立,可得点 Q 的纵坐标为

yQ

?

2 y1 ? 8 ,因为 BQ / y1 ? 2

/ x 轴,所以 B 点的

纵坐标为

yB

?

2 y1 ? 8 y1 ? 2

,因此

B

点的坐标为

? ?

?

y1

?? ? y1

? ?

4?2 2?2

,

2 y1

?

8

? ?

,当

2

y1

?

8

y1 ? 2 ??

y1 ? 2

?

? y1,即

y12

? 8 时,直线 AB 的斜率 k ?

y1

?

2 y1 ? 8 y1 ? 2

y12 ? ? y1 ? 4?2 4 ? y1 ? 2?2

?

4 y1 y12

? ?

8 8

,所以直线

AB

的方程为

y

?

y1

?

4 y1 y12

? ?

8 8

? ? ?

x

?

y12 4

? ?

,整理得

?

y

?

?

2?

y12

?

4?x

?

2?

y1

? 8?x

?

y?

?

0 .当

x ? 2, y ? 2时,上式对任意 y1 恒成立,此时,直线 AB 恒过定点 ? 2, 2? ,当 y12 ? 8 时,
直线 AB 的方程为 x ? 2 ,扔过定点 ? 2, 2? ,故符合题设的直线 AB 恒过定点
? 2, 2? .………………13 分
21.本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推 理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与 转化等数学思想.
(Ⅰ) f ? x? ? x2 ? 2ax ? b, g '? x? ? ex ,由 f '?0? ? b ? g '?0? ? 1,得 b ? 1.…………2

(Ⅱ) f '? x? ? x2 ? 2ax ? 1 ? ? x ? a?2 ? 1? a2 . 当 a2 ? 1时,即 ?1 ? a ? 1时, f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 在定义域内单调递增.
? ? ? ? 当 a2 ? 1时, f '? x? = x ? a ? a2 ?1 x ? a ? a2 ?1 , ? ? 此时,当 x ? ??, ?a ? a2 ? 1 时, f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 单调递增; ? ? 当 x ? ?a ? a2 ?1, ?a ? a2 ?1 时, f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 单调递减; ? ? 当 x ? ?a ? a2 ? 1, ?? 时, f '? x? ? 0 ,从而函数 f ? x? 单调递增.…………6 分
(Ⅲ)令 h ? x? ? g '? x? ? f '? x? ? ex ? x2 ? 2ax ? 1 ,则 h ?0? ? e0 ? 1 ? 0 ,
h '? x? ? ex ? 2x ? 2a ,令 ? ? x? ? h '? x? ? ex ? 2x ? 2a ,则 ? '? x? ? ex ? 2 .当 x ? 0 时, ? '? x? ? 0 ,从而 h '? x? 单调递减,令 ? ?0? ? h '?0? ? 1 ? 2a ? 0 ,得 a ? 1 .
2
先考虑 a ? 1 的情况,此时, h '?0? ? ? ?0? ? 0 .
2
又当 x ? ? ??, 0? 时, h '? x? 单调递减;所以 h '? x? ? 0 ,故当 x ? ? ??, 0? 时, h ? x? 单调
递增;又因为 h ?0? ? 0 ,故当 x ? 0 时,h ? x? ? 0 .从而函数 g ? x? ? f ? x? 在区间 ? ??, 0?
单调递减;又因为 g ?0? ? f ?0? ? 0 ,所以 g ? x? ? f ? x? 在区间 ? ??, 0? 恒成立. 接下来考虑 a ? 1 的情况,此时, h '?0? ? 0 ,令 x ? ?a ,则 h '? ?a? ? e?a ? 0 ,由零点
2
存在定理,存在 x0 ? ? ?a, 0? 使得 h'? x0 ? ? 0,当 x ? ? x0 ,0? 时,由 h '? x? 单调递减可知

h '? x? ? 0 ,所以 h ? x? 单调递减,又因为 h ?0? ? 0 ,故当 x ? ? x0 ,0? 时, h ? x? ? 0 .从而 函数 g ? x? ? f ? x? 在区间 ? x0,0? 单调递增;又因为 g ?0? ? f ?0? ? 0 ,所以当 x ? ? x0 ,0?
时, g ? x? ? f ? x? .

综上所述,若 g ? x? ?

f

?

x?

在区间

?

??,

0

?

恒成立,则

a

的取值范围是

? ??

??,

1 2

? ??

.…………

14 分


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