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高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课件北师大版选修2_2_图文

高中数学第一章推理与证明1归纳与类比课件北师大版选修2_2_图文

§ 1 理解教材 新知 知识点一 知识点二 知识点三 考点一 第 一 章 归 纳 与 类 比 把握热点 考向 应用创新 演练 考点二 考点三 考点四 § 1 归纳与类比 归 纳 推 理 问题 1:我们知道铜、铁、铝、金、银都是金属,它们有何物 理性质? 提示:都能导电. 问题 2:由问题 1 你能得出什么结论? 提示:一切金属都能导电. 问题 3:若数列{an}的前四项为 2,4,6,8,试写出 an. 提示:an=2n(n∈N+). 问题 4:上面问题 2、3 得出结论有何特点? 提示:都是由几个特殊事例得出一般结论. 归纳推理 定义 特征 归纳推理是由 部分事物 根据一类事物中_________ 具有某种属性, 推断该类事物中 每一个事物 都有这种属性,将 ___________ 这种推理方式称为归纳推理. 部分到整体 ,由 ____________ 个别到一般 __________的推理. 类 比 推 理 问题 1:试写出三角形的两个性质. 提示:(1)三角形的两边之和大于第三边; 1 (2)三角形的面积等于高与底乘积的 . 2 问题 2:你能由三角形的性质推测空间四面体的性质吗?试写 出来. 提示:(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; 1 (2)四面体的体积等于底面积与高乘积的 . 3 问题 3:试想由三角形的性质推测四面体的性质体现了什么. 提示:由一类事物的特征推断另一类事物的类似特征,即 由特殊到特殊. 定义 由于两类不同对象具有某些类似的特征 __________, 在此基础上, 根据一类对象的其他特征, 推断 类似的其他特征 , 另一类对象也具有________________ 把这种 特征 类比推理是 两类事物特征 ______________ 之间的推理. 推理过程称为类比推理. 合情推理与演绎推理 1.合情推理的含义 个人的经验和直觉 、 实验和实践的结果 、_________________ 合情推理是根据_________________ 已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结 果的推理方式. 归纳推理 和_________ 类比推理 是最常见的合情推理. __________ 2.演绎推理的含义 已知的事实 和正确的结论 演绎推理是根据 ____________ __________ ,按照严格的 逻辑法则得到新结论的推理过程. 1.归纳推理的特点: (1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否正确,还 需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的 工具; (2)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么推 广的一般性结论也就越可靠. 2.类比推理的特点: (1)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象; (2)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测 的性质之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠; (3)由类比推理得到的结论也具有猜测的性质,结论是否正 确,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,类比推理不能作为 数学证明的工具. 数与式的归纳 [例 1] 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 已知: 1> ; 1+ + >1; 1+ + + + + + > ; 2 2 3 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1+ + +?+ >2;?. 2 3 15 根据以上不等式的结构特点,请你归纳一般结论. [思路点拨] 观察不等式左边最后一项的分母特点为 2n- n 1,不等式右边为 ,由此可得一般性结论. 2 [精解详析] 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,?,猜想不 n 1 2 等式左边最后一项的分母为 2 -1,而不等式右端依次分别为: , , 2 2 3 4 n , ,?, . 2 2 2 1 1 1 n 归纳得一般结论:1+ + +?+ n > (n∈N+). 2 3 2 -1 2 [一点通] 根据给出的数与式,归纳一般结论的思路: (1)观察数与式的结构特征,如数、式与符号的关系,代数 式的相同或相似之处等; (2)提炼出数、式的变化规律; (3)运用归纳推理写出一般结论. 1.已知 ?1? an=?3?n,把数列{an}的各项排成如下的三角形: ? ? a1 a2 a5 a6 a3 a7 ?? 记 A(s,t)表示第 s 行的第 t 个数,则 A(11,12)= ?1? A.?3?67 ? ? ?1? C.?3?111 ? ? ?1? B.?3?68 ? ? ?1? D.?3?112 ? ? a4 a8 a9 ( ) 解析: 该三角形每行所对应元素的个数为 1,3,5??那么第 10 行的 最后一个数为 a100, 第 11 行的第 12 个数为 a112, 即 ?1? A(11,12)=?3?112. ? ? 答案:D x 2.(陕西高考)已知 f(x)= ,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)= 1+x f(fn(x)),n∈N+, 则 f2 014(x)的表达式为________. x ? x ? 1+x x x ? ? 解析:由 f1(x)= ?f (x)=f?1+x?= = ;又 x 1+x 2 1 + 2 x ? ? 1+ 1+x x 1+2x x 可得 f3(x)=f(f2(x))= x =1+3x,故可猜想 f2 1+ 1+2x x . 1+2 014x 014(x)= x 答案: 1+2 014x an 3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n=1,2,3,?). 1+2an (1)求 a2,a3,a4; (2)归纳猜想数列{an}的通项公式. 解:(1)当 n=1 时,a1=1, an 1 由 an+1= (n∈N+),得 a2= , 3 1+2an a2 1 a3 1 a3= = ,a4=

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