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辽宁本溪市2010年高二下学期期末考试(数学文)

辽宁本溪市2010年高二下学期期末考试(数学文)

本溪市 2009~2010 学年(下)期末考试

高二数学试卷(文科)
说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.试卷满分 150 分,答题时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 注意:请在机读答题卡中作答,不要答在试题中 1. 设集合 A ? {?2, ?1,3, 4} , B ? {x | ?3 ? x ? 5},则 A ? B ? (A) {x | ?2 ? x ? 4} 2. 复数 z ? 1 ? i ,则 (A) ?1 (B) {x | ?3 ? x ? 5} (C) {?2} (D) {?2, ?1,3, 4}

1 ? z ?1
(B)1 (C) ?i (D) i

3.下列关于流程图和结构图的的说法中不正确的是 ... (A)流程图用来描述一个动态过程 (B)结构图是用来刻画系统结构的 (C)流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系 (D)结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系 4. 在一项患慢性气管炎是否与吸烟有关的调查中,调查了 339 名 50 岁以上的人,经过独立性 检验计算得 ? 2 ? 7.469 ,根据这一数据分析,我们说患慢性气管炎与中老年吸烟有关的把握 是 (A) 90 ﹪ (B) 95 ﹪ (C) 99 ﹪ (D) 100 ﹪ 5. 若将关于集合知识一章的知识结构图补充完整,空白框中应填入的是 (A)列表法 (B)描述法 (C)解析法 (D)图像法 6. 下列函数在区间 (??,0) 上是减函数的是 (A) y ? x ? 2 (B) y ? ? x 2 (C) y ? ?

2 x

(D) y ?

3 x ?1

7. 二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象的顶点坐标是 ( ?2, ?1) ,与 y 轴的交点是 (0,3) ,则 (A) a ? ?1, b ? ?4, c ? 3 (C) a ? 1, b ? 4, c ? 3 (B) a ? ?1, b ? 4, c ? 3 (D) a ? 2, b ? 8, c ? 3

8. 四个学习小组分别对不同的变量组(每组为两个变量)进行该组两变量间的线性相关作实 验,并用回归分析的方法分别求得相关系数 r 与方差 m 如下表所示,其中哪个小组所研究

的对象(组内两变量)的线性相关性更强 (A)第一组 (C)第三组 (B)第二组 (D)第四组

9. 已知 lg a ? lg b ? 0 ,函数 f ( x) ? a x 与函数 g ( x) ? logb x 的图象可能是下图中的

(A)

(B)

(C)

(D)

10. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于 60 ? ”时,反设正确的是 (A)假设三内角都不大于 60 ? (C)假设三内角至多有一个大于 60 ? (B)假设三内角都大于 60 ? (D)假设三内角至多有两个大于 60 ?

? 3x ? 1 , x ? 1 11. 函数 f ( x) ? ? ,则 f (log3 5) ? ? f ( x ? 1) , x ? 1

2 3 5 (B) (C) (D)3 3 5 3 12. 函数 f ( x) ? ln x ? x ? a 在 (1, e) 内存在一个零点,则实数 a 的取值范围是
(A) (A) 1 ? a ? e (B) 1 ? a ? 1 ? e (C) a ? 1 或 a ? e (D) a ? 1 或 a ? 1 ? e

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.

共 90 分)

考生注意:第Ⅱ卷的解答请写在第Ⅱ卷答题纸的相应位置,不要答在试题中.

注意:请把最后结果直接填在答题纸的相应位置上,不要答在试题中.

1 13. 函数 y ? 1 ? ( ) x 的定义域是 _______. 2
14. 为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关, 用两种不同剂量的电离辐射照射小 白鼠.在照射 14 天后的结果如下表所示:

对这两组数据进行统计分析的统计假设是:小白鼠的死亡与剂量 __

__.

15. 平 面 上 , 如 果 △ ABC 的 内 切 圆 半 径 为 r , 三 边 长 分 别 为 a , b, c , 则 三 角 形 面 积

1 S ? r (a ? b ? c) .根据类比推理,在空间中,如果四面体内切球的半径为 R,其四个面的 2

面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4 ,则四面体的体积 V=_

__.

16. 注意:请考生在(1)(2)(3)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 、 、 分 (1)如右图,AC 为⊙O 的直径,弦 BD⊥AC 于点 P,PC=2,PA=8, 则 cos ?ACB 的值为 _____. _____.

(2)在极坐标系中,圆 ? ? 2sin ? 的圆心的极坐标是 (3)把曲线 C: y = sin(2 x +

π ) 向右平移 a (a ? 0) 个单位,得到的曲线 C′关于直线 4
_____.

x=

π 对称,则 a 的最小值 4

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分. 注意:请把最后结果直接填在答题纸的相应位置上,不要答在试题中. 17.(本题满分 10 分)设 z1 , z2 是两个复数,已知 | z1 |? 5 , z2 ? 3 ? 4i ,且 z1 ? z2 是纯虚数,求 复数 z1 18.(本题满分 12 分)设全集 U=R,集合 A ? {x | y ? log 2 若( ?U A ) ? B ? B . 求实数 a 的取值范围. 19.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 , x ?[?5,3] . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值; (Ⅱ)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x) 在区间 [?5,3] 上为单调函数. 20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x (Ⅰ)求当 x ? 0 时 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求 f ( x) 的值域; (Ⅲ)写出 f ( x) 的单调区间. 21.(本题满分 12 分)已知 a , b, c 是不全相等的正数,试用分析法证明:
2

x ?1 } , B ? {x | ( x ? 2)( x ? a) ? 0} , x ?1

?2 x



lg

a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c . 2 2 2

22.(本题满分 12 分)注意:请考生在(1)(2)(3)三题中任选一题做答,如果多做,则 、 、 按所做的第一题计分. (1)如右图所示,AB 为⊙O 的直径,BC、CD 为⊙O 的切线,B、D 为切点.

(Ⅰ)求证;AD∥OC (Ⅱ)若⊙O 的半径为 1,求 AD·OC 的值.

? 3 1 ? t ?x? ? 2 2 (t为参数) (2)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? , 3 ? y ? ?1 ? t ? 2 ?
曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2cos? (? 为参数) . ? y ? 2sin ?

(Ⅰ)将曲线 C 的参数方程转化为普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,试求线段 AB 的长. (3)已知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos2 x ? a ( a ? R , a 为常数). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅲ) 若 x ? [ 0 ,

? 6

? 6

π ] 时, f ( x) 的最小值为-2 , 求 a 的值. 2

本溪市 2009~2010 学年(下)期末考试

高二数学试卷(文科)参考答案
一、选择题:1. D 2.C 3.D 4.C 5.B 6.D 14. 无关 (2) (1, ) 7. C 8. B 9. D 10. B 11.A 12.B 15. 二、填空题:13. {x | x ? 0} 16. (1) 三、解答题: 17.解:设 z1 ? a ? bi (a, b ? R) 由 | z1 |? 5 ,? a2 ? b2 ? 5, 即 a 2 ? b2 ? 25 ?① ?2 分 ??4 分 ??6 分 ??8 分

5 5

?

2

1 R(S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) 3 π (3) 8

由 z1 ? z2 ? (a ? bi)(3 ? 4i) ? (3a ? 4b) ? (4a ? 3b)i 为纯虚数,

? 3a ? 4b ? 0, 4a ? 3b ? 0 ??②

?a ? 4 ?a ? ?4 由①,②解出 ? 或? ? b ? 3 ? b ? ?3

? z1 ? 4 ? 3i 或 z1 ? ?4 ? 3i
18. 解: A ? {x | y ? log2

??10 分

x ?1 x ?1 } ? {x | >0 } ? {x | x ? ?1或x ? 1 } x ?1 x ?1

?? A ? {x | ?1 ? x ? 1}, B ? {x | ( x ? 2)( x ? a) ? 0} U

??4 分 ??6 分 ??8 分 ??12 分

? 痧A ? B ? B,? U A ? B U ? B ? {x | a ? x ? 2} ? 实数 a 的取值范围是 a ? ?1
19. 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1)2 ? 2 , x ?[?5,3]

? f ( x) 的对称轴为 x ? 1 , 1? [?5,3]

??2 分

?当 x ? 1时, f (x取最小值,且 f m i n) ? ) x (

f ( 1? ? )

2 f ?( 34) 5 ?

??4 分 ??6 分

当 x ? ?5时, f (x取最大值,且最大值为 f (x a ) ? ) m x
(Ⅱ)? f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 =(x ? a)2 ? 1 ? a2 , x ?[?5,3] ,

? f ( x)的对称轴为x ? ?a

??8 分 ??10 分 ??12 分

?要使 y ? f ( x) 在区间 [?5,3] 上为单调函数,只要 ?a ? ?5或 ? a ? 3 ? 实数 a 的取值范围是 a ? ?3 或 a ? 5
20. 解: (Ⅰ)? f ( x) 为奇函数,? f (? x) ? ? f ( x)

?当 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?2x

2

?2 x



??4 分

(Ⅱ)由于 y ? 2x 在 (??, ??) 上为增函数

? 当 x ? 0 时, f ( x) ? 2x

2

?2 x

? 2( x?1)

2

?1

? 2?1 ?
2

1 , 2 1 2
??8 分

当 x ? 0 时, f ( x) ? ?2x

2

?2 x

? ?2( x ?1)

?1

? ?2?1 ? ?

1 1 ? f ( x) 的值域为 (??, ? ] ? [ , ??) 2 2
??2 x2 ? 2 x , x ? 0 ??2( x ?1)2 ?1 , x ? 0 ? ? ?? (Ⅲ)由(Ⅰ)可知 f ( x) ? ? 2 2 x ?2 x , x ? 0 ? 2( x ?1) ?1 , x ? 0 ?2 ? ?
? f ( x) 的增区间为 (??,0) , (0, ??)
21. 证明:要证 lg

??12 分 ??2 分 ??4 分 ??6 分

a?b b?c c?a ? lg ? lg ? lg a ? lg b ? lg c 成立 2 2 2 a?b b?c c?a 只要证 lg( ? ? ) ? lg(abc) 2 2 2 a?b b?c c?a 即证 ? ? ? abc 2 2 2

? a , b, c 是不全相等的正数,?


a?b b?c c?a ? ? ? ab bc ca ? abc ??8 分 2 2 2
??10 分 ??12 分

a? b b c ? a ? c ? ? ? abc 成立 2 2 2

?原不等式成立.
22 .(1)解: (Ⅰ)证明:如图,连接 DB、OD,

?BC、CD 是⊙O 的两条切线 ?BD⊥OC,??2 ? ?3 ? 90?
??2 分

又 AB 为⊙O 的直径,?AD⊥DB, ?1 ? ?2 ? 90? ,

??1 ? ?3,? AD ∥ OC
(Ⅱ)? AO=OD , ??1 ? ?A ? ?3 , 且?ADB ? ?ODC ? 90?

??6 分 ??8 分 ??12 分

?R t B A D ? ?

R t C O? ? , D

? A D ?O C ? A B 2 O D ?

? x 2 ? 4cos2 ? ? x ? 2cos? (2)解: (Ⅰ)由 ? ,得: ? 2 (? 为参数) (? 为参数) 2 ? y ? 2sin ? ? y ? 4sin ?
故得曲线 C 即圆的普通方程为: x 2 ? y 2 ? 4 ??4 分

? 3 1 ? t ?x? ? 2 2 (t为参数) (Ⅱ)将 ? 代入方程 x 2 ? y 2 ? 4 中,得 4t 2 ? 2 3t ? 9 ? 0 ?6 分 3 ? y ? ?1 ? t ? 2 ?
? t1 ? t2 ? 3 9 , t1 ? t2 ? ? 2 4
39 2
??8 分 ??12 分

?线段 AB 的长为 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1 ? t2 ?
? 6 2? ? 函数 f ( x) 的最小正周期 T= ?? 2 ? 6

(3)解: (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos2 x ? a ? 2sin(2 x ?

?
6

)?a

? 3分 ??4 分

(Ⅱ)函数 f ( x) 的单调递减区间满足: 2 x ?

?
6

?[2k? ?

?
2

, 2k? +

3? ] (k ? Z) ??6 分 2
??8 分 ??10 分 ?? 12 分

2? ] (k ? Z) 6 3 ? 1 π ? ? 7? (Ⅲ)若 x ? [ 0, ]时, 2 x ? ? [ , ] ? sin(2 x ? ) 的最小值为 ? 6 2 2 6 6 6 1 ?此时 f ( x) 的最小值为-2, ?有 2 ? (? ) ? a ? ?2 ? a ? ?1 . 2

?减区间为 k? ? [

?

, k? +


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