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2019-2020年新版高中数学人教A版必修5课件:第二章数列 习题课2 _图文

2019-2020年新版高中数学人教A版必修5课件:第二章数列 习题课2 _图文

习题课(二) 数列求和
-1-

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D 典例透析 IANLITOUXI

1.巩固等差数列与等比数列的求和公式. 2.掌握数列求和的几种基本方法,并能应用这些方法解决一些简 单的求和问题.

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D 典例透析 IANLITOUXI

1.若在等差数列{an}中,首项为a1,公差为d,则其前n项和为

Sn=na1+

(-1) 2



=

(12+).

【做一做1】 在等差数列{an}中,a1=6,a4=0,则其前n项和

Sn=

.

答案:7n-n2

2.在等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,则当q=1时,其前n项和为

Sn=na1,当q≠1时,其前n项和为

Sn=

1(1-) 1-

=

11--.

【做一做2】 在等比数列{an}中,a3=2,a6=16,则其前n项和

Sn=

.

答案:2n-1?

1 2

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D 典例透析 IANLITOUXI

数列求和的常用方法 剖析(1)分组求和与并项求和 如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合而成,并且各独 立项也可组成等差数列或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆 项后利用公式求解. 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解. (2)裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂 项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆 项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项.

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(3)错位相减法
若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对 应项乘积组成的新数列为{anbn}.当求该数列的前n项和时,常常将 {anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减, 即可转化为特殊数列的求和,这种数列求和的方法称为错位相减法.

题型一 题型二 题型三

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分组求和与并项求和

【例 1】

(1)求数列1

1 2

,

2

1 4

,

3

1 8

,



,



+

1 2

, … 的前项和;

(2)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1).

分析(1)中分别对数列{n}与

1 2

进行求和,再相加;(2)中两项一组

并项求和.

解(1)Sn=1

1 2

+

2

1 4

+

3

1 8

+

?

+



+

1 2

=(1+2+3+…+n)+

1 2

+

1 4

+

1 8

+



+

1 2

=

(+1) 2

+

1

?

21.

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(2)当n为奇数时,
Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) =2·2-1 + (?2 + 1) = ?. 当=2n·为2 =偶数. 时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+(2n-1)] 故Sn=(-1)nn(n∈N*). 反思某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比 数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得 出原数列的和.有些数列相邻两项的和是同一个常数或构成等差数 列,这些数列的求和通常用并项法,但要注意对n分奇偶数讨论.

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【变式训练1】 (1)数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2 020等于 ( ).
A.1 010 B.-1 010
C.2 020 D.-2 020 解析:S2 020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 019+2 020)=1 010. 答案:A

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(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….

①求其通项公式an;

②求这个数列的前n项和Sn.

解①an=1+2+22+…+2n-1=

1-2 1-2

=

2

?

1.

故这个数列的通项公式为an=2n-1.

②Sn=a1+a2+a3+…+an

=(21-1)+(22-1)+(23-1)+…+(2n-1)

=(2+22+23+…+2n)-n=

2(1-2) 1-2

?



=

2

+

1

?



?

2.

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裂项相消法求和

【例2】 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和

为Sn.

(1)求an及Sn;

(2)令

bn=

1 2-1

(∈N*),求数列{bn}的前

n

项和

Tn.

解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,

∵a3=7,a5+a7=26,

∴a1+2d=7,2a1+10d=26,

解得a1=3,d=2.

由于

an=a1+(n-1)d,Sn=

(1+ 2

),

∴an=2n+1,Sn=n(n+2).

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(2)∵an=2n+1,

∴ 2 ? 1 = 4( + 1).

∴bn=

1 4(+1)

=

1 4

1

-

1 +1

,

Tn=b1+b2+…+bn=

1 4

1-

1 2

+

1 2

-

1 3

+



+

1

-

1 +1

11



= 4 1- + 1 = 4( + 1).

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= 4(+ 1).

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反思1.若数列{an}的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项 相消法求和.

2.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,

保留了哪些项.

3.常见的裂项相消技巧有:

(1)

1 (+1)

=

1

?

1 +1

;

(2)

1 (2-1)(2+1)

=

1 2

1 2-1

-

1 2+1

;

1 (+)

=

1

1

-

1 +

;

(3)

1 +1+

=

+ 1 ?

;

(4)若数列{an}为等差数列,公差

d≠0,则1+1

=

1

11
- +1

.

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题型一 题型二 题型三

【变式训练2】 在等比数列{an}中,an>0(n∈N*),公比q∈(0,1),且

a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn=5-log2an,数列{bn}的前n项和为Sn,设

Tn=

1 1

+

1 2

+

?

+

1

,

求.

解(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,∴ 32 + 235 + 52 = 25.

又an>0,∴a3+a5=5.

又a3与a5的等比中项为2,∴a3a5=4.

∵q∈(0,1),∴a3>a5,∴a3=4,a5=1.

∴q=

1 2

,

1

=

16.

∴an=16×

1 2

-1
= 25 ? .

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(2)∵bn=5-log2an=5-(5-n)=n,

∴bn+1-bn=1.

∴数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列.

∴Sn= (2+1).

∴Tn=

1 1

+

1 2

+

?

+

1

=2

1-

1 2

+

11
2-3

+…+

11
- +1

=2

1-

1 +1

= 2+1.

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错位相减法求和

【例3】 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且

2a1,a2,a3+1成等比数列.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记

bn=

3

的前项和为,

求.

分析(1)列方程组求出等差数列{an}的首项和公差;(2)利用错位相

减法求Tn.

解(1)设等差数列{an}的公差为d,

∵2a1,a2,a3+1成等比数列,
∴ 22 = 21·(a3+1),
∴(a1+d)2=2a1(a1+2d+1).

则有

(1 + )2 = 21(1 + 2 + 1),

31

+

3×(3-1) 2



=

12,

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解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),

∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.

(2)由(1)知

bn=

3

=

3-2 3

=

(3

?

2)

·31,

于是

Tn=1×

1 3

+

4

×

1 32

+

7

×

1 33

+

?+(3n-2)×

1 3

.



①×

1 3

,



1 3



=

1

×

1 32

+

4

×

1 33

+

7

×

1 34

+

?+(3n-5)×

1 3

+

(3

?

2)

×

1 3+1

,



①-②,得

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2 3



=

1 3

+

3

×

1 32

+

3

×

1 33

+

3

×

1 34

+

?+3×

1 3

?

(3

?

2)

×

1 3+1

=

1 3

+

3

×

1 32

1-31-1 1-13

?

(3

?

2)

×

1 3+1

=

5 6

?

1 2

×

1 3-1

?

(3

?

2)

×

31+1.



Tn=

5 4

?

1 4

×

1 3-2

?

3-2 2

×

1 3

=

5 4

?

6+5 4

×

1 3

.

反思一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列

{an·bn}的前n项和时,就可采用错位相减法. 在写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便
下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

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【变式训练3】 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)

满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

(1)令

cn=



,

求数列{}的通项公式;

(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn.

解(1)因为anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N*),

所以 +1
+1

?



=

2,

即cn+1-cn=2.

所以数列{cn}是首项c1=1,公差d=2的等差数列,故cn=2n-1.

(2)由bn=3n-1知an=cnbn=(2n-1)3n-1,

于是数列{an}前n项和Sn=1·30+3·31+5·32+…+(2n-1)·3n-1,

3Sn=1·31+3·32+…+(2n-3)·3n-1+(2n-1)·3n,

相减得-2Sn=1+2·(31+32+…+3n-1)-(2n-1)·3n=-2-(2n-2)3n,

所以Sn=(n-1)3n+1.

编后语
? 老师上课都有一定的思路,抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路,这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
? ① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题,有的要求回答,有的则是自问自答。一般来说,老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键,若能抓住老师提出的问题深入思考,就可以抓住老师的思路。
? ② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的,若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较,便可以抓住老师的思路。
? ③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语,如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等,这些 用语往往体现了老师的思路。来自:学习方法网
? ④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时,一般有一个推导过程,如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程,这有助于理解记忆结论,也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
? ⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候,最好是做个记号,姑且先把这个问题放在一边,继续听老师讲后面的 内容,以免顾此失彼。来自:学习方法网
? ⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆,而且有利于抓住老师的思路。

2019/7/18

最新中小学教学课件

19

谢谢欣赏!

2019/7/18

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20


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