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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修1-1

【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 2.3.1抛物线及其标准方程课时作业 新人教A版选修1-1

2.3.1 抛物线及其标准方程
课时目标 1.掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及 对应的几何图形.2.会利用定义求抛物线方程.

1.抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离________的点的轨迹叫做抛物 线,点 F 叫做抛物线的________,直线 l 叫做抛物线的________. 2.抛物线的标准方程 (1)方程 y2=±2px,x2=±2py(p>0)叫做抛物线的________方程. (2)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点坐标是__________,准线方程是__________,开口方向 ________. (3)抛物线 y2=-2px(p>0)的焦点坐标是____________,准线方程是__________,开口 方向________. (4)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是__________,开口方向 ________. (5)抛物线 x2=-2py(p>0)的焦点坐标是________,准线方程是________,开口方向 ________.

一、选择题 1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )

A.|a4|

B.|2a|

C.|a|

D.-a2

2.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为

x

x2 y2 轴,焦点在双曲线 4 - 2 =1

上,则抛物线方

程为( )

A.y2=8x

B.y2=4x

C.y2=2x

D.y2=±8x

3.抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M 到焦点的距离是 a(a>p2),则点 M 的横坐标是(

)

A.a+p2

B.a-p2

C.a+p

D.a-p

4.过点 M(2,4)作与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线 l 有( )

A.0 条

B.1 条

C.2 条

D.3 条

5.已知抛物线 y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线

段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( )

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

6.设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点,与

抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比SS△△BACCFF等于(

)

A.45

B.23

C.47

D.12

题号

1

2

3

4

5

6

答案

二、填空题 7.抛物线 x2+12y=0 的准线方程是__________. 8.若动点 P 在 y=2x2+1 上,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是__________. 9.已知抛物线 x2=y+1 上一定点 A(-1,0)和两动点 P,Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横坐

标的取值范围是______________. 三、解答题 10.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,抛物线上的点 M(-3,m)到焦点的距离
等于 5,求抛物线的方程和 m 的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.

11.求焦点在 x 轴上且截直线 2x-y+1=0 所得弦长为 15的抛物线的标准方程.

能力提升

12.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( )

1 A.2

B.1

C.2

D.4

13.求与圆(x-3)2+y2=9 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程.

1.四个标准方程的区分:焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数 的符号确定.当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向;系数为负时,开口方向为坐标轴 的负方向.
2.焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2=2py 通常又可以写成 y=ax2,这与以前学习 的二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程 y=ax2 来求其焦点和准线时, 必须先化成标准形式.

知识梳理

§2.3 抛物线 2.3.1 抛物线及其标准方程
答案

1.相等 焦点 准线

2.(1)标准

p (2)(2,0)

x=-p2

向右

(3)(-p2,0) x=p2 向左

p (4)(0,2)

y=-p2

向上

(5)(0,-p2) y=p2 向下

作业设计

1.B [因为 y2=ax,所以 p=|2a|,即该抛物线的焦点到其准线的距离为|2a|,故选 B.]

x2 y2 2.D [由题意知抛物线的焦点为双曲线 4 - 2 =1 的顶点,即为(-2,0)或(2,0),所以

抛物线的方程为 y2=8x 或 y2=-8x.]

3.B [由抛物线的定义知:点 M 到焦点的距离 a 等于点 M 到抛物线的准线 x=-p2的距

离,所以点 M 的横坐标即点 M 到 y 轴的距离为 a-p2.]

4.C [容易发现点 M(2,4)在抛物线 y2=8x 上,这样 l 过 M 点且与 x 轴平行时,或者 l

在 M 点处与抛物线相切时,l 与抛物线有一个公共点,故选 C.]

5.B

[∵y2=2px

p 的焦点坐标为(2,0),

∴过焦点且斜率为 1 的直线方程为 y=x-p2,即 x=y+p2,将其代入 y2=2px 得

y2=2py+p2,即 y2-2py-p2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=2p,∴y1+2 y2=p

=2,∴抛物线的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1.]

6.A [如图所示,设过点 M( 3,0)的直线方程为 y=k(x- 3),代入 y2=2x 并整理,

得 k2x2-(2 3k2+2)x+3k2=0,

则 x1+x2=2

3k2+2 k2 .

因为|BF|=2,所以|BB′|=2.

不妨设 x2=2-12=32是方程的一个根,

可得 k2=???23-3


3???2

所以 x1=2.

SS△△BACCFF=2121||BACC||· ·dd=||BACC||=||BABA′′||

24 =2+12=5.]

7.y=3 解析 抛物线 x2+12y=0,即 x2=-12y,故其准线方程是 y=3.

8.y=4x2

9.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析 由题意知,设 P(x1,x21-1),Q(x2,x22-1), 又 A(-1,0),PA⊥PQ,-*6]=(-x,-2-y),→PB·→PQ=0, 即(-1-x1,1-x21)·(x2-x1,x22-x21)=0, 也就是(-1-x1)·(x2-x1)+(1-x21)·(x22-x21)=0.
∵x1≠x2,且 x1≠-1,∴上式化简得 x2=1-1 x1-x1=1-1 x1+(1-x1)-1,
由基本不等式可得 x2≥1 或 x2≤-3. 10.解 设抛物线方程为 y2=-2px (p>0),

则焦点 F???-p2,0???,由题意,

??m2=6p,

得? ??

m2+???3-2p???2=5,

解得???mp==24,6, 或???pm= =4-,2 6.

故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m=±2 6.

抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为 x=2.

11.解 设所求抛物线方程为 y2=ax (a≠0).



直线方程变形为 y=2x+1,



设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①,整理得 4x2+(4-a)x+1=0,

则|AB|=

+22 ??????a-4 4???2-4×14???= 15.

解得 a=12 或 a=-4.

∴所求抛物线方程为 y2=12x 或 y2=-4x.

12.C [本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系.

方法一 由抛物线的标准方程得准线方程为 x=-p2.

∵准线与圆相切,圆的方程为(x-3)2+y2=16,

∴3+p2=4,∴p=2.

方法二 作图可知,抛物线 y2=2px (p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切于点(-

1,0),

所以-p2=-1,p=2.]

13.解 设定圆圆心 M(3,0),半径 r=3,动圆圆心 P(x,y),半径为 R,则由已知得下

列等式

??|PM|=R+3 ???|x|=R



∴|PM|=|x|+3.

当 x>0 时,上式几何意义为点 P 到定点 M 的距离与它到直线 x=-3 的距离相等,

∴点 P 轨迹为抛物线,焦点 M(3,0),准线 x=-3,

∴p=6,抛物线方程为 y2=12x.

当 x<0 时,|PM|=3-x, 动点 P 到定点 M 的距离等于动点 P 到直线 x=3 的距离,点 P 轨迹为 x 轴负半轴, 当 x=0 时,不符合题意,舍去. ∴所求轨迹方程为 y2=12x (x>0)或 y=0 (x<0).


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