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2006年荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题及答案 评分标准

2006年荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题及答案  评分标准

2006 年广州市荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题评分标准

2006 年广州市荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题评分标准 第 I 卷(选择题,共 44 分) 一、 题号 答案 选择题 1 2 D C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 C 8 D 9 B 10 B 11 D

第 II 卷(非选择题,共 106 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 12 13 14 题号 答案
y(x ? 1 ? 2) ( x ? 1 ? 2)

15 5

16 10

1

59 14

三、解答题 17、解: 当 x ? 0 时 f ( x ? 1) ? 1 则不等式变为 ( x ? 1) ? x ? 3, 解 得 x ? 1 当 x ? 0 时 f ( x ? 1) ? ? 1 则不等式变为 ? ( x ? 1) ? x ? 3, 解 得 x 为 任 意 实 数 不等式 ( x ? 1) f ( x ? 1) ? x ? 3 的解集是 ?x | x ? 1?

18、解: 解法 1:先求交点坐标,设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0
2 2

x1 ? y1 ?

?15 ? 2 ?15 ?
6

3

x2 ? y2 ?

?5 ? 2 ?5 ? 2

3

x-y-5=0 弦长 AB= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ?

3

3

3?3 ?

2

解法 2:把 x=y+5 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 中得 2 y 2 ? 1 0 y ? 1 1 ? 0 所以 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ( ? 5) 2 ? 4 ? 同理得 ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 3 弦长 AB= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ?
3?3 ? 6

11 2

? 3

1

2006 年广州市荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题评分标准

解法 3:由 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 得圆心(2,-2)半径 2 圆心到直线的距离 d ?
2?2?5 1 ?1
2 2

?

1 2

?

2 2

根据勾股定理弦长 AB= 2 ( 2 ) 2 ? (

2 2

)

2

? 2?

6 2

?

6

19、解:⑴由

? ? a 1 ? 3 d ? 84 ? 10 ? 9 ? d>0 ?10 a 1 ? 2 ? 11 ? 10 ? d<0 ?11 a 1 ? 2 ?

解之得

-56<d<-42

20、解:

21、解:把 x=1 代入原方程并整理得(b+4)k=7-2a 要使等式(b+4)k=7-2a 不论 k 取什么实数均成立, 只有 ?
?b ? 4 ? 0 ?7 ? 2 a ? 0

解之得

a ?

7 2

, b ? ?4

2

2006 年广州市荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题评分标准

2 2 22、解: x ? 2 ( 2 m ? 3) x ? 4 m ? 14 m ? 8 ? 0

? = ? ? 2 ( 2 m ? 3) ? -4 ( 4 m ? 1 4 m ? 8) = 8 m ? 4
2 2

x=

2 ( 2 m ? 3) ? 2

8m ? 4

= ( 2 m ? 3) ?

2m ? 1

又 12<m<40 所以 5< 2 m ? 1 <9, 方程有两个整数根必须使 2 m ? 1为 整 数 且 m 为整数,所以 2 m ? 1 = 7 得 m=24

23、解: (1)A(x1,0),B(x2,0) . 则 x1 ,x2 是方程 x2-mx+m-2=0 的两根. ∵x1 + x2 =m , x1·2 =m-2 <0 即 m<2 ; x
2 又 AB=∣x1 — x2∣= ( x1 + x 2) ? 4 x1 x 2

y
? 5

,

C

∴m2-4m+3=0 . 解得:m=1 或 m=3(舍去) , ∴m 的值为 1 . (2)M(a,b),则 N(-a,-b) . ∵M、N 是抛物线上的两点, ∴? ?
? ? a ? m a ? m ? 2 ? b ,? ①
2

M x O N

? ? a ? m a ? m ? 2 ? ? b .? ② ?
2

①+②得:-2a2-2m+4=0 . ∴a2=-m+2 . ∴当 m<2 时,才存在满足条件中的两点 M、N. ∴a ? ? 2 ? m . 这时 M、N 到 y 轴的距离均为 2 ? m , 又点 C 坐标为(0,2-m),而 S△M N C = 27 , ∴2×
1 2

×(2-m)× 2 ? m =27 .

∴解得 m=-7 .

3

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24、解: (1)连结 EC 交 x 轴于点 N(如图) . ∵ A、B 是直线 y
? ? 3 3 x ? 3

分别与 x 轴、y 轴的交点.∴ A(3,0) ( 0 , ,B 的中点. ∴ EC⊥OA.

3)



又∠COD=∠CBO. ∴
ON ? 1 2 OA ? 3 2

∴ ∠CBO=∠ABC.∴ C 是
OB 2 ? 3 2

, EN ?


NC ? EC ? EN ? 3 2

连结 OE. ∴

EC ? OE ?

3

. ∴

. C 点的坐标为 ∴ (

3 2

,?

3 2

) .

(2)设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为 y ? ax ? x ? 3 ? . ∵ C( ∴ y? (3)∵
3 2 ,? 3 2

) .
2

∴?

3 2

? a?

3 3 ( ? 3) 2 2

.∴

a ?

2 9

3



2 3 9

x ?

2 3 3

x 为所求.

tan ? BAO ?

3 3



∴ ∠BAO=30°,∠ABO=60°.
? OBD ? 1 2 ? ABO ? 1 2 ? 60 ? ? 30 ?

由(1)知∠OBD=∠ABD.∴



∴ OD=OB·tan30°=1.∴ DA=2. ∵ ∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.∴ △ADP 是等边三角形. ∴ ∠DAP=60°. ∴ ∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即 PA⊥AB. 即直线 PA 是⊙E 的切线.

4


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