9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2019-2020高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文

2019-2020高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文

预习导学

课堂讲义

当堂检测

三 简单曲线的极坐标方程

1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标方程. 3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.

[知识链接] 1.曲线的极坐标方程是否唯一?
提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,所以曲 线上的点的极坐标有多种表示,曲线的极坐标方程不唯一. 2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化,若已知一曲线 的极坐标方程是ρ=2cos θ,那么该曲线对应怎样的几何图形? 提示 由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x2+y2=2x,即标准方程 为(x-1)2+y2=1,曲线为以(1,0)为圆心,半径为1的圆.

[预习导引] 1.曲线与方程的关系
在平面直角坐标系中,平面曲线C可以用方程f(x,y)=0表 示,曲线与方程满足如下关系: (1)曲线C上 点的坐标 都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为 坐标的点 都在曲线C上.

2.曲线的极坐标方程
一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极 坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ)=0 , 并 且 坐 标 适 合方程 f(ρ,θ)=0 的点都在曲线C上,那么方程 f(ρ,θ)= 0叫做曲线C的极坐标方程.

3.常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

圆心在极点,半径 为 r 的圆

圆心为(r,0),半径 为 r 的圆

圆心为????r,π2 ????,半 径为 r 的圆

极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π )

ρ=2rcos θ

????-π2 ≤θ

≤π2

?? ??

ρ=2rsin θ
(0≤θ<π )

过极点,倾斜角为 α 的直线
过点(a,0),与极轴 垂直的直线
过点????a,π2 ????,与极轴 平行的直线

θ=α或θ=α+π

pcos θ=a

????-π2 <θ

π <2

?? ??

psin θ=a (0<θ<π )

要点一 圆的极坐标方程
例 1 求圆心在 C????2,3π2 ????处并且过极点的圆的极坐标方程,并 判断点????-2,sin5π6 ????是否在这个圆上.
解 如图,由题意知,圆经过极点 O,OA 为其 一条直径,设 M(ρ,θ )为圆上除点 O,A 以外 的任意一点,则|OA|=2r,连接 AM,则 OM⊥MA. 在 Rt△OAM 中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即 ρ= 2rcos????3π2 -θ????,∴ρ =-4sin θ ,经验证,点(0, 0),A????4,3π2 ????的坐标满足上式.∴满足条件的圆 的极坐标方程为 ρ=-4sin θ .

∵sin5π6 =12,∴ρ =-4sin θ =-4sin5π6 =-2, ∴点????-2,sin5π6 ????在此圆上. 规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:(1)建 立适当的极坐标系(本题无需建);(2)在曲线上任取一点M(ρ, θ);(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;(4)用极坐标(ρ, θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;(5)证明所得的 方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可). 2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条 件,并进行坐标表示.

跟踪演练1 曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x=0,以原点为 极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标 方程为________. 解析 直角坐标方程x2+y2-2x=0可化为x2+y2=2x,将ρ2= x2+y2,x=ρcos θ代入整理得ρ=2cos θ. 答案 ρ=2cos θ

要点二 射线或直线的极坐标方程

例 2 如图,在极坐标系中,直线 l 过 M????3,π2 ????且该直

线与极轴的正方向成π4 ,求此直线 l 的极坐标方程.

解 法一 设直线上任意一点为 P(ρ,θ ),在△OMP 中

∠OMP=π2 +π4 =34π ,∠MPO=θ-π4 .根据正弦定理得

ρ 3π sin 4

= sin????θ

3 -π4

,即
?? ??

ρsin????θ

-π4 ????=322.

法二 设直线上任意一点为 P(ρ,θ ),点 M 的直角坐标为(0,3), 直线 MP 的倾斜角为π4 ,∴直线 l 为 y=x+3,化直角坐标方程为 极坐标方程为 ρsin θ =ρcos θ +3,∴ρ sin????θ -π4 ????=322. 规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所
满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数的方程;
法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极
坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优
化了思维方式,而且简化了解题过程.

跟踪演练 2 求以 A(1,0)为端点,倾斜角为π4 且在极轴上方的射 线的极坐标方程.

解 由题意,设 M(ρ,θ )为射线上任意一点,根据例题可知,

ρ sin????π4 -θ????= 22,化简得 ρ(cos θ -sin θ )=1. 经检验点 A(1,0)的坐标适合上述方程.

因此,以 A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为

ρ

(cos

θ

-sin

θ

)=1????其中ρ≥0,0≤θ

π <4

????.

要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化

例3 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,

极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 ρsin????θ -π4 ????=0 与曲线 C 相交于 A、B,求|AB|.



(1)因为?????yx==ρρscions

θ θ

, , 所以

ρ2=x2+y2,由

ρ=2sin

θ



4cos θ ,得 ρ2=2ρsin θ +4ρcos θ ,

∴x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.

(2)由 ρsin????θ

-π4

????=0,得

?
ρ?
?

2 2 sin

θ



2 2 cos

θ

?
?=0,
?

即 ρsin θ -ρcos θ =0,∴x-y=0.

由于圆(x-2)2+(y-1)2=5 的半径为 r= 5,圆心(2,1)到直

线 x-y=0 的距离为 d=|2-21|= 12,∴|AB|=2 r2-d2=3 2.

规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x =ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可;而极坐标方程化 为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的 形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及 方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方 程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.2.对方程 进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.

跟踪演练3 (1)将x2-y2=a2化为极坐标方程;
(2)将 ρ=2asin θ 化为直角坐标方程. (3)将 θ=π3 化为直角坐标方程.
解 (1)直接代入互化公式,ρ 2cos2 θ -ρ2sin2 θ =a2, ∴ρ 2cos 2θ =a2,这就是所求的极坐标方程. (2)两边同乘以 ρ 得 ρ2=2a·ρsin θ .∴x2+y2=2ay,这就是要 求的直角坐标方程. (3)tan θ =yx,∴tanπ3 =yx= 3,化简得 y= 3x(x≥0).

要点四 极坐标方程的应用
例4 从极点O作直线与另一直线l:ρcos θ=4相交于点M, 在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.
(1)求点P的轨迹方程; (2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.
解 (1)设动点 P 的极坐标为(ρ,θ ),M 的极坐标为 (ρ0,θ ),则 ρρ0=12.∵ρ 0cos θ =4, ∴ρ =3cos θ 即为所求的轨迹方程.

(2)将 ρ=3cos θ 化为直角坐标方程,得 x2+y2=3x,即???x-32???2 +y2=???32???2,知 P 的轨迹是以???32,0???为圆心,半径为32的圆.直经 l 的直角坐标方程是 x=4.结合图形易得|RP|的最小值为 1.
规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、 简单的解法.当然,因为建系的不同,曲线的极坐标方程也 会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化 运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.

跟踪演练4 在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2 +(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐
标系.
(1)求 C1,C2 的极坐标方程; (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ=π4 (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交 点为 M,N,求△C2MN 的面积.
解 (1)因为 x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ =-2,C2 的极坐标方程为: ρ 2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0.

(2)将 θ=π4 代入 ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0, 得 ρ2-3 2ρ +4=0,解得 ρ1=2 2,ρ 2= 2.故 ρ1-ρ2= 2, 即|MN|= 2.因为 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为12.

1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,2
π+θ),(-ρ,π+θ),(-ρ,-π+θ)都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同,所以对于曲线上的点 的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标 方程即可.例如对于极坐标方程 ρ=θ,点 M????π4 ,π4 ????可以表示 为????π4 ,π4 +2π????或????π4 ,π4 -2π????或????-π4 ,5π 4 ????等多种形式, 其中,只有????π4 ,π4 ????的极坐标满足方程 ρ=θ.
2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点M(ρ,θ),探求
ρ,θ的关系,经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.

1.极坐标方程分别为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是

()

A.3

B. 2

C.1

D.

2 2

解析 极坐标方程化直角坐标方程为 x2+y2=x 和 x2+y2=y,

它们的圆心分别是???12,0???,???0,12???,圆心距是

2 2.

答案 D

2.4ρ sin22θ=5 表示的曲线是(

)

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

解析 4ρsin2θ2 =5?4ρ1-c2os θ=5?2ρ=2ρcos θ+5. ∵ρ= x2+y2,ρcos θ=x,代入上式得 2 x2+y2=2x+5,

两边平方整理得 y2=5x+245,∴它表示的曲线为抛物线.

答案 D

3.已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin????θ -π4 ????= 2,点 A 的极坐标 为 A????2 2,7π4 ????,则点 A 到直线 l 的距离为________.
解析 由 2ρsin????θ-π4 ????= 2得 y-x=1.∴x-y+1=0.
而点 A 对应直角坐标为 A(2,-2),则点 A(2,-2)到直线 x-y+1=0 的距离为|2+22+1|=522.

答案

52 2

4.设 P????2,π4 ????,直线 l 经过 P 点且与极轴所成的角为3π4 ,求直 线 l 的极坐标方程.
解 如图,设 M(ρ,θ )为直线 l 上除 P 点外 的任意一点,连接 OM、OP,直线 l 交 Ox 于 点 A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,
∠xAM=3π4 ,∠AOP=π4 ,故∠OPM=π2 ,∠MOP=θ-π4 , 所以有|OM|cos∠MOP=|OP|,即 ρcos????θ -π4 ????=2,显然 P 点也 在这条直线上.∴直线 l 的极坐标方程为 ρcos????θ -π4 ????=2.

精品精品

在多年的高三复习备考中,老师认为以下六句话可以作为引导高三学生科学备考和应考的基本指南。这六句话就是:基础决定能力;过程决定结果;细节决定成败;心态决定状态;态度决定高度;落实决定一切。基础决定能力 毫无疑问,高考复习的主要目的就是要回归基础,巩固基础,夯实基础。没有基础,就没有能力。高考中每一道题的考查都离不开基础,可谓成也基础,败也基础。基础分拿不下来,总分就无法上去。为此,对基础知识要有足够的重视和耐心,不能急功近利,基础往往来自多次的重复和测试。过程决定结果有些学生因为平时对复习不够重视或时间投入不足,所以往往到了考试结果出来以后才感到紧张。复习备考的过程事实上就是一个系统过程,每一天、每一节课、每一次考试都是备考过程的一部分。如果平时在某个方面不够重视的话,必然就会产生不良的结果。只有重视过程的投入和调控,才能期待良好的结果。节决定成败里所说的细节主要是指考试时出现的细节性错误。
f z d x y


推荐相关:

2019-2020版高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方....ppt

2019-2020高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单曲线的极坐标方程 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标...


2019-2020高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程....ppt

2019-2020高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 预习导学 课堂讲义 当堂检测 三 简单曲线的极坐标方程 1.了解极坐标方程的意义....


2019-2020学年度最新高中数学第一讲坐标系三简单曲线的....ppt

2019-2020学年度最新高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单曲线的极坐标方程 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆...


2019-2020学年高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标....ppt

2019-2020学年高中数学第1坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单曲线的极坐标方程 考纲定位 重难突破 1.了解极坐标方程的意义. 2....


2019-2020高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标方程....ppt

2019-2020高中数学第1坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单曲线的极坐标方程 考纲定位 重难突破 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握...


2019-2020学年高中数学第一章坐标系三简单曲线的极坐标....ppt

2019-2020学年高中数学第一坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_ - 三、 简单曲线的极坐标方程 [学习目标] 1.会写过极点的直线方程和圆心在...


...3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文.ppt

2019学年高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单曲线的极坐标方程 学习目标 1.理解圆与直线的极坐 标方程,能在极坐标...


...版数学选修4-4 第1讲 3 简单曲线的极坐标方程课件PP....ppt

2019-2020人教A版数学选修4-4 第1讲 3 简单曲线的极坐标方程课件PPT_高二数学_数学_高中教育_教育专区。第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 栏目导航 ...


版高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新....ppt

高中数学第一讲坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教a版选修4_4 - 三 简


...课时直线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文.ppt

2018_2019学年高中数学第一讲坐标系三第二课时直线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 第2课时 直线的极坐标方程 学习目标...


2019_2020学年高中数学第1讲坐标系3简单曲线的极坐标方....ppt

2019_2020学年高中数学第1讲坐标系3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版 - 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程 学习目标:1.了解极坐标方程的意义,了解曲线...


...高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程课....doc

2019-2020学年高中数学 第一讲 坐标系 三 简单曲线的极坐标方程课堂导学案 新人教A版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。2019-2020 学年高中数学 第一讲 坐标...


....3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4__图文.ppt

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_ - 三 简


高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教....ppt

高中数学第1坐标系三简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单


...课时直线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文.ppt

2019学年高中数学第一讲坐标系三第二课时直线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 第2课时 直线的极坐标方程 学习目标 1....


...系三第一课时圆的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文.ppt

2019学年高中数学第一讲坐标系三第一课时圆的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 第1课时 圆的极坐标方 程 学习目标 1....


...高中数学第1章坐标系三简单曲线的极坐标方程课件选....ppt

新人教A版高中数学第1坐标系三简单曲线的极坐标方程课件选修4_4 - 三 简单


...4优化课件:第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 _图文.ppt

2019-2020数学人教A版选修4-4优化课件:第一讲 三 简单曲线的极坐标方程 - 三 简单曲线的极坐标方程 考纲定位 重难突破 1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握几...


...1.3 简单曲线的极坐标方程课件 新人教A版选修4-4_图....ppt

2017-2018学年高中数学 第一讲 坐标系 1.3 简单曲线的极坐标方程课件 新人教A版选修4-4_数学_高中教育_教育专区。三 简单曲线的极坐标方程 学习目标 1.理解...


...3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4_图文.ppt

2017年高中数学第一坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4_4 - 三 简单曲线的极坐标方程 【自主预习】 1.极坐标方程与平面曲线 在极坐标系中,...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com