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2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案

2018-2019学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 四 直角三角形的射影定理学案

四 直角三角形的射影定理
[学习目标] 1.通过实践,结合生活中的实例,理解点在直线上的正射影,线段在直线上的正射影的概念. 2.理解射影定理,能应用定理解决相关的几何问题. [知识链接] 已知:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D.
(1)图中有几条线段? (2)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式? (3)有几个带有比例中项的比例式?由上可得到哪些等积式? 提示 (1)6 条,分别记为 AB,AC,BC,CD,AD,BD. (2)由图中△ACD∽△CBD∽△ABC,可分别写出三组比例式:ACBB=BBCD=ACCD;ACBB=BBCD=ACCD;AABC=BCCD=CDAA. (3)只有三个比例中项的表达式: BCDD=CADD,ACBB=BBCD,AABC=CDAA. 可得到等积式:CD2=AD·BD,BC2=BD·BA,AC2=AD·AB. [预习导引] 1.射影 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫作这个点在这条直线上的正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射 影之间的线段,叫作这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
2.射影定理

文字 语言

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两条直角边分别是 它们在斜边上射影与斜边的比例中项

符号 在 Rt△ABC 中,AC⊥CB,CD⊥AB 于 D,则 CD2=BD·AD;AC2=AD·AB;BC2=BD·BA
语言

图形 语言

作用 确定成比例的线段

要点一 射影的概念

例 1 如图所示,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,

∠BCD=60°,AD=1,AB=2.求:

(1)线段 AD 在直线 BC 上的射影长;

(2)线段 DC 在直线 BC 上的射影长;

(3)线段 BC 在直线 DC 上的射影长.

解 (1)过 D 作 DD1⊥BC 于 D1,则 BD1 就是线段 AD 在直线 BC 上的射影,如图所示,

∵四边形 ABD1D 为矩形,∴BD1=AD=1,

∴线段 AD 在直线 BC 上的射影长为 1.

(2)由(1)的作图知,D1C 即为线段 DC 在直线 BC 上的射影.∵DD1=AB=2,∠DCB=60°,

∴D1C=tanD16D0°=

2 =2 3

3

3.

∴线段 DC 在直线 BC 上的射影长为2 3 3. (3)过 B 作 BB1⊥DC 于 B1,则 B1C 就是线段 BC 在直线 DC 上的射影,如图所示. ∵BC=BD1+D1C=1+2 3 3,

∴B1C=BC·cos

60°=???1+2 3 3???×12=12+

3 3.

∴线段 BC 在直线 DC 上的射影长为12+ 33. 规律方法 (1)射影实质上就是平行投影. (2)当线段 AB 所在直线与直线 l 平行时,设其在 l 上的射影为 A1B1,则有 AB=A1B1,如图(1)所示 ;当线段 AB 所在直线与直线 l 不平行且不垂直时,设其在 l 上的射影为 A1B1,则有 AB>A1B1,如图(2)所示;当线段 AB 与直 线 l 垂直时,线段 AB 在 l 上的射影是一个点 A1,如图(3)所示.
跟踪演练 1 如图所示,AD⊥BC,EF⊥BC,指出点 A,B,C,D,E,F,G 和线段 AB,AC,AF, FG 在直线 BC 上的射影. 解 由 AD⊥BC,EF⊥BC 知:A 在 BC 上的射影是 D;B 在 BC 上的射影是 B;C 在 BC 上的射影 是 C;E,F,G 在 BC 上的射影都是 E;AB 在 BC 上的射影是 DB;AC 在 BC 上的射影是 DC;AF 在 BC 上的射影是 DE,FG 在 BC 上的射影是点 E. 要点二 与射影定理有关的计算问题 例 2 如图,D 为△ABC 中 BC 边上的一点,∠CAD=∠B,若 AD=6,AB=10,BD=8,求 CD 的长. 解 在△ABD 中,AD=6,AB=10,BD=8,满足 AB2=AD2+BD2,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BC.又∠CAD=∠B,且 ∠C+∠CAD=90°,∴∠C+∠B=90°. ∴∠BAC=90°.∴在 Rt△BAC 中,AD⊥BC,由射影定理可知,AD2=BD·CD, ∴62=8×CD,∴CD=92. 规律方法 (1)已知三角形是直角三角形,或者有直角、垂线等,这是在直角三角形中应用射影定理必需的条件. (2)运用射影定理进行相关计算时,常常还要与直角三角形的其他性质相结合,如三角函数、面积公式、勾股定 理等.
跟踪演练 2 如图所示,△ABC 中,AB=m,∠A∶∠B∶∠ACB=1∶2∶3,CD⊥AB 于 D.求 BD, CD 的长. 解 设∠A=x,∠B=2x,∠ACB=3x,由∠A+∠B+∠ACB=180°,得 x+2x+3x=180°, ∴x=30°.

∴∠A=30°,∠B=60°,∠ACB=90°. ∵AB=m,∴BC=12m. 又∵CD⊥AB,∴BC2=BD·AB, 即???12m???2=BD·m,∴BD=14m. ∴AD=AB-BD=m-14m=34m. 由 CD2=AD·BD=34m·14m=136m2,得 CD= 43m. ∴BD=14m,CD= 43m. 要点三 与射影定理有关的证明问题 例 3 如图,已知在矩形 ABCD 中,AB∶BC=5∶6,点 E 在 BC 上,点 F 在 CD 上,EC=16BC, FC=35CD,FG⊥AE 于点 G.求证:AG=4GE. 证明 ∵AB∶BC=5∶6, ∴设 AB=5k,BC=6k(k>0). ∴在矩形 ABCD 中,有 CD=AB=5k,BC=AD=6k,∠B=∠C=∠D=90°. ∵EC=16BC, ∴EC=16×6k=k.∴BE=5k. ∵FC=35CD,∴FC=35×5k=3k. ∴DF=CD-FC=2k. 在 Rt△ADF 中,由勾股定理得 AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2, 同理可得 AE2=50k2,EF2=10k2. ∴AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2. ∴△AEF 是直角三角形.

∵FG⊥AE,由直角三角形的射影定理, 得 EF2=GE·AE. ∴AE=5 2k,∴GE=EAFE2=510k22k= 2k. ∴4GE=4 2k. 又∵AG=AE-GE=5 2k- 2k=4 2k, ∴AG=4GE. 规律方法 ①判断两线段的数量关系时,可设变量使之能表示线段,②在直角三角形中,一般考虑利用射影定 理或勾股定理来做. 跟踪演练 3 如图所示,BD,CE 是△ABC 的两条高,过点 D 的直线分别交 BC 和 BA 的延长线于 G,H 两点,交 CE 于 F,且∠H=∠BCF.求证:GD2=GF·GH. 证明 ∵∠H=∠BCE,∠HBG 是△BCE 与△BHG 的公共角, ∴△BCE∽△BHG. 又 CE⊥BH,∴∠BEC=∠BGH=90°, 即 HG⊥BC.又 BD⊥AC,在 Rt△BDC 中, DG 是斜边 BC 上的高, 由射影定理得 GD2=BG·CG.① 又∠FGC=∠BGH=90°,∠H=∠FCG, ∴△FCG∽△BHG,∴FBGG=CGGH. 即 BG·CG=FG·GH.② 由①②可得 GD2=GF·GH.
1.(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线,垂足即为射影; (2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线,两垂足间的线段就是所求射影. 2.应用射影定理有两个条件:一是直角三角形;二是斜边上的高.应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等 有关量,还可研究相似问题、比例式等问题.

3.直角三角形射影定理的逆定理 如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项,那么这个三角形是直角三角形.

1.在直角三角形 ABC 中,斜边 AB=5 cm,BC=2 cm,D 为 AC 上一点,DE⊥AB 于点 E,且 AD=3.2 cm,则 DE 等 于( )

A.1.24 cm

B.1.26 cm

C.1.28 cm

D.1.3 cm

解析 由已知△ADE∽△ABC,

∴AADB=DBEC,∴DE=3.25×2=1.28.

答案 C

2.如图所示,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,在图中的六条线段中,你认为只要知道几 条线段的长,就可以求出其他线段的长( )

A.1

B.2

C.3

D.4

解析 图中所有三角形都是直角三角形,由勾股定理,射影定理,可知只需知道两条线段的长,就可以求出其 他线段的长.

答案 B

3.如图所示,在矩形 ABCD 中,DE⊥AC 于 E,∠ADE=13∠CDE,则∠EDB=________.

解析 由已知△ADE∽△DBA,

∴∠ADE=∠ABD=∠BDC,

且∠ADE=13∠CDE,

∴∠EDB=12∠ADC=45°.

答案 45°

4.已知线段 a,b(a<b),求作:线段 a,b 的比例中项 c.

解 如图所示.(1)作 AB=b; (2)在 AB 上截取 AD=a; (3)过 D 作 DH⊥AB; (4)以 AB 为直径画半圆交 DH 于 C,连接 AC,BC. 则 AC 即为 a,b 的比例中项 c.

一、基础达标

1.如图所示,在 Rt△MNP 中,MN⊥MP,MQ⊥PN 于点 Q,NQ=3,则 MN 等于( )

A.3PN

B.13PN

C. 3PN

D.9PN

解析 ∵MN⊥MP,MQ⊥PN,∴MN2=NQ·PN,又 NQ=3,∴MN= NQ·PN= 3PN.

答案 C

2.在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,若AACB=34,则BCDD=(

)

A.34

B.43

C.196

D.196

解析 如图,由射影定理得 AC2=CD·BC,AB2=BD·BC

∴AACB22=BCDD=???34???2,即CBDD=196,∴CBDD=196.

答案 C

3.如图所示,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,则( )

A.CE·CB=AD·DB

B.CE·CB=AD·AB

C.AD·AB=CD2

D.CE·EB=CD2

解析 在直角三角形 ABC 中,根据直角三角形射影定理可得 CD2=AD·DB,再根据切割线定理可得 CD2=CE·CB,

所以 CE·CB=AD·DB,故选 A. 答案 A 4.已知在 Rt△ABC 中,CD 是斜边上的高,若 AD=p,BD=q,则 tan A 的值是( )

A.p∶q

B. pq∶q

C. pq∶p

D. p∶ q

解析

由已知可利用射影定理得:CD=

PQ,在 Rt△ACD 中 tan

A=CADD=

pq p.

答案 C

5.如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=3,BE⊥AC,垂足为 E,则 ED=________. 解析 ∵AB⊥BC,BE⊥AC, ∴AC= AB2+BC2=2 3,

由射影定理得:BC2=CE·AC,∴CE= 32 =3 23

2

3.

又在

Rt△BEC

中,cos∠BCE=CBEC=

3 2,

∴∠BCE=30°,∴∠ECD=60°,

由余弦定理可求 DE2=241.∴DE= 221.

答案

21 2

6.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,DE 是 Rt△BCD 斜边 BC 上的高,若 BE=6, CE=2,求 AD 的长.

解 ∵CD⊥AB,即∠CDB=90°,

∵DE⊥BC.由射影定理可知:

DE2=CE·BE=12,∴DE=2 3, CD2=CE·BC=16,∴CD=4,

∵BD2=BE·BC=48,∴BD=4 3, 在 Rt△ABC 中,由射影定理可得:CD2=AD·BD,

∴AD=CBDD2=4163=4 3 3.

二、能力提升

7.如图所示,在△ABC 中,CD⊥AB,BD=AB-12AC,则∠BAC 等于(

)

A.60°

B.30°

C.45°

D.75°

解析 ∵BD=AB-12AC,∴AB-BD=12AC=AD,又∵CD⊥AB,∴∠CDA=90°,在 Rt△ADC 中,由 AD=12AC,则∠BAC =60°.

答案 A

8.如图,已知 Rt△ABC 的两条直角边 AC,BC 的长分别为 3 cm,4 cm,以 AC 为直径的圆与 AB 交于点 D,则 BD =________.

解析 如图,依题意有 AB=5(cm),连接 CD,则 CD⊥AB,所以 BC2=BD·AB,所以 BD=BACB2= 156(cm).

答案

16 5

9.在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD∶BD=2∶3,则△ACD 与△CBD 的面积比为________.

解析 由已知可设 AD=2x,则 BD=3x,

∵∠ACB=90°,CD⊥AB, 由射影定理得:CD2=AD·BD=6x2,

∴CD= 6x,∴S△ACD∶S△CBD=???CBDD???2=??? 36???2=23.

答案

2 3

10.如图所示,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,DF⊥AC 于 F,DE⊥AB 于 E. 求证: (1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF;
AB3 BE (3)AC3=CF. 证明 (1)在 Rt△ABC 中,AD⊥BC, ∴S△ABC=12AB·AC=12BC·AD, ∴AB·AC=BC·AD. (2)在 Rt△ADB 中,DE⊥AB, 由射影定理得 BD2=BE·AB. 同理,在 Rt△ADC 中,DF⊥AC, ∴CD2=CF·AC,∴BD2·CD2=BE·AB·CF·AC. 又在 Rt△ABC 中,AD⊥BC, ∴AD2=BD·DC,∴AD4=BD2·DC2, 即 AD4=BE·AB·CF·AC. 由(1)知 AB·AC=BC·AD, ∴AD4=BE·CF·BC·AD,∴AD3=BE·CF·BC. (3)由射影定理得 BD2=BE·AB,∴BE=BADB2.① 又 CD2=CF·AC,∴CF=CADC2,② 由①÷②得BCEF=BADB2·CADC2=???CBDD???2·AACB.③ 又∵AB2=BD·BC,∴BD=ABBC2, 同理,AC2=CD·BC,∴CD=ABCC2,

BD AB2 ∴CD=AC3.④

将④代入③得CBFE=???AABC22???2·AABC=AACB32,即AABC33=BCEF. 11.如图,在△ABC 中,D,F 分别在 AC,BC 上,且 AB⊥AC,AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求 AC. 解 在△ABC 中,设 AC 为 x, ∵AB⊥AC,AF⊥BC.又 FC=1,根据射影定理, 得 AC2=FC·BC,即 BC=x2.

再由射影定理,得 AF2=BF·FC=(BC-FC)·FC,即 AF2=x2-1,∴AF= x2-1. 在△BDC 中,过 D 作 DE⊥BC 于 E. ∵BD=DC=1,∴BE=EC=12x2.

又∵AF⊥BC,∴DE∥AF,∴ADFE=ADCC,

∴DE=DC· ACAF=

x2-1 x.

在 Rt△DEC 中,∵DE2+EC2=DC2,

即??? xx2-1???2+???12x2???2=12,

x2-1 x4 ∴ x2 + 4 =1.整理得

x6=4,∴x= 3

2,即

AC=3

2.

三、探究与创新 12.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,S2△BCD=S△ABC·S△ADC.求证:BD=AC. 证明 如图,∵S2△BCD=S△ABC·S△ADC,即SS△ △ABBCCD=SS△△ABDCCD,
AB·CD BD·CD ∴BD·CD=AD·CD,

即ABBD=BADD,∴BD2=AB·AD. 由射影定理,得 AC2=AD·AB,

∴AC2=BD2,即 AC=BD.


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