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2013届高考数学专题训练22 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题 理

2013届高考数学专题训练22 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题 理


高考专题训练二十二 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题
班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:50 分 总得分________

?1 π ? 1.(12 分)(2011?广东卷)已知函数 f(x)=2sin? x- ?,x∈R. 6? ?3
(1)求 f?

?5π ?的值; ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)设 α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,求 cos(α +β )的值. 2? 2 ? 13 5 ? ? 分析:本题考查运用三角公式化简求值.(1)f(x)的解析式已给出,求 f?

?5π ?即可;(2) ? ? 4 ?

π ? 10 6 ? ? π? 先化简 f?3α + ?= ,f(3β +2π )= ,再结合 α ,β ∈?0, ?求 cosα 与 sinβ ,代 2 ? 13 2? 5 ? ? 入即得 cos(α +β )的值.

?1 π ? 解:(1)∵f(x)=2sin? x- ?, 6? ?3
∴f?

?5π ?=2sin?5π -π ?=2sinπ = 2. ? ? 12 6 ? 4 ? 4 ? ? ?

π ? 10 6 ? π? ? (2)∵α ,β ∈?0, ?,f?3α + ?= ,f(3β +2π )= , 2? ? 2 ? 13 5 ? π? 6 10 5 3 ? ∴2sinα = ,2sin?β + ?= ,即 sinα = ,cosβ = , 2? 5 13 13 5 ? 12 4 ∴cosα = ,sinβ = , 13 5 12 3 5 4 16 ∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ = ? - ? = . 13 5 13 5 65 2.(12 分)(2011?重庆卷)如图,在四面体 ABCD 中,平面 ABC⊥平面 ACD,AB⊥BC,AD =CD,∠CAD=30°. (1)若 AD=2,AB=2BC,求四面体 ABCD 的体积; (2)若二面角 C-AB-D 为 60°,求异面直线 AD 与

BC 所成角的余弦值.
分析:本小题主要考查面面垂直的性质、四面体的 体积计算公式、二面角的意义与异面直线所成的角的意 义及求法. 在具体处理过程中, 可围绕线面垂直的性质定理去考虑, 从而添加相关的辅助线, 由此求得相关几何体的体积;在求异面直线所成的角

1

的过程中,注意根据异面直线所成角的意义,考虑平移其中一条或两条直线,从而将问题转 化为求两条相交直线的夹角问题.也可考虑通过建立坐标系的方式解决相关问题. 解:(1)如图所示,设 F 为 AC 中点,连接 FD,由于 AD=CD,所以 DF⊥AC.又由平面 ABC ⊥平面 ACD, DF⊥平面 ABC, DF 是四面体 ABCD 的面 ABC 上的高, DF=ADsin30°=1, 知 即 且

AF=ADcos30°= 3.
2 15 4 15 在 Rt△ABC 中,因 AC=2AF=2 3,AB=2BC,由勾股定理易知 BC= ,AB= . 5 5 1 1 1 4 15 2 15 4 故四面体 ABCD 的体积 V= ?S△ABC?DF= ? ? ? = . 3 3 2 5 5 5

(2)解法一:如图所示,设 G,H 分别与边 CD,BD 的中点,则 FG∥AD,GH∥BC,从而∠

FGH 是异面直线 AD 与 BC 所成的角或其补角.
设 E 为边 AB 的中点,则 EF∥BC,由 AB⊥BC,知 EF⊥AB.又由(1)知 DF⊥平面 ABC,故 由三垂线定理知 DE⊥AB.所以∠DEF 为二面角 C-AB-D 的平面角.由题设知 ∠DEF=60°. 设 AD=a,则 DF=AD?sin∠CAD= . 2

a

a 3 3 在 Rt△DEF 中,EF=DF?cot∠DEF= ? = a, 2 3 6
1 3 从而 GH= BC=EF= a. 2 6 因 Rt△ADE≌△BDE,故 BD=AD=a, 1 a 从而,在 Rt△BDF 中,FH= BD= . 2 2 1 a 又 FG= AD= ,从而在△FGH 中,因 FG=FH,由余弦定理得 2 2 cos∠FGH=

FG2+GH2-FH2 GH 3 = = . 2FG?GH 2FG 6
3 . 6

因此,异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 解法二:如图所示,过 F 作 FM⊥AC,交 AB 于 M,已知 AD=CD,平面 ABC⊥平面 ACD,易知

FC,FD,FM 两两垂直.以 F 为原点,射线 FM, FC,FD 分别为 x 轴,y 轴,z 轴的正半轴,建立
空间直角坐标系 F-xyz. 不妨设 AD=2,由 CD=AD,∠CAD=30°,

2

→ 易知点 A,C,D 的坐标分别为 A(0,- 3,0),C(0, 3,0),D(0,0,1),则AD=(0, 3, 1). 显然向量 k=(0,0,1)是平面 ABC 的一个法向量. 已知二面角 C-AB-D 为 60°,故可取平面 ABD 的一个单位法向量 n=(l,m,n),使得 1 〈n,k〉=60°,从而 n= . 2 → 3 由 n⊥AD,有 3m+n=0,从而 m=- . 6 由 l +m +n =1,得 l=±
2 2 2

6 . 3 → → → 6 ,有 3

设 点 B 的 坐 标 为 B(x , y,0) , 由 AB ⊥ BC , n ⊥ AB , 取 l =

?x +y =3, ? ? 6 3 ? 3 x- 6 ? y+ 3? =0, ? ?x=0, ?y=- 3

2

2

?x=4 9 6, ? 解之得,? ?y=7 9 3 ?

或?

(舍去).

易知 l=-

6 与坐标系的建立方式不合,舍去. 3 →

?4 6 7 3 ? 因此点 B 的坐标为? , ,0?.所以CB 9 ? 9 ?
→ → ? 2 3? 3??- → → ? AD?CB ? 9 ? 2 3 ? ?4 6 =? = ,- ,0?.从而 cos〈AD,CB〉= → → 9 ? 9 ? ?4 6?2 ? 2 3?2 3+1? ? ? +?- ? |AD||CB| ? 9 ? ? 9 ? =- 3 . 6 3 . 6

故异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为

3.(13 分)(2011?浙江卷)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥ 平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上.已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

3

(1)证明:AP⊥BC; (2)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的 长;若不存在,请说明理由. 分析: 此题主要考查了线线位置关系和二面角的求解, 对(1)问线线垂直的证明易入手, 利用线面垂直即可进行证明;对(2)问可采用空间直角坐标向量法进行处理;解题时对(2) 问要注意恰当建立坐标系,恰当设参数,从而有效快速 求解. 解:方法一:(1)如图,以 O 为原点,以射线 OP 为

z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz.
则 O(0,0,0), (0, A -3,0), (4,2,0), (-4,2,0), B C

P(0,0,4),
→ → → → AP=(0,3,4), =(-8,0,0), BC 由此可得AP?BC=0,

→ → 所以AP⊥BC,即 AP⊥BC. → → → (2)设PM=λ PA,λ ≠1,则PM=λ (0,-3,-4). → → → → → BM=BP+PM=BP+λ PA= (-4,-2,4)+λ (0,-3,-4)=(-4,-2-3λ ,4-4λ ), → →

AC=(-4,5,0),BC=(-8,0,0).
设平面 BMC 的法向量 n1=(x1,y1,z1), 平面 APC 的法向量 n2=(x2,y2,z2). → ?BM?n =0, ? 由? → ? ?BC?n =0,
1 1

4

? ?-4x1-? 2+3λ ? 得? ? ?-8x1=0,

y1+? 4-4λ ? z1=0,

?x1=0, ? 即? 2+3λ ?z1=4-4λ y1, ?
→ ?AP?n =0, ? 由? → ? ?AC?n =0,
2 2

2+3λ ? ? 可取 n1=?0,1, . 4-4λ ? ? ?

?3y2+4z2=0, ? 即? ? ?-4x2+5y2=0,

?x =5y , ? 4 得? 3 ? ?z =-4y ,
2 2 2 2

可取 n2=(5,4,-3).

2+3λ 由 n1?n2=0,得 4-3? =0, 4-4λ 2 解得 λ = ,故 AM=3. 5 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 方法二:(1)由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC. 又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC. 因为 PO∩AD=O,所以 BC⊥平面 PAD, 故 BC⊥PA. (2)如图, 在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M, 连接 CM. 由(1)中知 PA⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. 又 AP? 平面 APC,所以平面 BMC⊥平面 APC. 在 Rt△ADB 中, =AD +BD =41, AB= 41. AB 得 在 Rt△POD 中,PD =PO +OD , 在 Rt△PDB 中,PB =PD +BD , 所以 PB =PO +OD +DB =36,得 PB=6. 在 Rt△POA 中,PA =AO +OP =25,得 PA=5. 又 cos∠BPA=
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

PA2+PB2-AB2 1 = , 2PA?PB 3

从而 PM=PBcos∠BPA=2, 所以 AM=PA-PM=3. 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3. 4.(13 分)(2011?天津)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球,

5

2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球,2 个黑球, 这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两 个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放 回原箱). (1)求在 1 次游戏中; (ⅰ)摸出 3 个白球的概率; (ⅱ)获奖的概率; (2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X). 解:(1)(ⅰ)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai=(i=0,1,2,3),则

P(A3)= 2? 2= .
C3 C2 C3C2 C2 1 (ⅱ)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B=A2∪A3.又 P(A2)= 2? 2+ 2 ? 2= . C5 C3 C5 C3 2 1 1 7 且 A2,A3 互斥,所以 P(B)=P(A2)+P(A3)= + = . 2 5 10 (2)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. 7? 9 ? P(X=0)=?1- ? = . 10? 100 ?
2 2 2 1 1 1

C3 C5

2

C2 1 C3 5

1

P(X=1)=C1 ?1- ?= . 2 10

7? 10?
2

7 ? 21 ? 50

? 7 ? 49 P(X=2)=? ? = . ?10? 100
所以 X 的分布列是

X P X 的数学期望 E(X)=0?

0 9 100

1 21 50

2 49 100

9 21 49 7 +1? +2? = . 100 50 100 5

6


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