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最新-高中数学 21平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4 精品

最新-高中数学 21平面向量的实际背景及基本概念教案 新人教A版必修4 精品

题目:2.1 平面向量的实际背景及基本概念
导学目标 1. 了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示;掌握向量的模、零向量、单 位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2. 通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3. 通过学生对向量与数量 4. 的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点 教学难点 理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量. 平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

向量与有向线段有什么区别? (4)向量 AB 的大小也就是向量 AB 长度称为向量的 (5)零向量: 注意: 0 与 0 的区别, (6)单位向量: (7)平行向量: (8)相等向量: 说明: (1)向量a与b相等,记作a=b; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关 . .......... C A B D (9)共线向量: 【合作探究】 (1)平行向量是否一定方向相同? (2)不相等的向量是否一定不平行? 。 。 。 。
?

,记作 。方向

。 。

。记作:

导学过程 【基础测评】 1、数量常常用什么表示? 2、如图,老鼠由 A 向西北延着 AC 方向逃窜,猫在 B 处向东延着 BD 方 向追去,设问:猫能否追到老鼠? 3、请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? 【课前预习】 阅读课本 74—76 页完成下列内容 1、 向量的概念: 我们把这种既有 ,又有 思考:数量与向量有何区别? 2、 向量的几何表示: (1)有向线段: (2)有向线段的三要素: (3)向量的表示方法: ① ② ③

的量叫做

。 (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与任意向量都平行的向量是什么向量? 。 。 (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量? (6)两个非零向量相等的当且仅当什么?(长度相等且方向相同) (7)共线向量一定在同一直线上吗? 。

。 。

思考:时间、路程、功是向量吗?速度、加速度是向量吗?

【典型例题】 例1、 课本 75 页 例2、 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量.

7 功;○ 8 压强;○ 9 密度 ○ A、2 个 【归纳小结】 1、 描述向量的两个指标:模和方向. 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、 向量的图示,要标上箭头和始点、终点. B、4 个 C 、5 个 D、6 个

思考:向量 OA 与 EF 相等吗?向量 OB 与 AF 相等吗?

牛刀小试 1、下列说法中不正确的是( 【达标检测】 1、教材 77 页练习题 2、3、4 题 2、判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由 ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ②单位向量都相等; ③任一向量与它的相反向量不相等; ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0; ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同. 3、下列量当中不是向量的是( )



A、向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等 B、任何一个非零向量都可以平行移动 C、长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量 D、两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 2、下列说法正确的是( ) A、单位向量都是相等的向量 B、长度相等的向量是相等的向量 C、任意两个相等的非零向量的始点与终点不一定是一平行四边形的四顶点 D、共线向量是在同一直线上的向量 3、下列说法中错误的是( ) A、零向量没有方向 B、零向量与任何向量平行 C、零向量的长度为零 D、零向量的方向是任意的 4、下列命题正确的是( ) A、向量 AB 与 BA 是两平行向量 B、若 AB = DC ,则 A、B、C、D 四点构成平行四边形

C、若 a 、 b 都是单位向量则 a = b 5、教材 77 页 习题 2.1 A 组题

?

?

?

?

D、两向量相等的也就是它们的始点、终点相同。

1 质量;○ 2 速度;○ 3 位移;○ 4 浮力;○ 5 加速度;○ 6 路程; ○

题目:2.2.1 向量加法运算及其几何意义 导学目标 1、 1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量, 培养数形结合解决问 的能力; 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和结合 律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 教学重点 教学难点 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 理解向量加法的定义.

【合作探究一】 三角形法则( “首尾相接,首尾连” ) 作图,已知向量 a、b.在平面内任取一点 A ,作 AB =a, BC =b,则向量 AC 叫做 a 与b的和,记作 a+b,即 a+b ? AB ? BC ? AC 。

a

a b

a b

【基础测评】 如图: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: (2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和:

。 。 。



A

B C A

C B A B

C

规定:a + 0-= 0 + a 思考:当在数轴上表示两个共线的向量时,它们的加法与数的加法有什么关系? 平行四边形法则

【课前预习】 1、向量的加法定义: 2、向量加法的法则: 1 三角形法则: ○ 2 平行四边形法则: ○ 3、向量加法的运算律: 1 交换律: ○ 2 结合律: ○ 。



作图: 已知向量 a, b 在平面内, 以同一点 O 为起点以 a, b 为邻边作平行四边形, 则以点 O 为起点的对角线就是 a 与 b 的和, a

。 。

b 。 探究:向量处于什么位置时会有: 1 | a + b |=| a |+| b | ○ 。

2 | a + b |=| a |-| b | (或 b ? a ) ○ 总之:| a + b | 【典型例题】 | a |+| b |



2、在平行四边形 ABCD 中, BC ? DC ? BA 等于( A、 BD B、 DB C、 BC



D、 CB km, a ? b 的方向是

3、若 a 表示向东走 8km, , b 表示向北走 8km ,则 a ? b ? 。 4、化简下列各式 (1) PA ? PB ? AO ? OP

例 1、如图,已知向量 a, b 求作向量 a ? b 。 (分别用三角形法则和平行四边形法则)

b a

(2)

AB ? DF ? CD ? BC ? FA

【合作探究二】 探究: 数的加法满足交换律与结合律,那么任意向量

a, b 的加法是否也满足交换律和结合律?画图探索?

【归纳小结】1、向量加法的平行四边形法则和三角形法则。 2、向量加法的交换律和结合律

例 2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸 A 点出发, 以 5km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东 2km / h 。 (1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字) (2) 求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度)

牛刀小试 教材 84 页练习题

1、 化简下列各式 (1) AB ? MB ? BO ? OM (2) MB ? AC ? BM (3) OA ? OC ? BO ? CO

【达标检测】 1、在 ?ABC 中, AB ? a, BC ? b 则 a ? b 等于( A 、 CA B、 BC C、 AB ) D、 AC 2、在水流速度为 4 3km / h 的河中,要使船以 12km / h 的实际航速与河岸成直角行驶,求船在 静水中的航行速度的大小和方向

题目:2.2.2 向量减法运算及其几何意义 导学目标 1. 了解相反向量的概念; 2. 掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物间可以相互转化的 辩证思想. 教学重点 教学难点 向量减法的概念和向量减法的作图法 减法运算时方向的确定.

注意:

1、差向量“箭头”指向被减数(共起点连终点,指向被减) 2、用“相反向量”定义法作差向量,a ? b = a + (?b)

思考: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 2)若 a∥b, 如何作出 a ? b a b a ? 。

导学过程 【基础测评】 1、向量加法的法则: 2、在四边形中, CB ? BA ? AD ? .

b

【课前预习】 1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “相反向量”的定义: (2) 规定:零向量的相反向量仍是 任一向量与它的相反向量的和是 【典型例题】 例一、已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d. 如果 a、b 互为相反向量,则 。 即: 。 a b d c ,记作 。 解:

.

a =

, b =

,a + b =

(3) 向量减法的定义:向量 a 加上的 b 相反向量,叫做

a ? b =

求两个向量差的运算叫做

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的

【合作探究】 探究一、 向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数,向量的减法是否也有类似的法则? 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 a ? b a b

则 a ? b 的最大值为 ? 5.向量 a, b 满足 a ? 8, b ? 12 ,

, 最小值为



【归纳小结】向量减法法则。 例二、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . 牛刀小试 C

D

的是( A B



变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直? 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|? 变式三:a+b 与 a?b 可能是相等向量吗? 【达标检测】 1、 教材 87 页练习题 2、 在 ?ABC 中, BC ? a , AC ? b ,则 AB 等于( A、 a ? b B、 a ? b ( C、 ? a ? (?b) ) C、 BC D、0 3.任给向量 a, b 则恒有 ) ( ) ) D、 ? a ? (?b) 2.D、E、F 分别是△ABC 的边 AB、BC、CA 的中点,则下列等式中正确的是( )

3、化简 AC ? BD ? CD ? AB得 A、 AB B、 DA

4、设 a 表示向西走 10km , b 表示向北走 10 3km ,则 a ? b 表示向( A、南偏西 30 走 20km C、南偏东 30 走 20km
0 0

B、北偏西 30 走 20km D、北偏东 30 走 20km
0

0

4.点 M 是 ?ABC 的重心,则 MA ? MB ? MC 为

(

)

当 ? ? 0 时, ? a = (1) ? 、 ? ? R , ???a ? = (3) ? ?a ? b ? ?



2、实数和向量 a 相乘所满足的运算率: ;(2) ?? ? ? ?a ? 。 。
? ? ? ? ? ?



3、定量:向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当 【合作探究】 题目:2.2.3 向量的数乘运算及其几何意义 导学目标 (1)掌握向量数乘运算法则,并理解其几何意义; (2)让学生能由实数运算律类比向量运算律,并且验证强化对知识的形成过程的认识, 正确表示结果; (3)初步学会用向量的方法解决几何问题和实际应用问题。 教学重点 教学难点 导学过程 【基础测评】 1、化简 OP ? QP ? PS ? SP 的结果等于 。 向量的数乘运算法则的理解及几何意义。 正确运用法则解决几何问题。 向量的数乘: 长度和方向规定: 。 记作:
? ?

1、已知如图向量 a 为非零向量,试用作图方式表示 a + a + a 和(- a )+(- a )+(- a ) 你会得出什么结论?

a



2、已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 A, B, C 的向量分别为 a, b, c ,则向量 OD 等 于 。 。 2、 实数与向量的运算率 (1) ? 、 ? ? R , ???a ? = (3) ? ?a ? b ? ? 。 ;(2) ?? ? ? ?a ? ;

? 3、若 AB ? 8, AC ? 5, 则 BC 的取值范围是
【课前预习】 1、向量数乘(实数和向量相乘)的定义: 实数 ? 和向量 a 的乘积是一个 且 ? ? R, ?a ? 。 。 。 ,记作 ,

思考:你能根据实数与向量的积的定义,解释运算率的几何意义吗?

当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向 当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向

例1、 计算 (1) ?? 3? ? 4a

(2) 3?a ? b? ? 2?a ? b? ? a (3) ?2a ? 3b ? c ? ? ?3a ? 2b ? c? 思考:引入向量数乘运算后,你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗? 共线向量定理:
?

1、下列各式中不表示向量的是: A、 0 ? a B、 a ? 3b

( C、 3a

) D、

1 e?x, y ? R, 且x ? y ? x? y

2、化简 。

1 ?2?2a ? 8b ? ? 4?4a ? 2b ? ?的结果为( 12
B、 2b ? a C、 a ? b

) D、 b ? a

A、 2 a ? b

例 2、如图:已知任意两个非零向量 a, b ,试作 OA ? a ? b , OB ? a ? 2b, OC ? a ? 3b 你能 判断 A, B, C 三点之间的位置关系吗?为什么?

?

?

3、若 O 为平行四边形 ABCD 的中心, AB ? 2e1 , BC ? 3e2 则 A、 AO,
?

?

?

3 e 2 ? e1 等于( 2
?



b
a

B、 BO,

?

C、 CO,
? AC ? 2 ,则 AC CB ?

?

D、 DO, = AB , BC ?
?

4、点 C 在线段 AB 上,且

AC .

?

5、若 a ? 3, b 与 a 的方向相反,且 b ? 5 ,则 a ? 6 变式训练:已知 AD ? 3AB, DE ? 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否共线
?

b。
的 非 零 向 量 , 若 向 量





e1 , e2
?








?



线

AB ? 3e1 ? 2e2 , BC ? ?2e1 ? 4e2 , CD ? ?2e1 ? 4e2 试证: A, C, D 三点共线
【归纳小结】 1、 理解实数与向量的积的意义。 2、 能说出实数与向量的积的三条运算律,并会运用它们进行运算。 3、 会表示与非零向量共线的向量,会判断两个向量共线 牛刀小试 课本 91 习题 2.2A 组 2、3、4、8、9、11、12、13 题 B 组 2、3、4 题 1、下列各式叙述不正确的是( ) A、若 a ? ?b, ,则 a, b 共线 B、若 b ? 3a(a ? 0) ,则 a , b 共线。

例 3、如图:平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M ,且 AB ? a, AD ? b, ,你能用 a , b 表示 MA, MB, MC , 和 MD, 吗?
? ? ? ?

?

?

D

C

A

B

【达标检测】 课本 90 页练习

3 a ? 2b, 则 m // n 。 2 D、若 a ? b ? c ? 0 ,则 a ? b ? ?c ? ? 3 ? 2、点 C 在线段 AB 上,且 AC = AB ,则 AC = 5
C、若 m ? 3a ? 4b, n ?

BC 。

?

A 、

2 3

B、

3 2

C、 ?

2 3

D、 ?

3 2

(1)已知两个 量

向量 a, b 和作 OA ? a, OB ? b, ,则 ?AOB ? ? 00 ? ? ? 1800 叫做向

?

?

?

?

1 ? 1 ? 3 、 若 2? x ? a ? ? ?b ? c ? 3x ? ? b ? 0 , 其 中 a, b, c 为 已 知 向 量 , 则 未 知 向 量 3 ? 2 ?

a 与b 的

。 ;当 a 与 b 同向时,夹角 ? = 。 ,我们说 a 与 b 垂直,记作: 。 。当 a 与 b

x=
?


?

4、已知向量 AB 的方向是东南方向,且

AB =4,则向量-2 AB 的方向是

?

(2)向量夹角 ? 的范围是 , 反向时,夹角 ? =

? 2 AB ?

?



(3)如果向量 a 与 b 的夹角是

题目:§2.3.1 平面向量基本定理 【问题探究】 导学目标 (1)了解平面向量基本定理; (2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实 际问题的重要思想方法; (3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点 教学难点 平面向量基本定理. 平面向量基本定理的理解与应用. 问题:如图,设 e1 、 e2 是同一平面内两个不共线的向量, a 是这一平面内的任一向量,我们通过 作图研究 a 与 e1 、 e2 之间的关系. 请完成: ① 给定平面内任意两个不共线的非零向量 e1 、 e2 ,请你作出向量 b =3 e1 +2 e2 、 c = e1 -2 e2 .

e1
e2

导学过程 【基础测评】 1、设 AM 是 ?ABC 的 BC 边上的中线,若 AB ? a, BC ? b, 则 AM 等于 2、在平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, AN ? 3 NC , M 为 BC 的中点, 则 MN ?
? ? ? ? ? ? ? ?

。 ② 由①可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量 e1 、 e2 来表示向量 b , c 那么 平面内的任一向量 a 是否都可以用形如 λ 1 e1 +λ 2 e2 的向量表示呢? (试一试)

。 (用 a , b 表示)

【课前预习】 1、 平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1、e2 是同一平面内的两个 一对实数 ?1, ?2 , 使 a =

e1
?

?

向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 。 的一组 。

a

e2
平面向量基本定理:

?

(2)我们把不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内 2、夹角

【达标检测】 1、设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( 【定理说明】: (1)我们把不共线向量 e1 、 e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底; (2)基底不唯一,关键是不共线; (3)由定理可将任一向量 a 在给出基底 e1 、 e2 的条件下进行分解; A.e1、e2 一定平行

)

B.e1、e2 的模相等
C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+μ e2(λ 、μ ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λ e1+ue2(λ 、u∈R) 2、已知向量 e1 , e2 不共线,则实数 x, y 满足 ?3x ? 4 y ?e1 ? ?2 x ? 3 y ?e2 ? 6e1 ? 3e2 ,则 x ? y 的 值等于 A、3 ( B、-2 ) C、0
?

? (4) 基底给定时,分解形式惟一. λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量
提出问题 ① 平面中的任意两个向量之间存在夹角吗?若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗?

D、2
?

3 、 若 点 O 为 平 行 四 边 形 ABCD 对 角 线 的 交 点 AB ? 4e1 , BC ? 6e2 , , 则 3e2 ? 2e1 等 于 ( A、 AO
?

) B 、 CO
?

C、 BO

?

D、 DO

?

4 、 已 知 两 向 量 e1 , e2 不 共 线 , a ? 2e1 ? e2 , b ? 3e1 ? 2?e2 若 a 与 b 共 线 , 则 实 数 已知两个非零向量 a 和 b (如图),作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角 显然,当 θ =0°时, a 与 b 同向;当 θ =180°时, a 与 b 反向.因此,两非零向量的夹角在区间 内。 如果 a 与 b 的夹角是 90°,我们说 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b . 【典型例题】 例 1、已知向量 e1 、 e2 (如图),求作向量-2.5 e1 +3 e2 (你有几种作法)
? ?

??


? ? ? ?

5、 若 C , D 是 ?AOB 中边的 AB 三等分点, 设 OA ? e1 , OB ? e2 , 以 e1、 e2 为基底来表示 OC, OD 则 OC ?
?

, OD ?

?


? ?

? 3、已知平行四边形 ABCD 中, E 、 F 分别是 BC, DC 边上的中点,若 AB ? a , AD ? b 试以
a , b 为基底表示 DE, BF 。

【归纳小结】平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义 牛刀小试 1、已知矢量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系( )

A.不共线

B.共线

C.相等

D.无法确定
? ?

有序实数对 上的坐标,

叫做向量 a 的坐标, 记作: 叫做 a 。j?

其中

叫做 a 在



? 2 、已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的 边 BC, AC 上的中线, 且 AD ? a , BE ? b ,则 BC 为
( )



轴上的坐标,显然 i ?

。0=

。 。 ,

4 2 A. a ? b 3 3

2 4 a? b B. 3 3

C.

2 2 a? b 3 3

2 2 D. ? a ? b 3 3

3、若点 A,B 的坐标分别为 ?x1 , y1 ?, ?x2 , y 2 ? ,那么 AB 的坐标为 4、若 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 则 a ? b ? 。a ?b ?

3、已知向量 e1 、 e2 (如图),求作向量(1) e1 +2 e2

(2)- e1 +3 e2

?a ?



【合作探究】 问题 1、我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直 角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?能不能象点一样也用坐标来表示? 1.平面向量的坐标表示 4、已知 G 为△ABC 的重心,设 AB =a, AC =b,试用 a、b 表示向量 AG . 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为基底. 任作一个向量 a , 由平面向量基本定理知, 有且只有一对实数 x 、y , 使得 1 a ? xi ? yj …………○ 题目:2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 导学目标 1、 能将平面向量的基本定理应用于平面向量的正交分解中。 2、 会把向量正交分解,会用坐标表示向量. 3、 使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法. 4、 理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量 教学重点 平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.及坐标运算。 教学难点 理解平面向量的坐标表示及运算。 导学过程 【基础测评】 1、你还记得平面向量的基本定量吗? 2、对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示? 【课前预习】 1、把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解。 2、在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底,对于平 面内的一个向量 a ,由平面向量基本定量可知,有且只有一对实数 x, y 使 a ? xi ? yj ,我们把 例 1、 如图,分别用基底 i 、 j 表示向量 a 、 b 、 c 、 d ,并求出它们的坐标. 我们把 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 2 …………○ 2 式叫做向量的坐标表示.与 叫做 a 在 y 轴上的坐标,○ .a 相 .

a?
其中

叫做 a 在 x 轴上的坐标, .

等的向量的坐标也为 ......... 特别地, i ? 。j?

。0=



如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定 . 设

OA ? xi ? yj 则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的
坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内, 每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 【典型例题】

思考:你能在例 2 的图中标出坐标为 ( x2 ? x1 , y 2 ? y1 ) 的点 P 的坐标吗?

例3、 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

思考:已知 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, 你能得出 a ? b , a ? b , ? a 的坐标吗?(运用向量线性运 算的结合律和分配律) 例 4、已知 标. ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点 D 的坐

结论:两个向量和(差)的坐标分别等于 实数与向量的积的坐标等于 。



? 例2、 已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,怎样求 A B 的坐标?

【达标测试】 1、已知向量 a ? ?5,2?, b ? x 2 ? y 2 , xy ,且 a ? b ,则 x=

?

?

,y=

. 。

2、已知向量 a ? x ? 3, x 2 ? 3x ? 4 , 与 A B 相等,其中 A(1,2) , B(3,2) ,则 x= 3、已知向量 OM ? ?3,?2? , ON ? ?? 5,?1? 则 4、课本 100 页练习 1、2、3、题。 【归纳小结】 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 坐标减去 的坐标. 1、平面向量的坐标表示。 2、平面向量的坐标运算。 注意:向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点,终点的具体位置无关,只与其相对位置有 关。
? ?

?

?

?

1 ? MN = 2



牛刀小试 1、 课本 101 页 A 组 1、2、3、4、题 2、 若 i 、 j 为正交基底,设 a ? x 2 ? x ? 1 i ? x 2 ? x ? 1 j ?x ? R?, ,则向量 a 对应的点位于 ( ) A、第一、二象限
? ?

1、 、若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,

?

? ?

?

则a ? b=

,a ? b=

, ?a ? 。

.

B、第二、三象限
?

C、第三象限 ) C、 ?1,7 ? ) C、 ?7,4?

D、第四象限

2、若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? 【课前预习】

3、若 AB ? ?2,4?, AC ? ?1,3? 则 BC ? ( A、 ?7,3? B、 ?7,7 ? 4、若 a ? ?? 2,3?, b ? ?1,5?, 则 3a ? b 等于 ( A、 ?? 5,14? B、 ?5,14?

D、 ?1,3?

1、 向量共线的坐标表示,设 a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x2 , y 2 ) ,那么当且仅当 向量 a , b 共线,即 a , b 共线 ?

时, 。

D、 ?5,9?

2、 证明三点共线的方法。 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ), C?x3 , y3 ? 只要证明 3、 线段的中点坐标 共线, 便可证得三点共线。

5、已知 a ? b ? ?? 1,5? , 3a ? 4b ? ?? 6,19?,求 a , b

6、已知点 O?0,0?, A?1,2?, B?4,5? 且 OP ? OA ? t AB 试问:t 为何值时 P 在 x 轴上, P 在 y 轴 上, P 在第二象限?

设P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) 则 P 1P 2 的中点 P 的坐标为 4、 设 P 1 P ? ? PP2 ?? ? ?1? 时 x ? 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 ) P? x, y ? 当 P 特别地当 P 是 P 1P 2 的中点时 【问题探究】 问题: 1、你还记得向量共线定量吗? 2、若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) 则怎样用坐标表示两个共线向量?
? ?

。 , y?

x?

,y ?

题目:§2.3.4 平面向量共线的坐标表示 导学目标 (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线. 教学重点 平面向量的坐标运算. 教学难点 向量的坐标表示的理解及运算的准确性 导学过程 【基础测评】

3、结论:向量 a , b ( b ? 0) 共线,即 a , b 共线 ? 【典型例题】 例 1、已知 a =(4,2), b =(6, y),且 a ∥ b ,求 y.

?

?

?

?

例 2、给定平面已知 A(-1, -1), B(1,3), C(2,5),试判断 A,B,C 三点之间的位置关系.

A、

3 4

B、 ?

3 4

C、

4 3

D、 ?

4 3
。 。

4、已知 a ? (1,2), b ? ( x,1), ,若 a ? 2b 与 2a ? b 平行,则 x 的值为 5、设 a ? ( , sin ? ), b ? (cos ? , ), ,且 a // b, 则锐角 ? ?

3 2

1 3

? 6、已知 O(0,0), A(6,3) ,若 P 在直线 OA 上,且 OP ?
点 B 坐标为 例 3、设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标. .

1 PA ,又 P 是线段 OB 的中点,则 2

7、平面内给定三个向量 a ? (3,2), b ? (?1,2), c ? (4,1) (1) 求满足 a ? mb ? nc 的实数 m, n 。 (2) 若 ?a ? kc? // ?2b ? a ?, 求实数 k 。

8、课本 100 页练习 4、5、6、7 题 【归纳小结】 1、 向量共线的两种刻画形式。 2、 证明三点共线的方法。 3、 线段中点坐标公式

完成课本 100 页合作探究

【达标检测】 1、若 a ? (2,3), b ? (4,?1 ? y), 且 a // b, 则 y 等于( A、6 B、5 C、7 D、8 ) D、 x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 ) ) 牛刀小试 1、若 a ? (?2,1), b ? ( x,?3), 且 a // b, 则 x 等于( A、 ) D、 6 ( )

2、已知 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ), 则 a , b 共线的充要条件是( A、 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 B、 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

3 2

B、

2 3

C、

1 6

C、 x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 (

2、点 M ?5,?2? 关于 N ?6,7 ? 的对称点坐标为

3、已知向量 a ? (3,4), b ? (sin? , cos? ), 且 a // b, 则 tan ? 为

A、 ?5,?2?
?

B、 ?

? 11 ? ,1? ?2 ?
?

C、 ? ,4 ?
?

?1 ?2

? ?

D、 ?7,10?

3、已知向量 OA ? ?k ,12?, OB ? ?4,5? OC ? ?? k ,10? 则 A、B、C 三点共线则 k 为( A、



2 3

B、 ?

2 3

C、

1 2

D、 1 时 a 与 b 共线且方向相同。
? ?

4、若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x), 则当 x =
? ?

5、在平行四边形 ABCD 中 AB ? a, AD ? b , AN ? 3 NC M 为 BC 中点则

MN ?
【高考链接】

?

(用 a , b 表示)

( 2018 年全国卷) 1 、在三角形 ABC 中 AB ? c, AC ? b 若点 D 满足 BD ? 2 DC 则 AD ? ( )A、

?

?

?

?

?

2 1 b? c 3 3

B、

5 2 c? b 3 3

C、

2 1 b? c 3 3

D、

题目:§2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义 导学目标 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;

1 2 b? c 3 3
(2018 年陕西) 2、 已知向量 a ? (2,?1), b ? (?1, m), c ? (?1,2) 若 ?a ? b? // c , 则m= 。

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点 教学难点 导学过程 【基础测评】 1、若向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , ( b ? 0) 且 a , b 共线则 2、设 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y 2 ) 则 P 1P 2 的中点 P 的坐标为 【课前预习】阅读课本 118—118 页完成下列内容: 我们在物理中学过如果一个物体在力 F 的作用下产生位移(如图) 那么力 F 所做的功为:W= 。 。 。 平面向量的数量积定义 平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

三、向量数量积的几何意义: 我们能否把“功”看成是力和位移这两个向量的一种运算的结果呢 一、两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b , 作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB ? ? (0 0 ? ? ? 1800 ) 叫 a 与 b 的夹角. 看图说明: (1)当 θ =0时, a 与 b (2)当 θ =π 时, a 与 b (3)当 θ = ; ; ;记作 ; 的。范围 (0 ? ? ? 180 ) ?
0 0
? ?



四、两个向量的数量积的性质: 【合作探究二】设 a、b 为两个非零向量, 1、 a ? b ? a ? b = 。 2、当 a 与 b 同向,则 a ? b = ,当 a 与 b 反向,则 a ? b = 。 。 。

a?a =
3、 a ? b

则a ?

? 时, a 与 b 2

ab

4、 cos? =

(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是

例 1、已知|a|=5, |b|=4, a 与 b 的夹角 θ =120 ,求 a·b. 【合作探究三】你能推导出向量数量积的下列运算律吗? 1.交换律:a ? b = b ? a 2、数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 3、分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

o

C 二、 1、平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是θ , 则数量 叫 a 与 b 的数量积,记作 a?b,即有 a?b = ,

思考: (1)当 a ? 0 , a . b ? 0 能不能推出 b 一定是零向量? (2) a . b ? b . c 能否推出 a ? c ? (3) ( a . b ). c ? a ( b . c ) 成立吗? 【典型例题】 例 2、对于任意的向量 a、b 能否证明下面的结论? (1) ?a ? b? ? a ? 2ab ? b
2
2 2
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?

?

?

? ?

?

(0 0 ? ? ? 1800 ) 并规定:0 与任何向量的数量积为 0.
2、 “投影”的概念: 投影呢? 叫做向量 b 在 a 方向上的投影。如果是 a 在 b 方向上的 。

(2) ?a ? b? ? ?a ? b? ? a 2 ? b 2

【合作探究一】1.向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为 负?符号由谁来决定? 2.两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?

例 3、已知|a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60 求: (1)(a+2b)·(a-3b) (2)|a+b|与|a-b|.

o

例 4、已知|a|=3, |b|=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直.

4、已知向量 a、b 满足
0

a ? 2 , b ? 3 , a ? b ? 4 ,求 a ? b ? a ? 1 , b ? 3 ,则 5a ? b ? ? 2 , a 与 b 的夹角为 600 ,则 b 在 a 上




【达标检测】 1、 课本 118 页练习题 2、下列叙述不正确的是(

5、a,b 的夹角为 120 , 【高考链接】 )

(2018 年江西卷)1、已知向量 a、b 满足 b

A.向量的数量积满足交换律 C.向量的数量积满足结合律

B.向量的数量积满足分配律
D.a·b 是一个实数 ) 的投影是: 。 ( 2018 年 四 川 卷 ) 2 、 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 ,

3、已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为60°,则(a+2b)·(a-3b)等于( A.72

B.-72

C.36

D.-36 )

BC 2 ? 16, AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ? (



3 3 4、|a|=3,|b|=4,向量 a+ b 与 a- b 的位置关系为( 4 4
A.平行

A、8 B、4 C、2 D、1 题目:§2.4.2 平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 导学目标

B.垂直

? C.夹角为 3

D.不平行也不垂直


1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的运算 . . . 2.掌握平面向量模的坐标表示; 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个向量的垂直关系. 教学重点 教学难点 导学过程 【基础测评】 1、已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b, a ? b, ?a . ) 2、平面向量数量积(内积)公式: 3、 a ? b ? a ? b = 。 【课前预习】 1、平面两向量数量积的坐标表示 。 平面向量数量积、模、夹角的坐标表示. 平面向量数量积坐标表示的应用.

5、已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为 150°,则(a+b) = 6、已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|= 7、设|a|=3,|b|=5,且 a+λ b 与 a-λ b 垂直,则 λ = 【归纳小结】1.平面向量的数量积及其几何意义; 2.平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.向量垂直的条件. 牛刀小试 1、已知 a ? 3 , b ? 4 , a ? b ? 12 则向量 a 在向量 b 方向上的投影为( A、

12 5

B、 3

C、 4

D、 5 )

2、已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 4 且 a ? b ? 12 则 a 与 b 的夹角为 (

? A、 6

? B、 4

? C、 3

3、若 O 为△ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ? 0 ,则△ABC 的形状 为( ) A、正三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、A、B、C 均不是

?

? D、 2

思考:已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,怎样用 a 和 b 的坐标表示 a ? b ?

??

?

结论: 两个向量的数量积等于 2、平面内两点间的距离公式
2 根据以上结论若设 a ? ( x, y) ,则 a ? | a | ?
2

。 即:a ? b = 或 | a |?





如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么

| a |?
3、向量垂直的判定

。(平面内两点间的距离公式)

例 3、已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x.

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ?



4、两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , ? 是 a 与 b 的夹角,根据向量数量积的定义及 坐标表示可得:

【达标检测】 1、课本 118 练习 1、2、题 2 2、若 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a| -4a·b=( A.23



B.57

C.63

D

a ?b cos? = = | a |?| b |



3、已知向量 a ? (1, n),b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 | a | =( A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2

?

?

?

?

?

?



【典型例题】 例 1、已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.

4、若 a ? (? ,2) , b ? (?3,5) 且 a 与 b 的夹角是钝角,则 ? 的取值范围是( A. (



10 ,?? ) 3

B. [

10 ,?? ) 3

C. ( ?? ,

10 ) 3
.

D. [ ?? ,

10 ) 3

5、a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)·(a-b)= 6、已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-

1 )在线段 AB 的中垂线上,则 x= 2

.

7、已知 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA ,则 a 与 b 的夹角为 【归纳小结】 1、平面向量数量积坐标表示 2、两点之间的距离公式 3、向量垂直的判定 牛刀小试 1、课本 118 页习题 2.4 A 组题 1、2、3、5、6、7、10 变式训练:已知 a=(1, 3 ) ,b=( 3 +1, 3 -1) ,则 a 与 b 的夹角是多少? 2、已知 a ? (2,1) , b ? (1,?2) 则向量 a 与 b 的夹角是( )

.

例 2、设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a·b 及 a、b 间的夹角θ (精确到 1 )
o

A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

D、

? 2
)

2、已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x,?3) ,且 a ? b ,则 x 等于 ( A、 3 B、 1 C、 ? 1 D、 ? 3 )

3、设向量 a ? (1,0) , b ? ( , ), 则下列结论中正确的是( A、 | a |? | b | B、 a ? b =

1 1 2 2

2 2
?

C、 a // b

D、 a ? b 与 b 垂直
?

4、已知点 A(1,?2) 若向量 AB 与 a = ?2,3? 同向 AB ? 2 13 则点 B 的坐标是
? ?
?



5、在平行四边形 ABCD 中, AC ? (1,2) , BD ? (?3,2) 则 AD ? AC = 6、已知向量 a ? (sin? , cos? ) ,向量 b ? ( 3,?1) 则 2a ? b 的最大值是 【高考链接】 (2018 全国卷) 已知向量 a ? ?2,1?, a ? b ? 10, a ? b ? 5 2 , 则 b ? A、 5 B、 10 C、5 D、25 ) (

?

。 。



(2018 重庆卷) a ? (3, m) b ? (2,?1) , a ? b =0 则实数 m 的值是( A、 ?

3 2

B、

3 2

C、 2

D、 6

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