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高一数学(3.1.1-1方程的根与函数的零点)

高一数学(3.1.1-1方程的根与函数的零点)


3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点

第一课时 方程的根与函数的零点

问题提出

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1.对于数学关系式:2x-1=0与y=2x-1 它们的含义分别如何? 2.方程 2x-1=0的根与函数y=2x-1的图 象有什么关系?

3.我们如何对方程f(x)=0的根与函数 y=f(x)的图象的关系作进一步阐述?

知识探究(一):方程的根与函数零点
考察下列一元二次方程与对应的二次函数: 2 (1)方程 x ? 2x ? 3 ? 0 与函数y= x2-2x-3; (2)方程 x 2 ? 2x ? 1 ? 0与函数y= x2-2x+1; (3)方程 x 2 ? 2x ? 3 ? 0与函数y= x2-2x+3.

思考1:上述三个一元二次方程的实根分 别是什么? 对应的二次函数的图象与x 轴的交点坐标分别是什么?

思考2:一般地,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的实根与对应的二次 函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有什 么关系?

思考3:更一般地,对于方程f(x)=0与函 数y=f(x)上述关系适应吗?

思考4:对于函数y=f(x),我们把使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点, 那么函数y=f(x)的零点实际是一个什么 数?
思考5:函数y=f(x)有零点可等价于哪些 说法?

函数y=f(x)有零点 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. 练习:求下列函数的零点:
y ? 2 ? log 3 x . y ? 2 ? 8 ; (2 ) (1 )
x

知识探究(二):函数零点存在性原理

思考1:函数f(x)=2x-1的零点是什么? 函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分 布? 思考2:二次函数f(x)=x2-2x-3的零点是 什么?函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点 附近如何分布?

思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的 图象是连续不断的一条曲线,那么在下 列那种情况下,函数y=f(x)在区间(1,2) 内一定有零点? (1)f(1)>0,f(2)>0; (2)f(1)>0,f(2)<0; (3)f(1)<0,f(2)<0; (4)f(1)< 0,f(2)>0.

思考4:一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是连续不断的一条曲线,那么在什 么条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)内一定 有零点?

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b), 使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的 根.

思考5:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上 的图象是间断的,上述原理适应吗?

思考6:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上 的图象是连续不断的一条曲线,那么当 f(a)·f(b)>0时,函数y=f(x)在区间 (a,b)内一定没有零点吗?

理论迁移

例1 求函数f(x)=lnx+2x -6零点的个数.

例2 试推断是否存在自然数m,使函数 f(x)=3-2x在区间(m,m+1)上有零点? 若存在,求m的值;若不存在,说明理 由.


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