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2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.1双曲线的标准方程课件文_图文

2018高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程10.2.1双曲线的标准方程课件文_图文

第十章

圆锥曲线与方程

第 2讲

双曲线及其性质

考点一

双曲线的标准方程

撬点· 基础点 重难点

1 双曲线的定义 (1)定义:平面上,到两定点的 距离之差的绝对值 为常数(小于两定点间的距离)的动点的轨迹.两定 点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. (2)符号语言:||MF1|-|MF2||=2a( 2a<|F1F2| 2 双曲线的标准方程 根据双曲线的定义,通过建立适当的坐标系得出的,其形式为: (1)当双曲线的焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为 x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0) . (2)当双曲线的焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为 ).

y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0)



3 双曲线方程的几种常见设法 x2 y 2 x2 y2 (1)与双曲线a2-b2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为a2-b2=λ(λ≠0). n x2 y2 2 2 2 2 (2)若双曲线的渐近线方程为 y=± x ,则双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0)或 n x -m y =λ(λ≠0). m m n x2 y 2 x2 y2 (3)与双曲线a2-b2=1 共焦点的双曲线方程可设为 2 - 2 =1(-b2<k<a2). a -k b +k (4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2+ny2=1(mn<0). x 2 y2 x2 y2 (5)与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为 2 + 2 =1(b2<λ<a2). a b a -λ b -λ 注意点 双曲线定义的理解 当|MF1|-|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的双曲线的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线 仅表示焦点 F1 所对应的双曲线的一支; 当 2a=|F1F2|时, 轨迹为分别以 F1, F2 为端点的两条射线; 当 2a>|F1F2| 时,动点轨迹不存在.

1.思维辨析 (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × ) x 2 y2 (3)方程m- n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) x 2 y2 (4)m+ n =1 表示双曲线的充要条件是 mn<0.( √ )

y2 x 2 2.与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 3)的双曲线的标准方程为( 16 12 y2 A.x - =1 3
2

)

B.y2-2x2=1 y2 2 D. 3 -x =1

y2 x2 C. 2 - 2 =1

y2 x 2 y 2 x2 解析 椭圆 + =1 的焦点坐标为(0,-2),(0,2),设双曲线的标准方程为 - =1(m>0,n>0),则 16 12 m n 3 1 ? ?m-n=1, 解得 m=n=2,故选 C. ? ? ?m+n=4,

x2 y2 (8,± 3 3) . 3.双曲线 - =1 上的点 P 到点(5,0)的距离是 6,则点 P 的坐标是___________ 16 9
解析 x 2 y2 F(5,0)为双曲线的右焦点,设 P(x,y),则(x-5) +y =36①,与16- 9 =1②,联立①②解得:x
2 2

=8,y=± 3 3.∴P(8,± 3 3).

撬法· 命题法 解题法

[考法综述] 高考一般考查双曲线方程的求法和通过方程研究双曲线的性质.双曲线的定义的考查 主要是利用定义求双曲线的方程,或者是与正余弦定理结合解决焦点三角形问题. 命题法 双曲线的定义和方程 典例 x2 y2 (1)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为( a b x2 y2 B. - =1 5 20 x2 y2 D. - =1 20 80 )

x2 y2 A. - =1 20 5 x2 y2 C. - =1 80 20

x2 2 (2)已知双曲线 -y =1 的左、右焦点为 F1,F2,点 P 为左支上一点,且满足∠F1PF2=60° ,则△F1PF2 4 3 . 的面积为________

[解析] (1)由 2c=10,得 c=5, b 2b ∵点 P(2,1)在直线 y= x 上,∴1= ,即 a=2b. a a 又∵a2+b2=25,∴a2=20,b2=5. x2 y2 故双曲线 C 的方程为 - =1. 20 5 (2)设|PF1|=m,|PF2|=n,
?m2+n2-2mncos60° =?2c?2, ? ?n-m=2a, ?m2+n2-mn=20, 所以? 2 2 ?m +n -2mn=16,

1 所以 mn=4,所以 S△F1PF2=2mnsin60° = 3.

【解题法】 双曲线标准方程的求法 (1)一般步骤 ①判断:根据已知条件确定双曲线的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能. ②设:根据①中判断设出所需的未知数或者标准方程. ③列:根据题意列关于 a,b,c 的方程或者方程组. ④解:求解得到方程. (2)常见问题形式 ①如果已知双曲线的中心在原点,且确定了焦点在 x 轴上还是 y 轴上,设出相应形式的标准方程,然 后根据条件确定关于 a,b,c 的方程组,解出 a2,b2,从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个, 也有可能是两个,注意合理取舍,但不要漏解). ②当焦点位置不确定时,有两种方法来解决: 一种是分类讨论,注意考虑要全面;另一种是如果已知中心在原点,但不能确定焦点的具体位置,可 以设双曲线的一般方程 mx2+ny2=1(mn<0).


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