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2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案:1.2.1 第二课时 排列的综合应用+Word版含解析

2017-2018学年高中数学人教A版选修2-3教学案:1.2.1 第二课时 排列的综合应用+Word版含解析

第二课时 排列的综合应用 数字排列问题 [典例] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字? (1)六位奇数; (2)个位数字不是 5 的六位数; (3)不大于 4 310 的四位偶数. 1 [解] (1)第一步,排个位,有 A3 种排法; 第二步,排十万位,有 A1 4种排法; 第三步,排其他位,有 A4 4种排法. 1 4 故共有 A1 3A4A4=288 个六位奇数. (2)法一: (直接法)十万位数字的排法因个位上排 0 与不排 0 而有所不同, 因此需分两类. 第一类,当个位排 0 时,有 A5 5个; 1 4 第二类,当个位不排 0 时,有 A1 4A4A4个. 1 1 4 故符合题意的六位数共有 A5 5+A4A4A4=504(个). 法二:(排除法)0 在十万位和 5 在个位的排列都不对应符合题意的六位数,这两类排列 中都含有 0 在十万位和 5 在个位的情况. 5 4 故符合题意的六位数共有 A6 6-2A5+A4=504(个). (3)分三种情况,具体如下: 1 2 ①当千位上排 1,3 时,有 A1 2A3A4个. 2 ②当千位上排 2 时,有 A1 2A4个. ③当千位上排 4 时,形如 40××,42××的各有 A1 3个; 1 形如 41××的有 A1 2A3个; 形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数. 1 2 1 2 1 1 1 故共有 A1 2A3A4+A2A4+2A3+A2A3+2=110(个). [一题多变] 1.[变设问]本例中条件不变,能组成多少个被 5 整除的五位数? 解:个位上的数字必须是 0 或 5.若个位上是 0,则有 A4 5个;若个位上是 5,若不含 0, 1 3 则有 A4 4个;若含 0,但 0 不作首位,则 0 的位置有 A3种排法,其余各位有 A4种排法,故共 4 1 3 有 A4 5+A4+A3A4=216(个)能被 5 整除的五位数. 2.[变设问]本例条件不变,若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列 {an},则 240 135 是第几项? 解:由于是六位数,首位数字不能为 0,首位数字为 1 有 A5 5个数,首位数字为 2,万位 5 4 上为 0,1,3 中的一个有 3A4 4个数,所以 240 135 的项数是 A5+3A4+1=193,即 240 135 是数 列的第 193 项. 3.[变条件,变设问]用 0,1,3,5,7 五个数字,可以组成多少个没有重复数字且 5 不在十 位位置上的五位数. 解:本题可分两类:第一类:0 在十位位置上,这时,5 不在十位位置上,所以五位数 的个数为 A4 4=24; 第二类:0 不在十位位置上,这时,由于 5 不能排在十位位置上,所以,十位位置上只 能排 1,3,7 之一,有 A1 3=3(种)方法. 又由于 0 不能排在万位位置上,所以万位位置上只能排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字 后余下的两个数字之一,有 A1 3=3(种). 十位、万位上的数字选定后,其余三个数字全排列即可, 有 A3 3=6(种). 根据分步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为 A1 A1 A3 3· 3· 3=54. 由分类加法计数原理,符合条件的五位数共有 24+54=78(个). 数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项 (1)解题原则:排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的 限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上, 或某个位子不排某些元素, 解决该类排列问 题的方法主要是按“优先”原则, 即优先排特殊元素或优先满足特殊位子, 若一个位子安排 的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论. (2)常用方法:直接法、间接法. (3)注意事项:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,恰当地进行分类和分步, 尤其注意特殊元素“0”的处理. 排队问题 [典例] 3 名男生,4 名女生,按照不同的要求排队,求不同的排队方案的方法种数. (1)全体站成一排,其中甲只能在中间或两端; (2)全体站成一排,其中甲、乙必须在两端; (3)全体站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端; (4)全体站成两排,前排 3 人,后排 4 人,其中女生甲和女生乙排在前排,另有 2 名男 生丙和丁因个子高要排在后排. 1 6 [解] (1)先考虑甲有 A1 3种方案,再考虑其余六人全排列,故 N=A3A6=2 160(种). 2 (2)先安排甲、乙有 A2 A5 2种方案,再安排其余 5 人全排列,故 N=A2· 5=240(种). (3)[法一 特殊元素优先法] 按甲是否在最右端分两类: 第一类,甲在最右端有 N1=A6 6(种), 1 第二类,甲不在最右端时,甲有 A1 5个位置可选,而乙也有 A5个位置,而其余全排列 1 1 5 A5 5,有 N2=A5A5A5, 1 1 5 故 N=N1+N2=A6 6+A5A5A5=3 720(种). [法二 间接法] 6 无限制条件的排列数共有 A7 7,而甲在左端或乙在右端的排法都有 A6,且甲在左端且乙 7 6 5 在右端的排法有 A5 5,故 N=A7-2A6+A5=3 720(种). [法三 特殊位置优先法] 按最左端优先安排分步. 5 对于左端除甲外有 A1 余下六个位置全排有 A6 但减去乙在最右端的排法 A1 6种排法, 6, 5A5 6 1 5 种,故 N=A1 6A6-A5A5=3 720(种). (4)将两排连成一排后原问题转化为女生甲、乙要排在前 3 个位置,男生丙、丁要排在 2 后 4 个位置,因此先排女生甲、乙有 A2 3种方法,再排男生丙、丁有 A4种方法,最后把剩余 的 3 名同学全排列有 A3 3种方法. 故 N=A2 A2 A3 3· 4· 3=432(种). 排队问题的解题策略 (1)合理归类,要将题目

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