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高三数学复习之三角函数复习策略

高三数学复习之三角函数复习策略


高三数学复习之三角函数复习策略

【摘 要】三角函数是高三数学的重点,也是高考必 考的知识板块之一,因此抓好三角函数的复习教学显得非常 重要。本文针对目前高考中三角函数的主要考察类型,从自 己多年的高三数学教学经验出发,认真分析和总结了三角函 数的相关复习策略,以期能和同行们共勉。

【关键词】高三数学 三角函数 复习策略

三角函数是高中数学的重点,是高考必考的知识块,因 此关于三角函数的复习应得到教师和学生们的重视。纵观近 年来的高考数学试题,可以发现,对三角函数的考察主要分 为 4 类,即:与三角函数性质有关的问题、与三角函数的图 象有关的问题、应用同角变换和诱导公式求三角函数值及化 简和等式证明的问题、解三角形或实际的应用题。针对高考 主要考察的内容,笔者通过多年的高三教学经验,对三角函 数的复习策略进行了认真分析和总结,希望能给同仁和学生 提供帮助。 1 灵活掌握三角函数基本概念和公式 1.1 掌握三角函数基本概念 熟练掌握三角函数基本概念是解三角函数的前提。在复

习三角函数的概念时,其复习要点可归纳为以下几点: ( 1) 角的概念的推广; (2)弧度制; (3)任意角三角函数的定义; (4) 同角三角函数的基本关系式, 如 sinacsca=1, cosaseca=1, tana=sinacosa,sin2a+cos2a=1 等; (5)三角函数值的符号规 律,如 sina 与 csca,一、二象限正,三、四象限负,cosa 与 seca,一、四象限正,二、三象限负。只有在复习时让学生 熟练掌握其概念,才能让其在解答已知角求三角函数值或已 知三角函数值求角等题型时,正确解答。 如例 1:设定义在区间(0, )上的函数 y=6cosx 的图象 与 y=5tanx 的图象交于点 P, 过点 P 作轴的垂线, 垂足为 P1, 直线 PP1 与函数的图象交于点 P2, 则线段 P1P2 的长为多少? 解析:本题主要是以三角函数的图像为基础,考察了学 生对同角三角函数的关系、方程思想及图形、符号等的转 换能力。从题干中已知 x∈(0, )时,6cosx=5tanx, 求 sinx 的值。 而由 6cosx=5tanx, 利用同角三角函数的关系, 变为正弦函数式 6(1 - sin2x)=5sinx,不难求得 P1P2=。 1.2 灵活使用三角函数的变形公式 三角函数中,公式与公式之间的联系较多,且公式的变 形方式比较复杂,因此要想提高学生的解题能力,就要加强 其对三角函数变换公式的记忆,并掌握三角函数的公式及公 式之间的结构特点、变形技巧,能正用、逆用、变形用各个

公式, 知道各个公式之间的内在联系。 如: 三角形中 sin (A+B) =sinC,cos4a-sin4a=cos2a-sin2a=cos2a,这样解题时才能 快速找到突破口。 2 熟练掌握三角函数的图象和性质 在三角函数中,图象和性质是高考出题的重点,且考察 形式常出现在大题之中,但常以基础题的出现为主,所以在 复习时要让学生充分了解三角函数的图象和性质之间的关 系。在复习时,可运用数形结合的思想,把图象与性质结合 起来,即利用图象的直观性得出函数的性质,或由单位圆上 线段表示的三角函数来获得函数的性质,同时也要利用函数 的性质来描绘函数的图象,这样既利于学生熟练掌握函数图 象与性质,又能使其能熟练运用数形结合的思想方法来解 题。 例 2:已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I=Asin(ω t+φ ) 。 (1)图 1 是 I=Asin(ω t+φ ) (ω >0,|φ |<)在一个周 期内的图像,根据图中数据求的解析式;

图1 (2)如果 t 在任意一段秒的时间内,电流 I=Asin(ω t+ φ)

都能取得最大值和最小值,那么ω 的最小正整数值是多 少? 解: (1)由图可知 A=300,那么设 t1=-,t2=, 则周期 T=2(t2-t1)=2(+)=。 ∵ω = =150π 。 又当 t= 时,I=0,即 sin(150π ? +φ )=0,而 |φ |< ,∴φ =。 故所求的解析式为:I=300sin(150π t + ) 。

(2)依题意,周期 T≤,即≤ , (ω >0) ∴ω ≤ 300π >942,又ω ∈N*, 故最小正整数ω =943。 解析:本题主要是考察学生是否掌握了三角函数的图象 与性质的基础知识,其解题的关键点是将图形转化为语言符 号,很好地考察了学生的运算能力和逻辑推理能力。 3 三角函数应用性题目的复习策略 高考中, 在考察三角函数应用题时, 一般会与其他函数、 导数、不等式、向量或几何等知识相结合,因此在复习时应 将其与解三角形、平面向量和复数知识等融合为一个知识模 块进行整体复习。 例 3:某体育馆逆用运动场的边角地建一个矩形的健身 室,如图所示,ABCD 是一块变长为 50 米的正方形地皮,

扇形 CEF 是运动场的一部分,其半径为 40 米,矩形 AGHM 就是拟建的健身室,其中 G、M 分别在 AB 和 AD 上,H 在 弧 EF 上,设矩形 AGHM 的面积为 S,∠HCF=θ ,请将 S 表示为θ 的函数,并指出当点 H 在弧 EF 何处时,该健身室 的面积最大,最大面积是多少?

解析:如图延长 GH 交 CD 于 P,因为 GH//AM,HP⊥ CD, 又∠HCP+∠HCF=θ , CH=40, 所以 HP=CH?sinθ =40sin θ ,CP=CH?cosθ =40cosθ ,于是 HG=50-40sinθ , HM=50-40cosθ ,所以矩形 AGHM 的面积 S=HG?HM= (50-40sinθ ) (50-40cosθ ) , (0 ≤θ ≤) 。设 sinθ +cosθ =t,则 2sinθ cosθ =t2-1,因为 0≤θ ≤ ,所以当 t=1 时,S 有最大值,此时 2sinθ cosθ =0,即 sin2θ = 0,因为 0 ≤2θ ≤π ,所以θ =0 或。因此,答案为: 当 H 在弧 EF 的端点 E 或 F 处时,健身室面积最大,最大面 积为 500 平方米。 在该题中,由题意结合图形,在直角三角形中利用三角 函数关系,用已知长度和角度去构建三角函数关系,再利用 换元法即可推导出函数的最值。

总而言之,三角函数的复习是高三数学复习的重点,在 复习中无任何捷径可走,需要学生在复习时应熟练掌握三角 函数的概念、公式、图象和性质等,并能在熟练记忆基本公 式的基础上,灵活使用三角函数的变换公式来求三角函数的 最值问题以及等式证明等问题。这也就要求高三数学教师在 安排学生进行复习时,须精心地安排和系统地组织,让学生 能了解高考的考核范围和知识点,能在熟悉三角函数概念、 公式、图象等等基础上做到举一反三,从而不断提高学生的 应考能力。

【参考文献】 [1] 徐其明.浅谈高考三角函数知识的复习[J].快乐阅读, 2013(13). [2]张春杰.一节基于问题解决的高三复习课案例―― 三角函数的图像变换[J].数学教学通讯,2005(6).


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