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2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业: 十四 2.11.1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

2019版高考数学(理)一轮复习课时分层作业: 十四 2.11.1利用导数研究函数的单调性 Word版含解析

课时分层作业 十四 利用导数研究函数的单调性 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调减区间是 A.(0,1) C.(-∞,1) B.(1,+∞) D.(-1,1) ( ) 【解析】选 A.因为 f′(x)=2x- = 所以当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 2.函数 f(x)=1+x-sin x 在(0,2π )上是 ( A.单调递增 B.单调递减 C.在(0,π )上增,在(π ,2π )上减 D.在(0,π )上减,在(π ,2π )上增 ) (x>0). 【解析】选 A.f′(x)=1-cos x>0 恒成立,所以 f(x)在 R 上递增,在 (0,2π )上单调递增. 3. 已知函数 f(x)=2x3-6ax+1,a ≠ 0, 则函数 f(x) 的单调递减区间为 ( ) A.(-∞,+∞) B.( C.(-∞,,+∞) )∪( ,+∞) D.(- , ) 【解析】选 D.f′(x)=6x2-6a=6(x2-a), 当 a<0 时,对 x∈R,有 f′(x)>0; 当 a>0 时,由 f′(x)<0 解得<x< , , ). 所以当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(- 4.已知函数 f(x)=x2+2cos x,若 f′(x)是 f(x)的导函数,则函数 f′(x) 的图象大致是 ( ) 【解析】选 A.设 g(x)=f′(x)=2x-2sin x,g′(x)=2-2cos x≥0,所以 函数 f′(x)在 R 上单调递增. 【变式备选】(2018·聊城模拟)已知函数 y=xf′(x)的图象如图所示 (其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数).则下面四个图象中,y=f(x)的图 象大致是 ( ) 【解析】选 C.由条件可知当 0<x<1 时,xf′(x)<0, 所以 f′(x)<0,函数递减.当 x>1 时,xf′(x)>0, 所以 f′(x)>0,函数递增,所以当 x=1 时,函数取得极小值.当 x<-1 时,xf′ (x)<0,所以 f′(x)>0,函数递增,当-1<x<0 时,xf′(x)>0,所以 f′(x)<0,函 数递减,所以当 x=-1 时,函数取得极大值.符合条件的只有 C 项. 5.若函数 f(x)=kex+x 在(0,+∞)上单调递减,则 k 的范围为 ( A.k≥-1 C.k≥1 B.k≤-1 D.k≤1 ) 【解析】选 B.f′(x)=kex+1. 由题意得 kex+1≤0 在(0,+∞)上恒成立, 即 k≤- ,x∈(0,+∞). 当 x∈(0,+∞),所以 k≤-1. ∈(-1,0), 【变式备选】 已知函数 f(x)= 则实数 a 的取值范围为 ( ) -ln x 在[1,+∞)上是减函数, A.a<1 C.a≤2 B.a<2 D.a≤3 【解析】 选 C.由题意得:f′(x)= - ,x>0,因为 f(x)在[1,+∞) 上 是 减 函 数 , 所 以 f′(x) ≤ 0 在 [1,+∞) 上 恒 成 立 . 即 2a ≤ =x+ +2 在[1,+∞)上恒成立,又 x+ +2≥2 仅当 x=1 时取等号),所以 a≤2. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) +2=4(当且 6.函数 f(x)=ln x- x2+x 的单调增区间为________. 【解析】因为 f(x)=ln x- x2+x, 所以 f′(x)= -x+1= ,x>0, 由 f′(x)>0 得 x>0 且 x< , 所以增区间为 . 答案: 7.设函数 f(x)= x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数 a>1,则 f(x)的单调减 区间为________. 【解析】f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a), 由 a>1 知,当 x<2 时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(-∞,2)上单调递增; 当 2<x<2a 时,f′(x)<0, 故 f(x)在区间(2,2a)上单调递减; 当 x>2a 时,f′(x)>0, 故 f(x)在区间(2a,+∞)上单调递增. 综上,当 a>1 时, f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)上单调递增, 在区间(2,2a)上单调递减. 答案:(2,2a) 【一题多变】 若将本题改为已知函数 f(x)= x3-(1+a)x2+4ax+24a(a∈ R),求 f(x)的单调区间,如何解? 【解析】x∈R,f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2a)(x-2), 令 f′(x)=0,得 x1=2a,x2=2, 当 2a>2,即 a>1 时,由 f′(x)>0 得 x>2a 或 x<2; 由 f′(x)<0 得 2<x<2a. 当 2a=2,即 a=1 时,f′(x)≥0 恒成立; 当 2a<2,即 a<1 时,由 f′(x)>0 得 x>2 或 x<2a; 由 f′(x)<0 得 2a<x<2. 综上所述,当 a>1 时,增区间为(2a,+∞),(-∞,2); 减区间为(2,2a). 当 a=1 时,增区间为(-∞,+∞),无减区间. 当 a<1 时,增区间为(-∞,2a),(2,+∞),减区间为(2a,2). 8.(2018· 秦皇岛模拟)已知函数 f(x)=ln x,g(x)= ax2+2x,a≠0.若函 数 h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,则 a 的取值范围为________. 【解析】h(x)=ln x- ax2-2x,x∈(0,+∞), 所以 h′(x)= -ax-2.因为 h(x)在[1,4]上单调递减, 所以当 x∈[1,4]时,h′(x)= -ax-2≤0 恒成立, 即 a≥ - 恒成立, 令 G(x)= - ,则 a≥G(x)max, 而 G(x)

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