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1.1.2余弦定理导学案(必修五)

1.1.2余弦定理导学案(必修五)


§ 1.1.2 余弦定理
学习目标
1. 掌握余弦定理的两种表示形式; 2. 证明余弦定理的向量方法; 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.

学习过程
一、课前准备 复习 1:在一个三角形中,各 和它所对角的 的 相等,即 复习 2:在△ABC 中,已知 c ? 10 ,A=45?,C=30?,解此三角形. = = .

思考:已知两边及夹角,如何解此三角形呢?

C b A c a B

二、新课导学 ※ 探究新知 问题:在 ?ABC 中, AB 、 BC 、 CA 的长分别为 c 、 a 、 b . ???? ∵ AC ? , ???? ???? ∴ AC ? AC ?
同理可得:

a 2 ? b2 ? c 2 ? b c o s , 2 c A c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
的和减去这两边与它们

新知:余弦定理:三角形中任何一边的 等于其他两边的 的夹角的 的积的两倍. 思考:这个式子中有几个量? 从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由三边求出一角? 从余弦定理,又可得到以下推论:

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc







[理解定理] (1)若 C= 90? ,则 cosC ? ,这时 c 2 ? a 2 ? b2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例. (2)余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角. 试试: (1)△ABC 中, a ? 3 3 , c ? 2 , B ? 150? ,求 b .(2)△ABC 中, a ? 2 , b ? 2 , c ? 3 ? 1 ,求 A .

※ 典型例题 例 1. 在△ABC 中,已知 a ? 3 , b ? 2 , B ? 45? ,求 A, C 和 c .

变式:在△ABC 中,若 AB= 5 ,AC=5,且 cosC=

9 ,则 BC=________. 10

例 2. 在△ABC 中,已知三边长 a ? 3 , b ? 4 , c ? 37 ,求三角形的最大内角.

变式:在 ? ABC 中,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,求角 A.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 2. 余弦定理的应用范围: ① 已知三边,求三角; ② 已知两边及它们的夹角,求第三边. ※ 知识拓展 在△ABC 中, 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是直角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是钝角; 若 a 2 ? b2 ? c 2 ,则角 C 是锐角.

学习评价
※ 当堂检测 1.根据下列条件,求解. o (1)已知 a=1,b=1, C=120 ,求 c;

(2)已知 a=3,b=4,c= 37 ,求最大角;

(3)已知 a:b:c=1: 3 :2,求 A,B,C;

(4)已知 a= 2 3 ,c=2, C=30 ,求 b;

o

2. 在△ABC 中,解三角形 o (1)b=3,c=3,A=60 ;

(2)a=20, b=29,c=21;

3. 已知 a= 3 ,c=2,B=150°,则边 b 的长为( A.

).

34 22 B. 34 C. D. 22 2 2 4. 已知三角形的三边长分别为 3、5、7,则最大角为( ). ? ? ? ? A. 60 B. 75 C. 120 D. 150 5. 已知锐角三角形的边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是( ). A. 5 ? x ? 13 B. 13 <x<5 C. 2<x< 5 D. 5 <x<5 ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 6. 在△ABC 中,| AB |=3,| AC |=2, AB 与 AC 的夹角为 60°,则| AB - AC |=________. 7. 在△ABC 中,已知三边 a、b、c 满足 b2 ? a2 ? c2 ? ab ,则∠C 等于 .
8.在△ABC 中, 若 sin A : sin B : sin C ? ( 3 ? 1) : ( 3 ? 1) : 10 ,求最大内角.

9.在△ABC 中,已知 b2 sin2 C ? c2 sin2 B ? 2bc cos B cos C ,试判断三角形的形状.

10.已知方程 x 2 ? (b cos A) x ? a cos B ? 0 的两根之积等于两根之和, a, b 为△ABC 的两边,A,B 为两内角,

试判断这个三角形的形状.

11.如图所示的四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求 BC 的长.

12.我舰在敌岛 A 南偏西 50°相距 12 海里的 B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西 10°的方向以 10 海里/时的速 度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用 2 小时追上敌舰?

10 o

A

50 o

B
课后作业
1. 在△ABC 中,已知 a=7,b=8,cosC=
13 ,求最大角的余弦值. 14

??? ??? ? ? 2. 在△ABC 中,AB=5,BC=7,AC=8,求 AB ? BC 的值.


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