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2010-2011学年 第2学期 期末考试 B卷 试卷及解答

2010-2011学年 第2学期 期末考试 B卷 试卷及解答

中国海洋大学 2010-2011 学年 第 2 学期 期末考试试卷 数学科学 学院《线性代数》课程试题(B 卷) 共 4 页 第 1 页 座号 考试说明:本课程为闭卷考试 满分为:100 分。 题号 得分 授课教师 一 二 三 四 五 六 总分

符号说明:r ( A) 表示矩阵 A 的秩, A? 表示矩阵 A 的伴随矩阵, I 表示单
位矩阵, AT 表示矩阵 A 的转置矩阵, M ij 是 A 中元素 aij 的余子式。

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一. 填空(18 分)
1. 设 A 为 3 阶 方 阵 且 A ? 1 , 若 A 按 列 分 块 为 A ? (? 1 , ? 2 , ? 3 ) , 令

姓名

B ? (?1 ? ? 2 ? ? 3 , ?1 ? 2? 2 ? 4? 3 , ?1 ? 3? 2 ? 9? 3 ) ,则 B ? __________.
解:此题利用行列式的倍加列变换求解

B ? ??1 ? ? 2 ? ? 3 , ?1 ? 2? 2 ? 4? 3 , ?1 ? 3? 2 ? 9? 3 ? c2 ? c1 , c3 ? c1

??1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 2 ? 3? 3 , 2? 2 ? 8? 3 ? c3 ? 2c2 ??1 ? ? 2 ? ? 3 ,? 2 ? 3? 3 , 2? 3 ?
? 2 ??1 ? ? 2 ? ? 3 , ? 2 ? 3? 3 , ? 3 ? c2 ? 3c3 , c1 ? c2 ? c3 2 ??1 , ? 2 , ? 3 ? ? 2 A ? 2

学号

2. 设 n 阶方阵 A 满足 3 A ? 2 A ? 10 I ? O ,则 ( A ? 2 I )
2

?1

? __________.

解:由 3 A ? 2 A ? 10I ? O 得
2

? A ? 2 I ?? 3 A ? 8I ? ? 3 A2 ? 2 A ? 16 I ? 3A2 ? 2 A ? 10 I ? 6 I ? ?6 I
因此 ? A ? 2 I ?
?1

XXX XXXX

??

1 ? 3 A ? 8I ? 6

1 0 ? ?1 0 ? ? ? 2 ?1 0 ? 2? ? 3. 设 A ? ? 则齐次线性方程组 A x ? b 的解集合中线性无关的 ?, 0 ? 3 ?1 1 ? ? ?0 2 4 4 ? ? ?

优选专业年级

解向量个数最多为________个. 解:因为

0? 0? ?1 0 1 0 ? ?1 0 1 ?1 0 1 ? 2 ?1 0 ?2 ? ? 0 ?1 ?2 ?2 ? ? 0 ?1 ?2 ?2 ? ? r2 ? 2 r1 ? ? r3 ? 3r2 , r4 ? 2 r2 ? ? A?? r r ? 0 ?3 ?1 1 ? uuuuuu ? 0 ?3 ?1 1 ? uuuuuuuuuuuuuu ? 0 0 5 7? ? ? ? ? ? ? 4? 0? ?0 2 4 4 ? ?0 2 4 ?0 0 0
得 r ? A? ? 3 ,因此由命题

r ? A? ? n ? n, ? r ? A ? ? ?1, r ? A? ? n ? 1 ? 0, r ? A? ? n ? 1 ?
*

其中 n 为 A 的阶数,可得 r A

? ? ? 1 ,因此齐次线性方程组 A x ? 0 的解集合中线性
*

?

无关的解向量个数最多为 4 ? r A 向量个数最多为 4 个

? ? ? 3 个,因此 A x ? b 的解集合中线性无关的解
*

?

4. 设 3 阶方阵 A 的特征值为

1 1 1 , , ,则 I ? 2 A ? ? ___________. 2 3 4 1 1 1 , , ,因此 A?1 的特征值为 2,3,4 互不相同,因 2 3 4

解:因为 3 阶方阵 A 的特征值为

?2 ? ?2 ? ? ? P ?1 ? ? ?1 A ?P 3 3 此存在可逆矩阵 P 使得 P A P ? ,因此 ? ? ,即 ? ? ? ? ? ? 4? 4? ? ?
?1 ?1

1 1 1 1 I ? 2 A? ? I ? 2 A A?1 ? I ? 2 ? ? ? A?1 ? I ? A?1 2 3 4 12
?5 ?6 ? ? P? ? ? ? ? ? ? ?5 ? ?6 ? ? ? P ?1 ? P ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? P ?1 ? 5 ? 12 2? ? ? 3?

?1 ? ?2 ? ? 1 ? P ?1 ? 1 P ? ? P? 3 ? P ?1 ? ? 12 ? ? ? 1? 4? ? ? ? ?

3 4

3 4

? ? 2? ? 6 ? ? ? ? ? 5. 若 ? 1 ? ? 3 ?, ? 2 ? ? t ? 分别是实对称矩阵 A 属于特征值 1,2 的特征向量,则 ? 1 ? ? ? 3? ? ? ? ?

t ? ___________.
? ? 2? ? 6 ? ? ? ? ? 解:因为 ? 1 ? ? 3 ?, ? 2 ? ? t ? 分别是实对称矩阵 A 属于特征值 1,2 的特征向量, ? 1 ? ? ? 3? ? ? ? ?

? ?2 ? ? ? 因此彼此正交,即 0 ? ??1 , ? 2 ? ? 3 ? ? ?1? ? ?
2 2

T

?6? ? t ? ? ?12 ? 3t ? 3 ,因此 t ? 5 ? ? ? ?3 ? ? ?
2

6. 二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) ? x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 ? 4 x1 x 2 ? 4 x1 x3 ? 8 x 2 x3 的标准型为 ___________________,规范型为________________. 解: 二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) ? x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 ? 4 x1 x 2 ? 4 x1 x3 ? 8 x 2 x3 所对应的矩阵
2 2 2

? ?1 2 ?2 ? 1 ?2 2 ? ? ?2 ?2 4 ? ,解特征方程 0 ? ? I ? A ? 2 ? ? 2 ?4 ,可以看 为A? ? ? ? 2 ? ?2 ?4 ? ? 2 4 ?2 ? ?
2 ?2 ? ? 1 ? 2 4 ?4 ? ? 1 ,即对应于 ? ? 2 有两个 出 ? ? 2 是一个根,并且 r ? 2 I ? A? ? r ? ? ? ?2 ?4 4 ? ? ?
线性无关的特征向量,因此 ? ? 2 是 2 重特征值,由 ?1 ? ?2 ? ?3 ? a11 ? a22 ? a33 可 得,另一个特征值为-7,因此标准型为特征值为系数的二次型 2 y1 ? 2 y2 ? 7 y3 ,规
2 2 2

范型为系数都为 1 或-1 的二次型 z1 ? z2 ? z3
2 2

2

二.选择(18 分)
1. 设 A 为 n ( n ? 2 )阶可逆矩阵,交换 A 的第一行与第二行得矩阵 B , A , B 分
? ?

别为 A, B 的伴随矩阵,则(



(A) 交换 A? 的第一列与第二列得 B ?

(B) 交换 A? 的第一行与第二行得 B ?

(C ) 交换 A? 的第一列与第二列得 ? B ? (D) 交换 A? 的第一行与第二行得 ? B ?

1 ? ? ?1 ? A ? B ,因此 解:由交换 A 的第一行与第二行得矩阵 B 可得 ? ? ? 1? ? ?
?? 1 ? ? ? 1 ? ?? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? ?? ? A? ? ? 1 ? A ??1 ? A ? ? ? A A?1 ? 1 ? ? ? A? ? 1 ? ? B ? ??1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 1? ? 1? ? ? 1? ? 1? 1? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??
* ?1 ?1

1 ? ? ?1 ? ? ? B ? ,即交换 ? 的第一列与第二列得 得A A ? B? ? ? ? 1? ? ?
?

2. 设 A 为 m? n 矩阵, B 为 n? m 矩阵且 AB ? I ,其中 I 为 m 阶单位矩阵,则 ( ) 。

(A) r ( A) ? r ( B) ? m (C ) r ( A) ? n, r ( B) ? m

(B) r ( A) ? m, r ( B) ? n (D) r ( A) ? r ( B) ? n

解:由 AB ? I 可得 m ? r ? I ? ? r ? AB ? ? min r ? A? , r ? B ? ? min ?m, n? ? m ,这 说明 min r ? A? , r ? B ? ? min ?m, n? ? m ,又因为

?

?

?

?

m ? min ?r ? A? , r ? B ?? ? r ? A? , r ? B ? ? min ?m, n? ? m
因此可得 r ( A) ? r ( B) ? m

3. 设 ?1 , ?2 ,K , ? s 均为 n 维列向量, A 为 m? n 矩阵,则下列选项正确的是(

) 。

(A) 若 ?1 , ?2 ,K , ? s 线性相关,则 A?1 , A? 2 ,K , A? s 线性相关

(B) 若 ?1 , ?2 ,K , ? s 线性相关,则 A?1 , A? 2 ,K , A? s 线性无关 (C ) 若 ?1 , ?2 ,K , ? s 线性无关,则 A?1 , A? 2 ,K , A? s 线性相关 (D) 若 ?1 , ?2 ,K , ? s 线性无关,则 A?1 , A? 2 ,K , A? s 线性无关
解:由 ? A?1 , A? 2 ,K , A? s ? ? A ??1 , ? 2 ,K , ? s ? 可得
r ? A?1 , A? 2 ,K , A? s ? ? r ? A ??1 , ? 2 ,K , ? s ? ? ? min ?r ? A? , r ??1 , ? 2 ,K , ? s ?? ? min ?m, n, r ??1, ? 2 , K , ? s ??

因此若 ?1 , ?2 ,K , ? s 线性相关,则 r ??1 , ? 2 ,K , ? s ? ? s ,因此

r ? A?1 , A? 2 ,K , A? s ? ? min ?m, n, r ??1 , ? 2 ,K , ? s ?? ? r ??1 , ? 2 ,K , ? s ? ? s
即 A?1 , A? 2 ,K , A? s 线性相关,其余的未必成立

4.设 A 是 4 阶实对称矩阵且 A ? A ? O ,若 r ( A) ? 3 ,则 A 相似于(
2



?1 ? ? ? ? 1 ? (A) ? ? 1 ? ? ? 0? ? ? ??1 ? ? ? ?1 ? ? (C ) ? ?1 ? ? ? ? 0? ? ?
2

?1 ? ? ? ? 1 ? (B) ? ?1 ? ? ? ? 0? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? (D) ? ?1 ? ? ? ? 0? ? ?

解:由 A ? A ? 0 得 A ? ? A ,下面来求 A 的特征值,设 Ax ? ? x, x ? 0 ,两边左乘
2

矩 阵 A 可 得 ?? x ? ? Ax ? A x ? AAx ? A? x ? ? Ax ? ? x , 由 x ? 0 知
2 2

? 2 ? ? ? 0 ,即 ? ? 0, ?1 ,因为相似矩阵有相同的特征值和秩,且 A 是 4 阶实对称
矩阵一定可对角化,因此与 A 相似的矩阵可以为对角矩阵,且秩= r ? A? ? 3 ,并且 特征值为 0,-1,此选 (C)

5. 设有齐次线性方程组 Ax ? 0 和 Bx ? 0 ,其中 A, B 均为 m? n 矩阵,现有 4 个命 题: 1 ○若 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解,则 r ( A) ? r ( B) 2 ○若 r ( A) ? r ( B) ,则 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解 3 ○若 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解,则 r ( A) ? r ( B) 4 ○若 r ( A) ? r ( B) ,则 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解 1 2 (A) ○○ 1 3 (B) ○○ 2 4 (C ) ○○ 3 4 (D) ○○

解:○若 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解, Ax ? 0 的解集合的秩小于等于 Bx ? 0 的 1 解集合的秩,即 n ? r ? A? ? n ? r ? B ? ,这说明 r ( A) ? r ( B) 2 ○若 r ( A) ? r ( B) , Ax ? 0 和 Bx ? 0 可能没有公共解 3 ○若 Ax ? 0 与 Bx ? 0 同解,说明 Ax ? 0 的解均是 Bx ? 0 的解,且 Bx ? 0 的解均 是 Ax ? 0 的解,由○中结论可得 r ( A) ? r ( B) ,且 r( A) ? r( B) ,即 r ( A) ? r ( B) 1 4 ○若 r ( A) ? r ( B) , Ax ? 0 和 Bx ? 0 可能没有公共解

6. 设 A, B 均为 n 阶实对称矩阵,若存在正交矩阵 P 使得 P AP ? B 成立,现有 4
T

个命题: 1 ○ A 与 B 相似 2 ○若 A 为正定矩阵,则 B 也是正定矩阵

3 ○ A 与 B 有相同的特征值与特征向量 1 2 (A) ○○ 2 3 (B) ○○

4 ○ A 与 B 合同且 r ( A) ? r ( B) 1 2 4 (D) ○○○

1 2 3 4 (C ) ○○○○

解: 1 由存在正交矩阵 P 使得 P T AP ? B 成立, 可得 P?1 AP ? PT AP ? B , A 与 即 ○

B 相似
2 ○ ?y ? 0 ? ?
n

,由正交矩阵 P 可逆可得 x ? Py ? 0 ,因此若 A 为正定矩阵则有
T

y T By ? y T P T APy ? ? Py ? A ? Py ? ? x T Ax ? 0 ,即 B 也是正定矩阵
3 但不一定有相同的特 ○由相似的矩阵有相同的特征值可得 A 与 B 有相同的特征值, 征向量 4 ○ A 与 B 满足合同定义,且正交矩阵可逆,左乘右乘不改变矩阵的秩,因此

r ( A) ? r ( B)

三. 计算(30 分)
1 1
1. (6 分)设 A ?

?1 3 0

1 8 ?5 ?1
, M ij 是行列式 A 中元素 aij 的余子式,

1 0 1 3

2 2 ? 10
求: M 31 ? M 32 ? M 33 ? M 34

共4 页

第 2 页

1
解:由 M 31 ? M 32 ? M 33 ? M 34 ? A31 ? A32 ? A33 ? A34 ?

1 0 2

?1 3 1

1 8 ?1
,打零化

1 2

1 ?1

?10 ?1

为上三角行列式求得为 110

a1 ? ?
2. (6 分)求 n 阶行列式

a2 M a2

L O L

an an M an ? ?
的值。

a1 M a1

a2 ? ? L

解:

a1 ? ? a1 M a1

a2 M a2

L O L

an an M an ? ?
n

1 ?0 M 0

a1 a1 M a1
n ?1

a2 a2 M a2

L L O L

an an an M an ? ?

1 ? ?1 ?1

a1 a2 L 0 L L L 0 0

an 0 0 M

a2 ? ? L

0 a1 ? ?

?1 ?

a2 ? ? L

?
0

M M M O

?

(按照第一行展开) ? (? ?

? a )?
i ?1 i

? 2 1 0? ?1 0? ? ? ? ? 3. (8 分)已知 A ? ? 1 2 1 ?, B ? ? 0 1 ? ,求矩阵 X 使之满足 AX ? X ? B ? 0 1 2? ?0 0? ? ? ? ?
解:由 AX ? X ? B 得 ( A ? I ) X ? B ,初等变换法解矩阵方程

?1 1 0 1 0? ? 1 1 0 1 0? ? ? ? ? ( A ? I , B) ? ? 1 1 1 0 1 ? ? ? 0 0 1 ? 1 1 ? ? 0 1 1 0 0? ? 0 1 1 0 0? ? ? ? ? ?1 0 0 0 1 ? ? ? ? ? 0 1 0 1 ? 1? ?0 0 1 ?1 1 ? ? ?

1? ? 0 ? ? 所以 X ? ? 1 ? 1? ??1 1 ? ? ?
4. (10 分)已知向量组 ? 1 ? (1,0,1,0) , ? 2 ? (2,1,?3,7) , ? 3 ? (4,1,?1,7) ,
T T T

? 4 ? (3,1,0,3) T , ? 5 ? (4,1, t ,?1) T 的秩为 3,求 t 及其一个极大线性无关组,并用它们
表示其余向量。

4 ?1 2 ? 1 ?0 1 解: (? 1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 ) ? ? 1 ? 3 ?1 ? ?0 7 7 ? ?1 ? ?0 ?? 0 ? ?0 ? 4 ? ? 1 1 1 1 ? 0 0 1 2 ? ? 0 0 0 t ? 3? ? 2 4 3

4? 4 3 4 ? ?1 2 ? ? ? 1 1? 1 1 1 ? ?0 1 ?? 0 t ? 0 ? 5 ? 5 ? 3 t ? 4? ? ? ? ?0 7 3 ? 1? 7 3 ?1 ? ? ? ? 3

因为向量组的秩为 3,所以 t ? 3 ? 0 即 t ? 3 ; ?1 , ? 2 , ? 4 为其一个极大线性无关组。

?1 ? ?0 (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 , ? 5 ) ? ? 0 ? ?0 ?

2 4 3 4? ?1 ? ? 1 1 1 1? ?0 ? 0 0 1 2? ?0 ? ? 0 0 0 0? ?0 ? ?

0? ? 1 1 0 ? 1? 0 0 1 2? ? 0 0 0 0? ? 0 2 0

所以, ? 3 ? 2? 1 ? ? 2 , ? 5 ? ?? 2 ? 2? 4

四 .( 10 分 ) 若 A 为 一 个 n 阶 方 阵 , 且 A ? 3 A ? 2I ? O , 证 明 :
2

r ( A ? 2I ) ? r ( A ? I ) ? n . A2 ? 3 A ? 2 I ? O ? ( A ? 2I )( A ? I ) ? O

? A ? I 的每一列均是齐次线性方程组 ( A ? 2 I ) x ? 0 的解
因此 r ( A ? I ) ? n ? r ( A ? 2I ) 即 r ( A ? I ) ? r ( A ? 2I ) ? n 另一方面,因为

r ( A ? 2I ) ? r ( A ? I ) ? r ( A ? 2I ) ? r ( I ? A) ? r (( A ? 2I ) ? ( I ? A)) ? r (? I ) ? n
所以结论可证。

? x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? ?1 ? 五. (12 分)已知非齐次线性方程组 ?4 x1 ? 3 x 2 ? 5 x3 ? x 4 ? ?1 系数矩阵的秩为 2 ? ax ? x ? 3 x ? bx ? 1 2 3 4 ? 1
求(1) a, b (2)方程组的一般解。 解: (1) r ( A) ? 2

? A 中所有 3 阶子式全为 0
1 1 1
由4

3 5 ? 0得a ? 2

a 1 3 1 1
由3

1

5 ? 1 ? 0 得 b ? ?3 1 3 b

? 1 1 1 1 ? 1? ?1 0 2 ? 4 2 ? ? ? ? ? (2) ( A, b) ? ? 4 3 5 ? 1 ? 1? ? ? 0 1 ? 1 5 ? 3 ? ?2 1 3 ? 3 1 ? ?0 0 0 0 0 ? ? ? ? ?
取自由变量 x3 , x 4

? 2 ? ? ? ? x3 ? ? 0 ? ? ? 3? 令 ? ? ? ? ? 得非齐次线性方程组的一个特解 ? 0 ? ? ? x ? ?0? 0 ? ? 4? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 2? ? 4 ? ? ? ? ? ? x3 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? 5? 令 ? ? ? ? ?, ? ? 得导出组的一个基础解系 ? 1 ? ? ,? 2 ? ? ? x ? ? 0? ?1? 1 ? 0 ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 1 ? ? ? 5? 所以非齐次线性方程组的一般解 ? ? ? 其中 k1 , k 2 为任意常 ? ? k1 ? 1 ? ? k 2 ? 0 ? , 0 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ?
数。 六. (12 分)已知三元实二次型

f ( x1 , x2 , x3 ) ? (1 ? a) x1 ? (1 ? a) x 2 ? 2 x3 ? 2(1 ? a) x1 x 2 ? x T Ax 的秩为 2,
2 2 2

求: (1) a 的值; (2)利用正交变换法,将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 化为标准型,并写出相应的正交矩 阵。

?1 ? a 1 ? a 0 ? ? ? 解: (1)易知二次型对应的矩阵 A ? ?1 ? a 1 ? a 0 ? ? 0 0 2? ? ?

r( A) ? 2
? A ?0
从而 a ? 0

? ?1 ?I ? A ? ? 1
0

?1

0 0 ?0

? ?1
0

??2

解得 ?1 ? 2 (2 重根) ?2 ? 0 (单根)

? 1 ?1 0? ?1 ?1 0? ? ? ? ? ?1 I ? A ? ? ? 1 1 0 ? ? ? 0 0 0 ? ?0 0 2? ?0 0 0? ? ? ? ? ?1? ?0? ? ? ? ? 得 (?1 I ? A) x ? 0 的一个基础解系为: ?11 ? ? 1 ?, ?12 ? ? 0 ? ?0? ?1? ? ? ? ? ?1? ?0? ? ? 1 ? ? 对 ?11 , ?12 用施密特正交化得:?11 ? ? 1 ?,?12 ? ? 0 ? 2? ? ?1? ?0? ? ? ? ?1 ?1 0 ? ?1 1 0? ? ? ? ? ?2 I ? A ? ? ? 1 ? 1 0 ? ? ? 0 0 1 ? ?0 0 ? 2? ?0 0 0? ? ? ? ?
得 (?2 I ? A) x ? 0 的一个基础解系为: ? 21

授课教师

座号

----------------装----------------订----------------线-------------------------------装----------------订----------------线----------------

姓名

? ? 1? ? ? ?? 1 ? ? 0? ? ?

单位化得:? 21

? ? 1? 1 ? ? ? ?1? 2? ? ? 0? 0 ? 0 1 ? ? 2 2 1 ,令 x ? Qy 得标准型 f ( y1 , y 2 , y 3 ) ? 2 y1 ? 2 y 2 2 ? 0 ? ?
1 2

学号

? 12 ? 取正交矩阵 Q ? ? 12 ?0 ?

优选专业年级

XXX XXXX

中国海洋大学 2010-2011 学年 第 2 学期 期末考试试卷 数学科学 学院《线性代数》课程试题(A 卷)


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