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平面曲线的切线与法线

平面曲线的切线与法线

平面曲线的切线与法线方程

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

平面曲线可以用三种方式表示: 1. 函数方程 y=f(x) (显函数曲线) 2. 二元方程 F(x, y)=0(隐函数曲线) 3. 参数方程 x=x(t), y=y(t) (参数曲线)
这也是表示函数的三种方式。

因此,平面曲线的切线与法线也有三种形式。

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

1. 曲线 y=f(x) 在点(x0, y0)处的切线与法线

切线斜率:kT ? f ?(x0 )

法线斜率:kn

?

?

1 f ?(x0 )

切线方程: y ? f (x0 ) ? f ?(x0 )(x ? x0 )

法线方程: y ?

f

(x0 )

?

?

f

1 ?(x0 ) (x ? x0 )

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

切线方程: y ? f (x0 ) ? f ?(x0 )(x ? x0 )

法线方程: y ?

f

(x0 )

?

?

f

1 ?( x0

)

(

x

?

x0

)

法线

y ? f (x)

切线

Mar, 2008

P f (x0 )
x0
四川大学数学学院 徐小湛

2. 曲线 F(x, y)=0 在点(x0, y0) 处的切线与法线

切线斜率:kT

?

y?(x0 ) ? ?

Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )

切线方程: y ? y0 ? y?(x0 )(x ? x0 )

y

?

y0

?

?

Fx (x0 , Fy (x0 ,

y0 ) y0 )

(x

?

x0 )

Fx (x0 , y0 )(x ? x0 ) ? Fy (x0 , y0 )( y ? y0 ) ? 0

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

法线斜率: kn

?

Fy (x0 , Fx (x0 ,

y0 ) y0 )

法线方程:

y

?

y0

?

Fy (x0, Fx (x0,

y0 ) y0 )

(x

?

x0 )

x ? x0 ? y ? y0 Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

切线方程:

点法式

Fx (x0 , y0 )(x ? x0 ) ? Fy (x0 , y0 )( y ? y0 ) ? 0 法线方程: x ? x0 ? y ? y0 对称式
Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )

F(x, y) ? 0
切线

P

Mar, 2008

法线
x0
四川大学数学学院 徐小湛

3. 参数曲线 x=x(t), y=y(t) 在点(x0, y0) 处的切线 与法线 (其中 x0=x(t0), y0=y(t0) )

切线斜率: kT

?

y?(x0 )

?

y?(t0 ) x?(t0 )

切线方程: y ? y0 ? y?(x0 )(x ? x0 )

y

?

y0

?

y?(t0 ) x?(t0 )

(x

?

x0 )

Mar, 2008

x ? x0 ? y ? y0 x?(t0 ) y?(t0 )
四川大学数学学院 徐小湛

法线斜率:

kn

?

?

x?(t0 ) y?(t0 )

法线方程:

y

?

y0

?

?

x?(t0 ) y?(t0 )

(x

?

x0 )

x?(t0 )(x ? x0 ) ? y?(t0 )( y ? y0 ) ? 0

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

切线方程: x ? x0 ? y ? y0 对称式 x?(t0 ) y?(t0 )

法线方程: x?(t0 )(x ? x0 ) ? y?(t0 )( y ? y0 ) ? 0
点法式

Mar, 2008

?x ? x(t)

? ?

y

?

y(t)

切线

P

法线
x0
四川大学数学学院 徐小湛

曲线 F(x, y)=0 的切向量与法向量

F(x, y) = 0 ? dy ? ? Fx

切向量 s ? {1, dy} dx

dx Fy

? {1, ? Fx }

Fy

s ? {?Fy , Fx} 切向量

s ? {?Fy , Fx}

(x0, y0 )

n ? {Fx , Fy} ? ?F
法向量

F(x, y) ? 0

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛

曲线 F(x, y) = 0 ? dy ? ? Fx dx Fy
Fxdx ? Fydy ? 0

{Fx , Fy}?{dx, dy} ? 0
s ?{dx,dy}
法向量

n ? {Fx , Fy}
切向量

n ? {Fx , Fy}
(x0, y0 )

s ? {dx, dy}

F(x, y) ? 0

Mar, 2008

四川大学数学学院 徐小湛


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