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2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.2.1 第二课时 排列的应用 Word版含答案

2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:1.2.1 第二课时 排列的应用 Word版含答案

第二课时 排列的应用 [对应学生用书P8] 无限制条件的排列问题 [例 1] 有 5 个不同的科研小课题,从中选 3 个由高二(4)班的 3 个学习兴趣小组进行研 究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法? [思路点拨] 本题的实质是从 5 个元素中选出 3 个元素的排列问题. [精解详析] 从 5 个不同的课题中选 3 个,由 3 个兴趣小组进行研究,每种选法对应于 从 5 个不同元素中选出 3 个元素的一个排列. 因此不同的安排方法有 A3 5=5×4×3=60 种. [一点通] 没有限制的排列问题, 即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制, 这一类问题 相对简单,分清元素和位置即可. 1.12 名选手参加校园歌手大奖赛,大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名,每人最多 获得一种奖项,则不同的获奖种数为( A.12 3 ) B.312 D.12+11+10 C.A3 12 解析:从 12 名选手中选出 3 名并安排奖次,共有 A3 12种不同的获奖情况. 答案:C 2.从 6 人中选 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有 一人游览,每人只游览一个城市,则不同的选择方案共有( A.120 种 C.720 种 B.360 种 D.480 种 ) 解析:从 6 人中选出 4 人进行排列,共有 A4 6=360 种排法. 答案:B 元素的“在”与“不在”问题 [例 2] 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数? (2)个位数字不是 5 的六位数? [思路点拨] 这是一道有限制条件的排列问题,每一问均应优先考虑限制条件,遵循特 1 殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外,还可以用间接法求解. [精解详析] (1)法一:从特殊位置入手(直接法) 1 分三步完成,第一步先排个位,有 A1 3种排法;第二步排十万位,有 A4种排法;第三步 1 1 4 排其他位,有 A4 4种排法.故共有 A3A4A4=288 个六位奇数. 法二:从特殊元素入手(直接法) 1 0 不在两端,有 A1 4种排法;从 1,3,5 中任选一个排在个位,有 A3种排法;其他位上用剩 1 1 4 下的元素作全排列,有 A4 4种排法.故共有 A4A3A4=288 个六位奇数. 法三(间接法):6 个数字的全排列有 A6 0,2,4 在个位上的排列有 3A5 1,3,5 在个位 6个, 5个, 上、0 在十万位上的排列有 3A4 4个, 故对应的六位奇数的排列数为 5 4 A6 6-3A5-3A4=288 个. (2)法一(间接法):0 在十万位或 5 在个位的排列都不是符合题意的排列,这两类排列中 都含有 0 在十万位且 5 在个位的情况. 5 4 故符合题意的六位数共有 A6 6-2A5+A4=504 个. 法二(直接法): 因为十万位数字的排法与个位上排 0 与不排 0 而有所不同, 所以分两类. 第一类,当个位排 0 时,有 A5 5个; 1 4 第二类,当个位不排 0 时,有 A1 4A4A4个. 1 1 4 故共有符合题意的六位数 A5 5+A4A4A4=504 个. [一点通] 1.排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,有限制条件的排列问题的限制条件主 要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素.解决该类问题的方法主要是 “优先”原则,即优先安排特殊元素或优先满足的特殊位置. 2.解决此类问题常用方法: (1)直接法:直接根据约束条件分步或分类计数; (2)间接法:问题的正面分的情况较多,或计算较复杂,而反面情况较少或计算简单时 选用间接法. 3.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛,3 名主力队员安排在第 一、三、五位置,其余 7 名队员中选 2 名安排在第二、四位置上,那么不同的出场安排有 ________种. 解析:分两步完成:第一步,安排三名主力队员,有 A3 3种;第二步安排另 2 名队员, 2 3 有 A2 A2 7种,所以共有 A3· 7=252 种. 答案:252 4.将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的 5 个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色 的口袋中,若不许有空袋,且红口袋不能装入红球,则有________种不同的放法. 4 解析:先装红球,且每袋一球,共有 A1 4×A4=96 种. 答案:96 5.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 门课各一节的课程表.要 求数学课排在前 3 节,英语课不排在第 6 节,则不同的排法种数为________(用数字作答). 解析:先在前 3 节课中选一节安排数学,有 A1 3种安排方法;在除了数学课与第 6 节课 4 外的 4 节课中选一节安排英语课,有 A1 4种安排方法;其余 4 节课无约束条件,有 A4种安排 方法.根据分步乘法计数原理,不同的排法种数为 A1 A1 A4 3· 4· 4=288. 答案:288 元素的“相邻”或“不相邻”问题 [例 3] (10 分)3 名男生、4 名女生按照不同的要求排队,求不同的排队方法的种数. (1)全体站成一排,男、女各站在一起; (2)全体站成一排,男生必须站在一起; (3)全体站成一排,男生不能站在一起; (4)全体站成一排,男、女各不相邻. [思路点拨] (1)(2)中元素相邻, 可用“捆绑法”, (3)(4)中元素不相邻, 可用“插空法”. 3 [精解详析] (1)男生必须站在一起是男生的全排列,有 A3 种排法; 女生必须站在一起是女生的全排列,有 A4 4种排法; 3 全体男生、女生各视为一个元素,有 A2 A4 A2 2种排法.由分步计数原理知,共有 A3· 4· 2= 288 种排队方法. (2)三个男生全排列有 A3 3种方法,把所有男生视为一个元素,与 4 名女生组成 5 个元素 3 全排列,有 A5 A5 5种排法.故有 A3·

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