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模电教案3(2.6.2-2.7)

模电教案3(2.6.2-2.7)


《数字电子技术基础》 (第五版) 数字电子技术基础》 第五版)

电子信息研究室

复习

1、最小项的概念及逻辑函数的最小项表达式; 、最小项的概念及逻辑函数的最小项表达式; 2、逻辑函数的公式法化简方法。 、逻辑函数的公式法化简方法。



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《数字电子技术基础》 (第五版) 数字电子技术基础》 第五版)

电子信息研究室

2.6.2 卡诺图化简法 一.逻辑函数的卡诺图表示法 逻辑函数的卡诺图表示法 1.变量的卡诺图 变量的卡诺图
? 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示,并 变量的全部最小项各用一个小方块表示, 变量的全部最小项各用一个小方块表示 使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻 逻辑相邻性的最小项在 使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻 地排列起来,所得图形称为n变量的卡诺图 变量的卡诺图。 地排列起来,所得图形称为 变量的卡诺图。



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? 二变量卡诺图

?三变量的卡诺图 三

格雷码

? 4变量的卡诺图 变量的卡诺图

从几何位置上卡 诺图是上下、 诺图是上下、左 右闭合的图形。 右闭合的图形。



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? 五变量的卡诺图



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2.逻辑函数式和卡诺图之间的相互转换
函数式转换成卡诺图: 函数式转换成卡诺图: ①将函数表示为最小项之和的形式 ∑ m i 。 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1, ②在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入 , 其余地方添0。 其余地方添 。 1: 例1:Y = A′B ′C + AB + AB ′C 先化为最小项表示形式
= A′B ′C + AB(C + C ′) + AB ′C = A′B ′C + ABC + ABC ′ + AB ′C = ∑ m (1,5, 6, 7)



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卡诺图写函数式的方法:将卡诺图中所有填1 卡诺图写函数式的方法:将卡诺图中所有填1的小 方块所表示的最小项相加即可得到相应的函数式。 方块所表示的最小项相加即可得到相应的函数式。 例2:卡诺图如图所示,要求写出其函数式。 :卡诺图如图所示,要求写出其函数式。

Y = A′ B ′C ′D ′ + A′ B ′C ′D + A′ BC ′D ′ + A′ BCD ′ + ABC ′D ′ + ABCD ′ + AB ′C ′D ′ + AB ′C ′D = ∑ m (0,1,4,6,8,9,12,14)


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二、用卡诺图化简函数 ? 依据:具有相邻性的最小项可合并,消去 依据:具有相邻性的最小项可合并, 不同因子。 不同因子。 ? 在卡诺图中,最小项的相邻性可以从图形 在卡诺图中, 中直观地反映出来。 中直观地反映出来。



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1、合并最小项的原则: 、合并最小项的原则: – 两个相邻最小项可合并为一项,消去一对因子 两个相邻最小项可合并为一项, – 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项,消 四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项, 去两对因子 – 八个排成矩形的相邻最小项可合并为一项,消 八个排成矩形的相邻最小项可合并为一项, 去三对因子 – 2n个排成矩形的相邻最小项可合并为一项,消 个排成矩形的相邻最小项可合并为一项, 对不同因子。 去n对不同因子。 对不同因子


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两个相邻最小项可合并为一项, 两个相邻最小项可合并为一项, 消去一对因子

最小项合并方法:保留一个圈内最小项的相同变量, 相同变量, 最小项合并方法:保留一个圈内最小项的相同变量 而消去相反变量 相反变量。 而消去相反变量。


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2、化简步骤: 、化简步骤: ------用卡诺图表示逻辑函数 用卡诺图表示逻辑函数 ------找出可合并的最小项(即画圈) 找出可合并的最小项( 找出可合并的最小项 即画圈) ------化简后的乘积项相加 化简后的乘积项相加 项数最少,每项因子最少) (项数最少,每项因子最少) 3、画圈原则: 、画圈原则: 1)能大则大 每个圈包含的最小项个数越多越好 )能大则大---每个圈包含的最小项个数越多越好 个数满足2 (但个数满足 n个); 2)能少则少 圈的数目越少越好; 圈的数目越少越好; )能少则少---圈的数目越少越好 3)重复有新 每圈至少包含一个其他圈所未包含 )重复有新---每圈至少包含一个其他圈所未包含 的最小项; 的最小项; 4)一个不漏 不能漏掉任何一个最小项。 不能漏掉任何一个最小项。 )一个不漏---不能漏掉任何一个最小项


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例1:用卡诺图法化简 Y = ABC ′ + A′C + B′C ′ 。 : 解: Y = ABC ′ + A′C + B′C ′
= ABC ′ + A′BC + A′B′C + AB ′C ′ + A′B′C ′

= ∑ m (0,1, 3, 4, 6)

Y = A′C + AC′ + B ′C′

1 1

1

1 1

或Y = A′C + AC ′ + A′B ′
化简结果不唯一


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例2:应用卡诺图化简逻辑函数 ′ ′ ′ (1) Y = A B′ C′ + A B′ C + A BC + AB′ C′ (2) Y = AB′ C′ D′ + AB′ C D′ + AB′ C′ D′ + AB′ C D′ ′ ′ 解: BC
A 0 1 00 1 1 01 1 11 1 10 AB 00 00 1 01 11 CD 01 11 10 1

多余

相邻
1

写出简化逻辑式

′ Y = B′ C′ + AC


10 1

′ Y = BD′
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例3:用卡诺图法化简 : 解:
Y = B′D′ + AB′D + ABCD + A′BC ′D + A′B′CD′

Y = B′D′ + AB′D + ABCD + A′BC ′D + A′B′CD′ = ( A + A′) B′(C + C ′) D′ + AB′(C + C ′) D + ABCD + A′BC ′D + A′B′CD′
= AB′CD′ + AB′C ′D′ + A′B′CD′ + A′B′C ′D′ + AB′CD + AB′C ′D + ABCD + A′BC ′D

= ∑ m (10, 8, 2, 0,11, 9,15, 5)

1 1 1 1 1 1

1

Y = AB ′ + B′D′ + ACD + A′BC ′D

= ∑ m (0, 2, 5, 8, 9,10,11,15)

1

思考:如何直接根据普通函数式填写卡诺图? 思考:如何直接根据普通函数式填写卡诺图?


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练习: 练习:用卡诺图法化简函数

Y = A′B ′CD + BC ′D + A′BD ′ + CD
解:

Y = ∑ m (3, 4, 5, 6, 7,11,13,15)
Y = A′B + BD + CD
练习: 练习:P46,例题 ,例题2.6.10,2.6.11 , 1 1 1

1 1 1 1 1

注意:也可以先通过合并卡诺图中的0求出Y′, 再将Y′求反 注意:也可以先通过合并卡诺图中的0求出Y′, 再将Y′求反 得到Y 得到Y。


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2.7具有无关项的逻辑函数及其化简 具有无关项的逻辑函数及其化简
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项 约束项、
? 约束项 ? 任意项
在逻辑函数中,对输入变量取值的 在逻辑函数中, 限制,在这些取值下为1 限制,在这些取值下为1的最小项称 为约束项 在输入变量某些取值下,函数值为1 在输入变量某些取值下,函数值为1 或为0不影响逻辑电路的功能, 或为0不影响逻辑电路的功能,在这 些取值下为1 些取值下为1的最小项称为任意项

? 逻辑函数中的无关项:约束项和任意项可以写入 逻辑函数中的无关项: 函数式,也可不包含在函数式中, 函数式,也可不包含在函数式中,因此统称为无 关项。 关项。 思考:约束项和任意项有什么区别? 思考:约束项和任意项有什么区别?


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结论

约束项不允许出现,所以约束项的值始终为 约束项不允许出现, 0;任意项是否出现不影响电路功能,所以 任意项是否出现不影响电路功能, 有可能出现使任意项为1的输入变量取值。 有可能出现使任意项为1的输入变量取值。

无关项的表示方法
真值表中,用“×”或“Φ”表示; 表示; 真值表中, 或 表示 表达式中,可令无关项=0;( ;(或全体 无关项之和=0) 表达式中,可令无关项 ;(或全体 无关项之和 ) 卡诺图中,对应方格内填“ 卡诺图中,对应方格内填“×”或“Φ” 。 或 含有无关项的逻辑函数还可以表示成如下形式: 含有无关项的逻辑函数还可以表示成如下形式:
Y ( A, B, C , D) = Σm(0, 2, 4, 6,8) + Σd (10,11,12,13,14,15)

Y ( A, B, C , D) = Σm(0, 2, 4, 6,8) + ΣΦ (10,11,12,13,14,15)


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2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
? 合理地利用无关项,可得更简单的化简结果。 合理地利用无关项,可得更简单的化简结果。 ? 加入(或去掉)无关项,可使化简后的项数最少, 加入(或去掉)无关项,可使化简后的项数最少, 每项所含因子最少; 每项所含因子最少; ? 从卡诺图上直观地看,加入无关项的目的是使圈 从卡诺图上直观地看, 最大,圈的数量最少。 最大,圈的数量最少。 一、公式法:可在函数式中加上或去掉无关项再化简; 公式法:可在函数式中加上或去掉无关项再化简; 练习:课本P53例2.7.1 练习:课本 例 二、卡诺图法:有利于化简的×,当作1处理;不利于 卡诺图法:有利于化简的× 当作 处理; 处理 化简的× 当作0处理 处理。 化简的×,当作 处理。


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例1: 试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数: : 试用卡诺图法化简具有无关项的逻辑函数:
?Y ( A, B, C , D ) = ∑ (m0 , m4 , m6 , m8, 10 , m11 , m14 , m15 ) m ? 约束条件: 2 + m3 + m7 + m13 = 0 m ?

另一种表达形式: 另一种表达形式:

Y ( A, B , C , D ) = ∑ m (0, 4, 6, 8,10,11,14,15) + ∑ d ( 2, 3, 7,13)

解: Y = C + A′D′ + B ′D ′

1 1 1

× × × 1 × 1 1 1
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练习:课本P54例2.7.2 练习:课本 例


1

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测验题: 试用卡诺图法逻辑函数: 测验题: 试用卡诺图法逻辑函数:
Y ( A, B , C , D ) = ∑ m ( 0, 3, 5, 6, 7,10) + ∑ d (1, 2, 8,12)

作业: 作业: 2.16(b) ,2.17(4), 2.18(5), 2.19(4),2.20(c), 2.22(3), 2.23(4) 下次讲: 下次讲:
3.1 3.2 3.3


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作业: 作业: 2.16(b) ,2.17(4), 2.18(5), 2.19(4),2.20(c), 2.22(3), 2.23(4)

下次讲: 下次讲:
3.1 3.2 3.3



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本章小结: 本章小结: 1、数制的转换:二进制 、数制的转换 二进制 十进制、十六进制; 十进制、十六进制; 2、常用的码制(四位 、常用的码制(四位8421码、BCD码、格雷码); 码 码 格雷码); 3、逻辑代数的基本公式和常用公式; 基本公式和常用公式; 、逻辑代数的基本公式和常用公式 4、逻辑代数的基本定理:反演定理和对偶定理; 4、逻辑代数的基本定理:反演定理和对偶定理; 5、逻辑函数的各种表示方法及相互转换(真值表、 、逻辑函数的各种表示方法及相互转换(真值表、 逻辑式、逻辑图、卡诺图); 逻辑式、逻辑图、卡诺图); 6、逻辑函数的化简方法:公式法和卡诺图法。 、逻辑函数的化简方法:公式法和卡诺图法。 具有无关项的逻辑函数的化简


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