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7.4.1向量的内积

7.4.1向量的内积

科目:数学 班级:14 秋工民建 1、2 任课教师:耿殿珍 使用时间:15 年_____月____日 章(单元):第七章 课题:向量的内积 课时:1 课型:新授课

一.学习目标:
1. 能说出平面向量内积的基本概念,会用已知条件来求向量的内积. 2. 熟悉向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题.

二、学习过程: 【自我研学】:阅读课本 52~53 页,回答下列问题。(10′)
1.两个非零向量夹角的概念 → → 已知非零向量 a 与 b,作 OA =a, OB =b,则______叫向量___________.记作__________, 规定________________________. 说明:(1)当?a,b?=0?时,a 与 b_______; (2)当?a,b?=180?时,a 与 b________;

(3)当?a,b?=90?时,a 与 b______,记做______; (4)在两向量的夹角定义中,两向量必须是________________. 2.向量的内积 已知非零向量 a 与 b,?a,b?为两向量的夹角,则数量_______________叫做 a 与 b 的内积.记作 ______________________________. 规定:0 向量与任何向量的内积为__________. 说明:(1)两个向量的内积是一个______,不是向量,可以是_____________________,符号由 _________________的符号所决定; (2)两个向量的内积,写成_______,符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也 不能用“× ”代替.

[典例分析]例 1

求 |a|=5,|b|=4,?a,b?=120?.求 a·b.

教育名言:日日行,不怕千万里;常常做,不怕千万事。

1

3.向量的内积的性质 设 a,b 为两个非零向量,e 是单位向量,则: (1)a· e=e· a=______________; (3)a· a=| a | 或 _________; 4.向量的内积的运算律 (1)交换律:________________; (2)结合律:(λa)· b=______________________;
2

(2)a?b ? ____________; (4)∣a· b∣____∣a∣∣b∣.

(3)分配律:(a+b)· c=___________________.

[典例分析]例 2

求证: (2)∣a+b∣ +∣a-b∣ =2(∣a∣ -∣b∣ ).
2 2 2 2

(1)(a+b)· (a-b)=∣a∣2-∣b∣2;

【合作互学】:小组内互相说说 1、向量夹角的概念;2、向量的内积 ;3、向量的内积的性质;
4、向量的内积满足的运算律。(将疑问标记) (10′)

【展示促学】:随机抽三个小组利用 10 分钟展示学习成果
1、 向量夹角的概念;2、向量的内积 ;3、向量的内积的性质;4、向量的内积满足的运算律 5、典例分析 1、2

【精讲点拨】:用 5 分钟时间教师根据学情以学定教,突出重点,突破难点
(1)直接计算内积; (2)由内积求向量的模;(3)运用内积的性质判定两向量是否垂直; (4)性质和运算律的简单应用.

【检测反馈】:(10 分钟)
1.已知 | a |,| b |,?a,b?,求 a· b: (1) | a |=7,| b |=12,?a,b?=120° ; (2) | a |=8,| b |=4,?a,b?=π;

2.已知 | a |,| b |,a· b,求 ?a,b?: (1) | a || b |=16,a· b=-8; (2) | a || b |=12,a· b=6 3.

3、已知向量 a ? ? ?1, m ? , b ? ? 2m ? 1, ?3? .

?

?

(14 年高考题)

教育名言:日日行,不怕千万里;常常做,不怕千万事。

2

⑴当 m ? ?3 时,求 2a ? b ? a ? b ;

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⑵当 m 为何值时, 2a ? b ∥ a ? b .

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三.自主空间

教育名言:(教师自主编写)


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