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福建省福安市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(解析版)

福建省福安市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(解析版)

2018—2019 学年福安一中第一学期期中考

高一数学试卷

一、选择题:本小题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合

. 则集合 =

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据补集的定义先求出 CIN,再利用交集的定义求出 M∩(CIN),得到选项. 【详解】因为 I={1,2,3,4,5,6},N={2,3,4},

所以 CIN={1,5,6}, 所以 M∩(CIN)={1,6}, 故选:C.

【点睛】本题考查求集合的交、并、补集,一般先化简各个集合,然后利用定义进行计算,属于基础题.

2.函数

的定义域是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由分式及对数成立的条件可得

,解不等式可求答案.

【详解】由题意可得, 解不等式可得,﹣1<x≤1 ∴函数的定义域为(﹣1,1] 故选:C. 【点睛】本题考查了含有对数与分式的函数的定义域的求解,是基础题.

3.下列各组函数中,表示同一函数的是

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】

【分析】

分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致,否则不是同一函数.

【详解】A.f(x)、g(x)的定义域均为 R,但解析式不同,所以不是同一函数.

B.f(x)的定义域为 R,而 g(x)的定义域为[0,+∞),所以定义域不同,所以不是同一函数. C.f(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),而 g(x)的定义域为 R,所以定义域不同,所以不是同一函

数.

D.因为 f(x)= 故选 D.

,所以两个函数的定义域和对应法则一致,所以表示同一函数.

【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则

是否一致,否则不是同一函数.

4.已知函数

A.

B.

【答案】C

【解析】

【分析】

,若

则实数 的值为

C. 或 D. 或 或

由 x<0 时,f(x)= ;x≥0 时,f(x)= ,利用 f(x)=3,直接求出 x 的值即可.

【详解】∵函数



若 f(x)=3,

∴当 x≥0 时, =3,可得 x=1; 当 x<0 时, =3,解得 x=﹣3 或 x=3(舍去). 综上:实数 x=1 或﹣3.

故选 C.

【点睛】本题考查了函数解析式的应用,函数的零点的求法,注意 x 的范围是解本题的关键.

5.下列函数是奇函数且在

上单调递减的是

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意,依次分析选项:对于 A、不是奇函数;对于 B、y=x3 不符合单调性的要求,对于 C、y= 奇函数,不符合题意,对于 D、由反比例函数的性质可得其符合题意;综合可得答案. 【详解】根据题意,依次分析选项:

不是

对于 A、



对于 B、y=x 是奇函数但其在(0,+∞)上单调递增,不符合题意;

对于 C、y= 是对数函数,不是奇函数,不符合题意;

对于 D、y= ,是奇函数,且其在(0,+∞)上单调递减,符合题意; 故选:D. 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判定,关键是熟悉常见函数的奇偶性、单调性.

6.函数

的零点所在的区间为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】 由题意易知函数 f(x)=3x+2x﹣7 在定义域上是连续增函数,再由函数零点的判定定理求解. 【详解】易知函数 f(x)=3x+2x﹣7 在定义域上是连续增函数, f(1)=3+2﹣7=﹣2<0, f(2)=9+4﹣7=6>0, f(1)f(2)<0; 由零点判定定理,可知函数 f(x)=3x+2x﹣7 的零点所在的区间为(1,2);

故选:B. 【点睛】本题考查了函数的零点的判断,属于基础题.

7.三个数

的大小顺序是

A. a>c>b B. a>b>c 【答案】A 【解析】

C. b>a>c

D. c>a>b

【分析】

根据指数函数,对数函数的性质求出 a,b,c 的取值范围 即可比较大小.

【详解】∵30.6>1,log30.6<0,0<0.63<1, ∴a>1,b<0,0<c<1,

故 a>c>b.

故选:A. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用指数函数,对数函数和幂函数的性质确定 a,b,c 的取值

范围是解决本题的关键.

8.函数 与 A.

且 在同一坐标系中的图象只可能是( ).

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】

【分析】

讨论



两种情况,根据指数函数与对数函数的单调性,结合选项,利用排除法可得结果.

【详解】因为 ,





时, ,

所以指数函数 单调递减,

对数函数

单调递增,

四个选项都不合题意;

当 时, 所以指数函数

, 单调递增,

对数函数

单调递减,

只有 符合题意,故选 .

【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.

(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.

(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象

9.已知定义在 上的函数 满足:

,若

,则

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意可令 x=y=4,求得 f(4);再令 x=y=2,即可得到 f(2)的值.

【详解】f(x+y)=f(x)+f(y)+1,且 f(8)=15,

令 x=y=4,可得 f(8)=2f(4)+1=7,

解得 f(4)=3,

再令 x=y=2,可得 f(4)=2f(2)+1=3,

解得 f(2)=1.

故选:D. 【点睛】本题考查抽象函数的运用:求函数值,注意运用赋值法,考查运算能力,属于基础题. 10.双“十一”要到了,某商品原价为 元,商家在节前先连续 次对该商品进行提价且每次提价 .然后在双 “十一”期间连续 次对该商品进行降价且每次降价 .则最后该商品的价格与原来的价格相比 A. 相等 B. 略有提高 C. 略有降低 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意列出商品最后的价格,利用指数幂的运算性质计算结果.

【详解】

=

= <1,

故选 C.

【点睛】本题考查了指数幂的实际应用,考查了指数的运算性质,属于中等题.

11.已知 是定义域为 的奇函数, 当

时,

,那么不等式

的解集是

A.

B.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可知

C.

D.

利用 f(x)在

上单调递减,不等式

等价于

,解不等式组即可得出结论.

【详解】当

时,

又 是奇函数,所以 f(x)在

,可得 f(x)在 上单调递减,

上为减函数,



等价于



解得



∴故选 B.

【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的结合,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

12.已知方程

的两根为 ,且

,则( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】

【分析】

利用方程和函数之间的关系,转化为两个函数



可.

的图象相交问题,利用数形结合进行比较即

【详解】 方程

的两根为 ,即



两个图象交点的横坐标为 ,

由图不难发现:



,排除 B,C,D,

下面证明:

由图可知:



,又

,又 ,



,即

故选:A

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,利用转化法转化为两个函数的图象的交点问题,利用指数函数 和对数函数的性质是解决本题的关键.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.

13.已知幂函数

的图像过点 ,则



【答案】4

【解析】

试题分析:由于幂函数

的图象过 ,则



,所以



考点:1.幂函数定义;2.待定系数法;

14.函数 【答案】 【解析】 【分析】

的单调递减区间为____________.

令 t= ,可得函数 f(x)= 可得结论.

,由 t>0 求得函数的定义域,本题即求函数 t 在定义域内的增区间,

【详解】令 t= ,可得函数 f(x)= ∴函数的定义域为{x|x<﹣3,或 x>3}.

,∴t>0,∴x<﹣3,或 x>3,

即求函数 t 在定义域内的增区间.

∴利用二次函数的图象可得 t 在定义域内的增区间为



故答案为

.

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性、对数函数、二次函数的性质,属于中档题.

15.设实数 满足: 【答案】1 【解析】 【分析】

,则

_________.

,可得 x= ,y= ,代入即可得出.

【详解】∵

,∴x= ,y=

则+= 故答案为 1.

= =1.

【点睛】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则,属于基础题.

16.给出下列说法

①函数

为偶函数;

②函数 ③ 函数

与 在

是互为反函数; 上单调递减;

④函数

的值域为

.

其中所有正确的序号是___________ .

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根据对数函数与指数函数的图象和性质,反函数,函数的奇偶性,逐一分析 5 个命题的真假,可得答案.

【详解】①函数 f(x)=f(-x),故正确;

②函数



是互为反函数,故正确;

③令 t= 则 f(x)= ,由 t>0∴函数的定义域为{x|x<0,或 x>0}, t= 在



上单调递减,故正确;

上单调递减,所以函数

④函数

的值域为

,故错误;

故答案为:①②③.

【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了对数函数的图象和性质,反函数,复合函数,函数

的奇偶性,难度中档.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.求下列各式的值:

(Ⅰ)

(Ⅱ)

.

【答案】(Ⅰ) 【解析】

(Ⅱ)

【分析】

(Ⅰ)利用指数幂的运算法则即可得出;

(Ⅱ)利用对数的运算法则即可得出.

【详解】(Ⅰ)原式= + +

+1

= + + +1=

(Ⅱ)原式=

=

=2- =

【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

18.已知全集 ,集合

,集合

.

(Ⅰ)求



(Ⅱ)若集合

,且

, 求实数 的取值范围.

【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)

【解析】

【分析】

(Ⅰ)求出集合 B,从而求出 CUB,由此能求出(?UB)∪A. (Ⅱ)由 C∩A=C,得 C?A,由此能求出实数 a 的取值范围.

【详解】(Ⅰ)

(Ⅱ)

. 【点睛】本题考查并集、补集、实数的取值范围的求法,考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等 基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.

19.已知 是定义在 上的偶函数,当 时, (Ⅰ)在给定的坐标系中画出函数 在 上的图像(不用列表);

(Ⅱ)直接写出当 时 的解析式;

(Ⅲ)讨论直线



的图象的交点个数.

【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 【解析】

(Ⅲ)

【分析】

(Ⅰ)直接描点作图即可.

(Ⅱ)根据函数奇偶性的性质利用对称性进行转化求解即可.

(Ⅲ)由函数 f(x)的图象,结合数形结合进行求解即可.

【详解】(Ⅰ)解:函数图象如图:

(Ⅱ) (Ⅲ)设交点个数为

当 时,



当 时,





时,



当 时,



当 时,



综上所述, 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及函数与方程的应用,根据函数奇偶性的对称性的性质进行转
化求解是解决本题的关键.

20.已知定义在 上的函数

是奇函数.

(Ⅰ)求实数 的值;

(Ⅱ)判断 的单调性,并用定义证明.

【答案】(1)

(2)单调递减

【解析】

【分析】

(Ⅰ)利用函数是奇函数,建立方程关系解 a,b.

(Ⅱ)利用定义法证明函数的单调性.

【详解】(I)





, (II) 在 上单调递减. 证明如下:

由(I)知

设 是 上的任意两个实数,且





, .



在 上单调递减.

【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,利用定义法证明函数的单调性问题,属于中等题.

21.水葫芦原产于巴西, 年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道 安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过

个月其覆盖面积为 ,经过 个月其覆盖面积为 . 现水葫芦覆盖面积 (单位 )与经过时间

个月的关系有两个函数模型 (参考数据:

与 )

(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;

可供选择.

(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 倍.

【答案】(1) 投放的 倍. 【解析】 【分析】

(2)原先投放的水葫芦的面积为 8m2, 约经过 17 个月该水域中水葫芦面积是当初

(Ⅰ)判断两个函数 y=kax(k>0,a>1),

在(0,+∞)的单调性,说明函数模型

y=kax(k>0,a>1)适合要求.然后列出方程组,求解即可.

(Ⅱ)利用 x=0 时, ,若经过 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 倍则有

,求解即可.

【详解】(Ⅰ)

的增长速度越来越快,

的增长速度越来越慢.

则有 (Ⅱ)当

, 时,

解得

该经过 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的

, 倍. 有

答:原先投放的水葫芦的面积为 8m2, 约经过 17 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的 倍. 【点睛】本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力;考查数学应用意识.

22.已知函数 (Ⅰ)求实数 的值;

的图象过点

.

(Ⅱ)若不等式

恒成立,求实数 的取值范围;

(Ⅲ)若函数



的值;若不存在,请说明理由.

,是否存在实数 使得 的最小值为 ,若存在请求出

【答案】(1) (2) (3)

【解析】 【分析】

(Ⅰ)根据图象过点

,代入函数解析式求出 k 的值即可;

(Ⅱ)令

,则命题等价于

,根据函数的单调性求出 a 的范围即可;

(Ⅲ)根据二次函数的性质通过讨论 m 的范围,结合函数的最小值,求出 m 的值即可.

【详解】(I) 函数

的图象过点

(II)由(I)知

恒成立



恒成立



,则命题等价于



单调递增



(III)





当 时,对称轴

①当

,即



,不符舍去.

②当

时,即



.
符合题意.
综上所述: 【点睛】本题考查了对数函数的性质,考查函数的单调性、最值问题,考查转化思想以及分类讨论思想, 换元思想,是一道中档题.


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