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《与名师对话》高中数学人教版A版选修2-3课件 2.4 正态分布

《与名师对话》高中数学人教版A版选修2-3课件 2.4 正态分布


2.4 正态分布 自 主 预 习 目标解读 1.重点是正态曲线 1.利用实际问题的直方图,了 的特点及其所表示 解正态曲线的特征和正态曲线 的意义;利用正态 所表示的意义. 分布解决实际问 2.能借助正态曲线的图象理解 题. 正态曲线的性质及意义. 2.难点是求随机 3.会根据正态曲线的性质求随 变量在某一区间内 机变量在某一区间的概率. 的概率. 学习目标 1.正态曲线 函数 φμ,σ(x)= 数 μ 和 σ(σ>0)为参数,称 φμ,σ(x) 称正态曲线. ,x∈(-∞,+∞),其中实 为正态分布密度曲线,简 随机变量 X 落在区间(a,b]的概率为 P(a<X≤b)≈ ? φμ,σ(x)dx ? ? ,即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条 x a ?b 轴的垂线,及 x 轴所围成的平面图形的面积,就是 X 落在区间 (a,b]的概率的近似值,如图. 2.正态分布 ?b ? ? ? = 如果对于任何实数 a,b(a<b),随机变量 X 满足 P(a<X≤b) φμ,σ(x)dx ,则称随机变量 X 服从正态分布. a 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记 作 N(μ,σ2) .如果随机变量 X 服从正态分布,则记为 . X~N(μ,σ2) 3.正态曲线的特点 正态曲线 φμ,σ(x)= ,x∈R 有以下特点 (1)曲线位于 x 轴 上方 ,与 x 轴 不相交 ; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值(最大值) σ 2π ; (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1 ; (5)当 σ 一定时, 曲线的位置由 μ 确定, 曲线随着 μ 的变化 而沿 x轴 平移. (6)当 μ 一定时, 曲线的形状由 σ 确定, σ 越小, 曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中;σ 越大 ,曲线越“矮胖”,表 示总体的分布越分散. 4.3σ 原则 正态分布在三个特殊区间内取值的概率 P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.682 6 ; P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.954 4 ; P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.997 4 . 问题思考:对于固定的 μ,σ 的变化对随机变量取值在(μ -σ,μ+σ)上取值的概率有何影响? 提示:从正态曲线可以看出,对于固定的 μ 和 σ 而言,随 机变量取值在(μ-σ,μ+σ)上取值的概率随着 σ 的减小而增 大.这说明 σ 越小,X 取值落在区间(μ-σ,μ+σ)的概率越大, 即 X 集中在 μ 周围的概率越大. 要 点 导 学 要点一 正态曲线的图象 正态曲线的函数表达式为 φμ,σ(x)= , x∈(- ∞,+∞),其中参数 μ 表示正态变量的数学期望,σ 表示标准 差. 如图所示,是一个正态曲线.试根据该图象写 出其正态分布的概率密度函数的解析式, 求出总体随机变量的 数学期望和标准差. 【思路启迪】 解答本题可首先借助图象观察该函数的对 称轴及最大值,然后结合 φμ,σ(x)= 的值. 可知 μ 及 σ 【解】 从给出的正态曲线可知,该正态曲线关于直线 x ,所以 μ=20. 2 π 1 =20 对称,最大值是 1 1 = ,解得 σ= 2. 2π· σ 2 π 于是概率密度函数的解析式是 总体随机变量的期望是 μ=20, 标准差是 σ= 2. 利用图象求正态密度函数的图象, 应抓住图象的实质性两 1 点:一是对称轴 x=μ,另一个是最值 .这两

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