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2018高中数学(人教B版)必修五学案:第三章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案

2018高中数学(人教B版)必修五学案:第三章 3.3 一元二次不等式及其解法 Word版含答案

数学 3. 3 一元二次不等式及其解法 [学习目标] 1.理解一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二 次不等式的方法.3.培养数形结合、分类讨论思想方法. [知识链接] 下列说法不正确的有________. (1)方程 2x2-3x-2=0 有两个不等的实根; (2)方程 x2-2x+1=0 有一个实数根; (3)方程 x2-x+2 =0 没有实数根; ?a>0, ? (4) 一元二次函数 y=a x2 +bx +c > 0 恒成立?? 2 ? ?Δ=b -4ac<0; ? ?a<0, (5)一元二次函数 y=a x2 +bx +c < 0 恒成立?? 2 ?Δ=b -4ac>0. ? 答案 (2)(5) 解析 (1)由于 Δ>0,故正确;(2)由于 Δ=0,所以方程有两个相等实根,故错误;(3)由于 Δ<0, 故正确;(4)由于 y> 0,所以函数的图象在 x 轴上方,故正确;(5)由于 y< 0,所以函数的图象 在 x 轴下方,则 a<0,b2-4ac<0,故(5)错误. [预习导引] 1.一元二次不等式的概念 (1)一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数是 2 的整式不等式,叫做一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般表达形式为 ax2+bx+c>0(a≠0)或 ax2+bx+c<0 (a≠0),其中 a,b, c 均为常数. 2.二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系 Δ=b2-4ac y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异 实根 x1,x2 有两相等实根 b x1=x2=- 2a 没有实数根 Δ>0 Δ=0 Δ<0 数学 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 3.一元二次不等式的解集 {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1< x<x2} {x|x≠- b } 2a R ? ? 设方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根 x1、x2,且 x1<x2,则 ax2+bx+c>0(a>0) 的 解集为{x|x<x1 或 x>x2};ax2+bx+c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}. 要点一 一元二次不等式的解法 例 1 求下列一元二次不等式的解集. (1)x2-5x>6; (2)4x2-4x+1≤0; (3)-x2+7x>6. 解 (1)由 x2-5x>6,得 x2-5x-6>0. ∴x2-5x-6=0 的两根是 x=-1 或 6. ∴原不等式的解集为{x|x<-1 或 x>6}. (2)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0, 1 方程(2x-1)2=0 的根为 x= . 2 1 ∴4x2-4x+1≤0 的解集为{x|x= }. 2 (3)由-x2+7x>6,得 x2-7x+6<0, 而 x2-7x+6=0 的两个根是 x=1 或 6. ∴不等式 x2-7x+6<0 的解集为{x|1<x<6}. 规律方法 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个一 般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图 象. 跟踪演练 1 解下列不等式: (1)2x2-x+6>0; 数学 1 (2)- x2+3x-5>0; 2 (3)(5-x)(x+1)≥0. 解 (1)∵方程 2x2-x+6=0 的判别式 Δ=(-1)2-4×2×6<0, ∴函数 y=2x2-x+6 的图象开口向上,与 x 轴无交点. ∴原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为 x2-6x+10<0, ∵Δ=62-40=-4<0, ∴原不等式的解集为?. (3)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, ∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 要点二 解含参数的一元二次不等式 例 2 解关于 x 的不等式 2x2+ax+2>0(a∈R). 解 Δ=a2-16,下面分情况讨论: ①当 Δ<0,即-4<a<4 时,方程 2x2+ax+2=0 无实根,所以原不等式的解集为 R. ②当 Δ≥0,即 a≥4 或 a≤-4 时,方程 2x2+ax+2=0 的两个根为 1 x1= (-a- 4 1 a2-16),x2= (-a+ 4 a2-16). 当 a=-4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1}; 当 a>4 或 a<-4 时,原不等式的解集为 1 {x|x< (-a- 4 1 a2-16)或 x> (-a+ 4 a2-16)}; 当 a=4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠-1}. 规律方法 含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项系数化为正数;(2)判断相应的方程是否 有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个 相异实根,为了写出解集还要比较两个根的大小).另外,当二次项含有参数时,应先讨论二 次项系数是否为 0,这决定不等式是否为二次不等式. 跟踪演练 2 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1<0(a∈R). 解 若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1. 数学 1 1 若 a<0,则原不等式等价于(x- )(x-1)>0,解得 x< 或 x>1. a a 1 若 a>0,原不等式等价于(x- )(x-1)<0. a 1 1 ①当 a=1 时,a=1,解(x-a)(x-1)<0 得,解集为?; 1 1 1 ②当 a>1 时,a<1,解(x-a)(x-1)<0 得a<x<1; 1 1 1 ③当 0<a<1 时, >1,解(x- )(x-1)<0 得 1<x< . a a a 1 综上所述:当 a<0,解集为{x|x< 或 x>1};当 a=0 时,解集为{x|x>1};当 0<a<1 时,解集为 a 1 1 {x|1<x<a};当 a=1 时,解集为?;当 a>1 时,解集为{x|a<x<1}.

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